# 第四屆柏翰盃賽後檢討講義兼題解
## 說明
此次滿分為150，共8題，答題狀況不甚理想（好像每次都是），還有為什麼我要打一堆屁話在這裡啊。
那麼馬上開始題解。

## P1
共四小題
### 仙貝知識
* $\large\lim_{x\to 0}\frac{sin x}{x}=1$
* $\epsilon -\delta$ Def:
\begin{aligned}
&\forall\epsilon >0, \exists\delta>0, such \ \ that \\&as\ \ 0<|x-a|<\delta \\
&\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon
\end{aligned}
### (1)
\begin{aligned}
&\large\lim_{x\to 0}\frac{sin3x}{sin5x}\\
= \ &\large\lim_{x\to 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot\frac{1}{\frac{sin5x}{5x}}\cdot\frac{3}{5}\\
=\ &\large\lim_{x\to 0}1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{5}\\
=\ &\frac{3}{5}
\end{aligned}
另解(L'Hospital)
\begin{aligned}
&\ \large\lim_{x\to 0}\frac{sin3x}{sin5x}\\
\large\overset{L'}{=}&\ \large\lim_{x\to 0}\frac{3cos3x}{5cos5x}\\
\large=&\frac{3}{5}
\end{aligned}
### (2)
\begin{aligned}
&\ \large\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+3}}\\
=&\ \large\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}\\
=&\ \large 2
\end{aligned}
### (3)
\begin{aligned}
&\ \large\lim_{x\to\infty}\sqrt{7x^2+3}sin(\frac{1}{x})\\
=&\ \large\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{7x^2+3}}{x}\cdot\frac{sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\\
=&\ \large\lim_{x\to\infty}\sqrt{7+\frac{3}{x^2}}\ \ \cdot1\\
=&\ \large\sqrt{7}
\end{aligned}
另解

\begin{aligned}
&\ \large\lim_{x\to\infty}\sqrt{7x^2+3}sin(\frac{1}{x})
\large\overset{let\ t=\frac{1}{x}}{=}\large\lim_{t\to 0}\sqrt{\frac{7}{t^2}+3}\ \ \cdot sin(t)\\
\large=&\ \ \large\lim_{t\to 0}\sqrt{7+3t^2}\cdot\frac{sin(t)}{t} \\
\large=&\ \sqrt{7}
\end{aligned}

### (4)
\begin{aligned}
&\forall\epsilon>0,我們都能找到某個\delta>0，\\
&使得當0<|x-1|<\delta\ 時，都有|2x+3-5|<\epsilon。\\
&取\delta=\frac{\epsilon}{2}，則\\
&|2x+3-5|=|2x-2|=2|x-1|<2\delta=\epsilon\\
&即|2x+3-5|<\epsilon
\end{aligned}
## P2
### 仙貝知識
* Chain Rule
$$\frac{df(g(x))}{dx}=f'(g(x))g'(x)$$
* 隱微分
$$\frac{dy}{dx}=y'$$

### (1)

$$xcos(x-y)=\frac{y^2}{1+x^2}$$
先對兩邊做隱微分，得：
$$cos(x-y)+x(-sin(x-y)(1-y'))=\frac{2yy'(1+x^2)-(2x)(y^2)}{(1+x^2)^2}$$
將$(\frac{\pi}{2},0)$代入，得：
\begin{aligned}
&\ cos(\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}(-sin(\frac{\pi}{2})(1-y'))=\frac{0-0}{(1+(\frac{\pi}{2})^2)}\\
\Rightarrow&\ 0+1-y'=0\\
\Rightarrow&\ y'=1
\end{aligned}
### (2)
已知$\frac{dcot(x)}{dx}=-csc^2x$，則假設
$$y=cot^{-1}x$$
得
$$cot(y)=x$$
兩邊隱微分得
$$-csc^2(y)y'=1$$
$$y'=-\frac{1}{csc^2(y)}$$
By酷酷三角形
$$csc^2(y)=\frac{1}{x^2+1}$$
即
$$\frac{dcot^{-1}x}{dx}=-\frac{1}{x^2+1}$$
## P3
### 仙貝知識
* 黎曼和
一個函數$f(x)$如果在區間$[a,b]$連續，則可以定義從a到b的黎曼和：
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$$
* 分部積分I.b.p.
你可以從乘法微分公式看出來：
\begin{aligned}
&(uv)'=u'v+v'u\\
&\int(uv)'dx=\int u'vdx+\int v'udx\\
&uv=\int vdu+\int udv
\end{aligned}
* Jacobian行列式
痾 變數變換會用到的一個東西
$J(\large\frac{x,y}{u,v})=\left | \begin{matrix}
x_u &x_v \\
y_u &y_v \\
\end{matrix} \right |$
其中$x_u$為$x$對$u$的偏導數
### (1)
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{(n+i)^4}{n^5}$$
這題很明顯吧？
就$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(1+\frac{i}{n})^4$$
所以他就是
$$\int_{1}^2 x^4dx=\frac{31}{5}$$
### (2)
用部分積分
$$\int ln(x)dx$$
令$u=ln(x)$，$dv=dx\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$（請看仙貝知識）
\begin{aligned}
&\ \int ln(x)dx\\
=&\ xln(x)-\int x\frac{1}{x}dx\\
=&\ xln(x)-x+\small Constant
\end{aligned}

### (3)
$$\iint_R e^{\frac{x+2y}{2x-y}}dA$$
首先利用變數變換：
\begin{aligned}
&u=2x-y\\
&v=x-3y\\
\end{aligned}
得出積分範圍：
$$u=1到u=3,v=0到v=-u$$
計算積分：
\begin{aligned}
&\ \iint_R e^{\frac{x+2y}{2x-y}}dA\\
=&\ \int_{1}^3\int_0^{-u}e^{\frac{u-v}{u}}J(\frac{x,y}{u,v})dvdu\\
=&\ e\int_{1}^3\int_0^{-u}e^{-\frac{v}{u}}
\frac{1}{\left | \begin{matrix}
2 &-1 \\
1 &-3 \\
\end{matrix} \right | }dvdu\\
=&\ -\frac{e}{5}\int_1^3 -ue^{-\frac{v}{u}}\large\mid^{-u}_{0}\small du\\
=&\ -\frac{e}{5}\int_1^3(-ue+u)du\\
=&\ \frac{e(e-1)}{5}\int_1^3udu\\
=&\ \frac{4e(e-1)}{5}
\end{aligned}
## P4 懂不懂道衡
## P5 傅立葉
### 仙貝知識
* 奇偶函數
若$f$為奇函數，則：
$$\int_{-a}^a f(x) dx=0$$
* 積化和差 （自己查）
* cos跟sin從$-\pi到\pi$積分都是0
### (1)
$cos(mx)sin(nx)$這個是奇函數。
$cos(nx)cos(mx)$和$sin(nx)sin(mx)$這兩個是偶函數，但是可以利用積化和差把他們變成$sin$跟$cos$的線性組合，除了$n=m$的情況以外，積分值都是$0$
### (2)
考慮$x^2=a_0+\sum_{i=1}^{\infty}a_icos(ix)+b_isin(ix)$
要求$a_0$的話只需對$x^2$積分，從$-\pi$到$\pi$
即：
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3}$$
要求$a_n$，只需要利用$n=m$時的特例：
\begin{aligned}
a_n&=\ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2cos(nx)dx\\
&=\ \frac{4}{n^2}(-1)^n
\end{aligned}
要求$b_n$，也一樣。
\begin{aligned}
b_n&=\ \int_{-\pi}^{\pi}x^2sin(nx)dx\\
&=\ 0 \ \ \ \ \ \ \ 誒嘿:\ )
\end{aligned}
所以$$x^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{4}{n^2}cos(nx)$$
### (3)
痾，首先，題目很明顯要你用上一題的結果來算，所以先抄下來
$$x^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{4}{n^2}cos(nx)$$
再來，為了把那個可惡的$(-1)^n$去掉，我們可以代入$\pi$(因為$cos(n\pi)=(-1)^n$)
\begin{aligned}
&(\pi)^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{4}{n^2}cos(n\pi)\\
&\Rightarrow\frac{2\pi^2}{3}=\ \sum_{n=1}^{\infty} 1^n\frac{4}{n^2}\\
&\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\ \frac{\pi^2}{6}
\end{aligned}
就這麼簡單
## P6 學弟兩題（你要把第三題寫進去也可以ㄛ）
### 仙貝知識
沒差啦
### (1)
\begin{aligned}
f(y)-f(x)-f'(x)[y-x]=&\ \int_x^yf'(c)dc+\int_x^yf'(x)dc\\
=&\ \int_x^y[f'(c)-f'(x)]dc\\
\leq&\ L\int_x^y|c-x|dc=\frac{L|x-y|^2}{2}
\end{aligned}
所以$f'(x)(x-y)-\frac{L|x-y|^2}{2}<f(x)$，We choose $y-x=-\frac{f'(x)}{L}$$$\Rightarrow\frac{[f'(x)]^2}{2L}<f(x)$$
即
$$[f'(x)]^2<2Lf(x)$$
### (2)
(因為我懶得改，下面的常數都是0)
\begin{aligned}
&\ \iint...\int tan^{-1}x dx^n\\
=&\ \iint...\int\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{2i+1}(-1)^idx^n\\
=&\ \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{n+2i+1}}{\Pi_{j=0}^{n}(2i+j+1)}\end{aligned}

## P7 柏翰

總之這題就是在計算如下圖電阻左右兩端的電阻的電阻值。
會用到我在[本屆賽前研習會講義](https://hackmd.io/zZ37NbF_QzGRd0XzYE6oSg#%E9%9B%BB%E9%98%BBRtiny%E7%AF%87%E5%B9%85%E9%80%99%E9%BA%BC%E9%95%B7%EF%BC%8C%E8%A9%B2%E4%B8%8D%E6%9C%83%E8%A6%81%E8%80%83%E9%80%99%E5%80%8B%E5%90%A7%EF%BC%9F)所講到非長方體電阻之電阻值計算：
\begin{aligned}
R=\rho\int_{l_1}^{l_2}\frac{dl}{A(l)}\\\\\\\
\end{aligned}

### 第一小題
就直接全部帶入非長方體電阻值的公式，而除了截面積對位置的函數$A(l)$外，其他我都有直接給你值，因此，要先求$A(l)$。

圖片來源:[https://www.strongpilab.com/water-resistance-resistivity/](https://www.strongpilab.com/water-resistance-resistivity/)
然後大家好像不太懂截面積到底是什麼，因此我這裡放一張長方體電阻的示意圖。
上圖中，A代表的是截面積，而我們的截面形狀也是長方形因此我們可以直接把在某個位置，乘上厚度就是我們的截面積，可得：

\begin{aligned}
A(l)=1.6*10^{-7}*(0.5+0.2*|{l}|)*10^{-2}\\
\end{aligned}
整理得：
\begin{aligned}
A(l)=(0.8+0.16|{l}|)*10^{-9}
\end{aligned}

則電阻為：
\begin{aligned}
R=2.8*10^{-8}\int_{-0.05}^{0.05}\frac{1}{(0.8+0.16|{l}|)*10^{-9}}dl\\
\end{aligned}

由於此電阻左右對稱，不妨直接看所某個半邊的電阻再乘以二（稍微整理一下，絕對值也去掉），得：

\begin{aligned}
R=56*\int_{0}^{0.05}\frac{1}{(0.8+0.16l)}dl\\
\end{aligned}

分子分母同除$0.16$得：

\begin{aligned}
R=350*\int_{0}^{0.05}\frac{1}{(5+l)}dl\\
\end{aligned}

然後積完得到

\begin{aligned}
R=350*ln(5+l)\bigg|_{0}^{0.05}\\
\Rightarrow R=350*(ln5.05-ln5)=350*ln1.01
\end{aligned}

於是我們就求出第一題的答案了！！
$\small{提醒一下單位記得不要亂用}$

\begin{aligned}
\\\\
\end{aligned}

### 第二小題
完全就是水題，根據歐姆定律
\begin{aligned}
V=IR\\
\Rightarrow I=\frac{V}{R}
\end{aligned}
直接帶如得電流:
\begin{aligned}
I=\frac{1.5}{350*(ln5.05-ln5)}=\frac{3}{700*ln1.01}\\\\
然後大約是0.43安培\\\\\\\\\\
\end{aligned}

### 第三小題
這邊我希望你們球的是不同位置下的功率。
因為整個電路下電流都一樣，因此可以根據：
\begin{aligned}
P=\frac{I^2}{R}
\end{aligned}
找出同電路下不同電阻上的功率。
然後很明顯某個點上的電功率求不出來的。$\tiny{因為這只是描述上的瑕疵，再加上大部分的人地一小題就寫錯，所以分數我就不調了，不過還是在這裡說一聲抱歉。}$問法應該是，求，當$l=x$時，$x$附近一小段長度上單位長度的電功率。

那就很簡單，用一下微積分基本定理就解決了。

$\small{抱歉只有文字，圖之後會補}$
則$x$前後$\Delta x$所產生的電功率為，

\begin{aligned}
P=\frac{I^2}{R}=\frac{(\frac{3}{700*ln1.01})^2}{350*ln|5+|l||}\bigg|_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}
\end{aligned}

所以當$\Delta x$非常小的時候，單位長度的功率則為：

\begin{aligned}
\lim_{\Delta x\to\infty}\frac{\frac{(\frac{3}{700*ln1.01})^2}{350*ln|5+|l||}}{2\Delta x}\bigg|_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}
\end{aligned}

這東西雖然很醜，不過還是勉強看得出來是
\begin{aligned}
\frac{(\frac{3}{700*ln1.01})^2}{350*ln|5+|x||}
\end{aligned}
對$x$的微分吧？

然後那個：

\begin{aligned}
\frac{(\frac{3}{700*ln1.01})^2}{350}是常數，所以我就先代表a（不然很亂）
\end{aligned}

所以就是：
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\frac{a}{ln(|x|+5)}=\frac{a}{||x|+5|*ln||x|+5|^2},(x\neq0)
\end{aligned}
分正微不了就直接chain rule下去，就會變成上面那樣了，所以我要你求的$p(x)$就出來了！！
最後把$ln$裡的平方提出來、$a$大約是$5.3*10^{-4}$帶進去就是：
\begin{aligned}
p(x)=\frac{2.65*10^{-4}}{||x|+5|*ln||x|+5|}\\\\\\\\\\
\end{aligned}

### 第四小題
然後第四小題那個熱傳導定律完全不需要管他，我還特別在忽略熱傳導下畫底線，但有寫的好像都對熱傳導特別有興趣，如果不管其物理意義的話就跟歐姆定律差（有興趣的自己去看[本屆賽前研習會講義](https://hackmd.io/zZ37NbF_QzGRd0XzYE6oSg#%E7%86%B1%E9%98%BB%E8%88%87%E9%9B%BB%E9%98%BB)，或上網查）。

回到正題，你們可能會想問，上一題為什麼要一個那麼怪的東西，當然是跟下一小題有關。
溫度對時間的函數我們可以用某個時間點下與原始溫度的溫差來算。
我們知道$\Delta{H}=ms\Delta{T}$，跟質量$m$等於體積$V$乘以密度$D$
代入並移項得：

\begin{aligned}
\Delta{T}=\frac{\Delta{H}}{V*D*s}
\end{aligned}

然後我D跟s都有給你，抱歉，又耍腦，鋁密度忘記給，不過柏翰盃考試期間是開放問問題的，但沒人問，又沒人寫到這，所以我就糊弄過去。總之鋁的密度是$2.7g/cm^3$

還是有一些東西不知道，那我們這時候就可以稍微再拆一下。
第一個，V可以拆成截面積A乘上長度L
第二個，由電流固定我們可以知道，鋁箔上每個點隨時間某個點上功率不隨時間改變，因此我們的$\Delta{H}$可以拆成功率$P$乘上時間$t$
再整理一次變成：

\begin{aligned}
\Delta{T}=\frac{P}{L*A*D*s}t
\end{aligned}

你就會發現出現了$\Large\frac{功率P}{長度L}$，因此某個點上的隨時間的溫度$T(x,t)$就是：

\begin{aligned}
T(x,t)=\frac{p(x)}{A(x)*D*s}t+30
\end{aligned}
那個30是室溫

全部代入得：

\begin{aligned}
T(x,t)=\frac{\frac{2.65*10^{-4}}{||x|+5|*ln||x|+5|}}{(0.8+0.16|{x}|)*10^{-9}*2700*897}t+30
\end{aligned}

整理得：

\begin{aligned}
T(x,t)=\frac{0.68}{(|x|+5)*||x|+5|*ln||x|+5|}t+30
\end{aligned}

，又$|x|+5$恆正，因此$||x|+5|=|x|+5$+30
$\Rightarrow$

\begin{aligned}
T(x,t)=\frac{0.68}{(|x|+5)^2*ln(|x|+5)}t+30
\end{aligned}

提醒一下這裡，我這邊x單位是公分

### 第五小題
也是水題
我們得到了$T(x,t)$，因此只要找到哪個$x$可以使得$t$最小時能使$T(x,t)$
達到230度。很明顯最中間功率最大溫度上升也越快，因此只要找出$T(0,t)=230$時$t$是多少就好$\Rightarrow$

\begin{aligned}
\frac{0.68}{25*ln5}t+30=230\\
t=200*\frac{25*ln5}{0.68}
\end{aligned}

算出來t=11834.10(s)，不過我省略了滿多東西，像摺痕電阻會變大、電流會集中在電阻表面之類的，所以有電大的不合常理。不過如果有人覺得題目問有什麼問題想噴我或給我建議的可以直接來307找黃柏翰，或去[柏翰盃官網](https://sites.google.com/view/bohan-calculus/every_bohan/first_bohan)找我的電子郵件

## P8 抄
先求$A$的特徵值：
\begin{aligned}
&\left |
\begin{matrix}
-\lambda &1\\
-\frac{k}{m} &-\lambda\\
\end{matrix}
\right |=0\\
&\Rightarrow\lambda^2=-\frac{k}{m}\\
&\Rightarrow\lambda=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}
\end{aligned}