# CSAPP chp2 研讀
第二章標題是 Representing and Manipulating Information。也就是在講述計算機如何表示與操作數據。重點聚焦在整數與浮點數之二進制表示。以下為此章的架構 :
* 信息存儲 (2.1)：
* 核心概念：計算機以位（bits）存儲信息，數據的解釋依賴上下文（例如，同一組位可以表示整數、字符或指令）。
* 小節：
* 十六進制表示（2.1.1）：便於閱讀二進制數據。
* 數據大小（2.1.2）：不同數據類型（int、long、float等）在 32 位和 64 位系統中的大小。
* 尋址與字節序（2.1.3）：大端法（big-endian）與小端法（little-endian）。
* 字符串（2.1.4）
* 代碼（2.1.5 )
* 布爾代數（2.1.6）。
* C 語言的位操作（2.1.7）：如 &、|、^、~。
* C 語言的邏輯操作（2.1.8）：如 &&、||。
* C 語言的移位操作（2.1.9）：左移 << 和右移 >>。
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疑問1(2.1.1) : 為啥計算機要用二進制表示不是十進制 ?
- 二進制被選用為計算機所讀取與處理，當中必源自於二進制有他獨有的優點。以下為二進制的優點 :
- 硬件實現簡單：
二進制只需要兩種狀態（0 和 1），對應電路的開（高電壓）和關（低電壓）。這可以用簡單的電子元件（如晶體管）實現，設計和製造成本低。
十進制需要表示 0 到 9 的十種狀態，電路設計複雜（需要多級電壓或模擬信號），增加硬件成本和功耗，且控制精度要求更高。
- 可靠性高：
二進制系統容錯性強。電路只需區分兩種狀態，抗噪聲能力強，誤差率低。
十進制系統需要精確區分十種狀態，容易受電壓波動或噪聲干擾，導致錯誤。這好比將一個數值10，本來切倆等分改切成十等份，假設 noise 值為1.1，則使用十進制時的輸出會產生誤差，本來正確值為7，加入noise後變成8.1輸出變成8。而二進制依舊是high。
- 邏輯運算高效：
二進制與布爾代數直接對應，邏輯運算（如 AND、OR、NOT）簡單且快速，用於實現加法、乘法等算術運算。
十進制運算需要更複雜的邏輯電路，運算速度慢，效率低。
- 存儲與傳輸優勢：
二進制數據存儲在磁盤、內存或傳輸線路上只需表示兩種狀態，設計統一且穩定。
十進制存儲或傳輸需要更多位元（例如，BCD 編碼用 4 位表示一個十進制數字），浪費空間且增加複雜性。
- 歷史與標準化：
早期計算機（如真空管、繼電器時代）採用二進制，因其技術實現最可行。現代計算機沿襲這一標準，確保兼容性和一致性。
十進制計算機（如 ENIAC 的部分功能）曾被嘗試，但因複雜性和成本高被淘汰。

疑問2(2.1.1) : 為啥有二進制還需要十六進制 ?
- 最大的原因是為了讓人方便閱讀。二進制若數字稍大時，所擁有的位數常常非常冗長，一時之間很難辨識出是為何值。但有了十六進制時就能將冗長的二進制長度縮短四倍。

疑問3 : 計算機能表示的數據極值是?為啥這樣的極值足夠?
- 由 CSAPP 可得知以下數據類型大小
- 無符號整數（Unsigned Integer）：
- 最大值：$2^{64} - 1$ = 18,446,744,073,709,551,615（約 $1.84 × 10^{19}$）。
- 最小值：0。
- 有符號整數（Signed Integer，二進制補碼）
- 最大值：$2^{63} - 1$ = 9,223,372,036,854,775,807（約 $9.22 × 10^{18}$）。
- 最小值：$-2^{63}$ = -9,223,372,036,854,775,808（約 $- 9.22 × 10^{18}$）。
- 單精度（32 位，float）：
- 最大值：約 $3.4 × 10^{38}$（正規化數，$2^{126} × (2 - 2^{-23})$）。
- 最小正值（非零）：約 $1.18 × 10^{-38}$（非正規化數，$2^{-126}$）。
- 特殊值：±∞（無窮大），NaN（非數）。
- 雙精度（64 位，double）：
- 最大值：約 $1.79 × 10^{308}$（正規化數，$2^{1022} × (2 - 2^{-52})$）。
- 最小正值（非零）：約 $2.23 × 10^{-308}$（非正規化數，$2^{-1022}$）。
- 特殊值：±∞，NaN。

由以上可知計算機能處理之數據極值為 double ，值為約 $1.79 × 10^{308}$ ，有趣的是此值也解釋了工程模擬軟體 matlab 中所能模擬出最大響應值。當將發散的響應放大來看會發現值的級數為 $10^{308}$ 。

再來探討這個數值是否足夠，首先極值角度來說，宇宙級尺度（如可觀測宇宙直徑 ~$8.8 × 10^{26}$ m）或微觀尺度（如普朗克長度 ~$1.6 × 10^{-35}$ m）， double 都能涵蓋且依舊有餘裕。而若從精度角度來說，52 位尾數(mantissa)提供約 15-17 位十進制精度，已足夠滿足工程、物理和機器學習的精度需求。

若將來真的需要更大的數值處理，也可以用更改軟體方式(多精度庫如 GMP、MPFR)實現，而不用改變硬體標準。目前也已有一些架構（如 ARMv8-A）已支持 128 位整數或浮點數（範圍達 $2^{128}$ 或 $10^{6144}$）。

數據類型的設定通常需與 "硬體規格" 與 "ISA" 相關聯。從硬體規格來說，CPU寄存器大小決定了數據類型基本單位的定義。整數類型（如 int、long）通常與寄存器大小對齊。以下是CPU寄存器大小相關例子 :
1. 例如，在 x86-64 中，int 通常為 32 位，long 為 64 位，匹配通用寄存器（RAX、RBX 等）的寬度。
2. 64 位寄存器允許高效處理 64 位整數（uint64_t）或雙精度浮點數（double），而 32 位系統（如 x86）處理 64 位數據需要多指令模擬，效率較低。
3. 例：在《CS:APP》2.1.2（頁 75），描述了不同架構下數據類型的大小，例如 64 位系統中 long 為 8 字節（64 位），而 32 位系統中為 4 字節（32 位）。
#### 硬體規格
此外硬體方面，內存系統也要求數據按特定邊界對齊（alignment），以優化訪問速度。例如，x86-64 要求 64 位數據（如 double）按 8 字節對齊，否則可能引發性能損失或硬體異常。以下是 Memory 大小影響數據類型相關例子 :
1. 數據類型的大小和對齊規則（如 int 4 字節、double 8 字節）由硬體內存控制器和匯編指令決定。例如，movq 指令假設 64 位數據對齊到 8 字節邊界。
2. 若一個 32 位整數未按 4 字節對齊，CPU 可能需要多次內存訪問，降低效率。

再來是硬體方面之浮點數硬體。現代 CPU 包含專用浮點單元（FPU）或向量寄存器（如 x86-64 的 XMM/YMM 寄存器），支持 IEEE 754 浮點數標準（32 位 float 和 64 位 double）。浮點數類型的大小和格式直接對應硬體浮點寄存器。例如，XMM 寄存器（128 位）可存儲 4 個 float 或 2 個 double，YMM 寄存器（256 位）支持 SIMD（單指令多數據）運算。
#### ISA

而在來到 ISA 方面。首先，ISA決定 CPU 能直接處理什麼數據。舉例來說，x86-64（常見的 PC 處理器架構）可以直接處理 8 位（像 char）、16 位、32 位（像 int）、64 位（像 long）的整數，還能處理 32 位（float）和 64 位（double）的小數。如果你用一個 ISA 不直接支持的數據類型（比如 128 位整數），CPU 得用好幾個指令“拼湊”出結果，就像你不會做一道菜，得先查食譜再慢慢試，費時又費力。

而ISA會影響數據處理的速度。ISA 裡的指令是為特定數據類型量身定做的。比如：x86-64 有個指令 addq，可以一次加兩個 64 位整數，超快！
但如果你用一個怪怪的數據類型（像 80 位浮點數），ISA 沒有一條指令能直接搞定，編譯器得把這操作拆成好幾步，CPU 跑起來就慢。

有些ISA中有特殊指令也會影響數據類型之選擇。比如 x86-64 的 AVX 指令，可以一次處理 8 個 32 位小數（float），特別適合圖形或 AI 計算。這會讓使用者傾向選用 ISA 支援得好的數據類型。例如，寫遊戲程式時，你可能選 float 而不是 double，因為 AVX 指令能讓 float 跑得飛快。

最嚴重的情況就是 ISA 與數據類型不合而影響程式正確性。比如：
x86-64 假設 int 是 32 位。如果你硬要當它是 64 位，CPU 可能只讀一半數據，算出錯的結果。浮點數得符合 IEEE 754 標準（x86-64 支援的格式），不然 CPU 可能不認，程式直接崩。

疑問3 : 討論 bit ops、logical ops、shift ops、arithmetic ops 開銷 ?
- bit ops
在 c 中有 `&`、`|`、`^`、`~`等等。此些運算由 cpu logic gate integrated circuit 之中的 and gate、or gate、xor gate、not gate 實現。無論 operand 是 8 位、32 位還是 64 位都能在一個 clock cycle 完成。
- logical ops
在 c 中有 `&&`、`||`、`!` 等等。邏輯運算處理 boolean value(true/false) 。分兩種情況，第一是 not `!`。僅需一個 clock cycle 即可完成。而第二種是 `&&` 與 `||`。此種涉及短路求值與預測錯誤。短路求值指當檢查第一個 operand 即能決定結果時，即可花一個 clock cycle 就完成運作。但若是
- shift ops
- arithmetic ops

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* 整數表示 (2.2)：
* 核心概念：整數的兩種主要表示方式——無符號（unsigned）和二進制補碼（two's-complement）。
* 小節：
* 整數數據類型（2.2.1）：有符號與無符號類型的區別。
* 無符號編碼（2.2.2）：直接二進制表示，範圍為 0 到 2^n-1。
* 二進制補碼編碼（2.2.3）：用於有符號整數，範圍為 -2^(n-1) 到 2^(n-1)-1。
* 有符號與無符號轉換（2.2.4）：轉換規則及潛在問題。
* C 語言中的有符號與無符號（2.2.5）：隱式轉換的陷阱。
* 位擴展（2.2.6）：零擴展（unsigned）與符號擴展（signed）。
* 截斷（2.2.7）：位數減少時的影響。
* 有符號與無符號建議（2.2.8）：避免混淆的最佳實踐。
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疑問 :
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* 整數運算 (2.3)：
* 核心概念：整數運算的數學屬性，特別是溢出和模運算。
* 小節：
* 無符號加法（2.3.1）：模 2^n 運算。
* 二進制補碼加法（2.3.2）：處理正負數，注意溢出。
* 二進制補碼取負（2.3.3）：-x = ~x + 1。
* 無符號乘法（2.3.4）：模 2^n 運算。
* 二進制補碼乘法（2.3.5）：類似無符號，但考慮符號。
* 常數乘法（2.3.6）：編譯器優化（如用移位代替乘法）。
* 除以 2 的冪（2.3.7）：右移操作的細節。
* 整數運算總結（2.3.8）：溢出和精度的注意事項。
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疑問 :
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* 浮點數 (2.4)：
* 核心概念：IEEE 754 浮點數標準，用於表示實數。
* 小節：
* 分數二進制數（2.4.1）：類似十進制小數的二進制表示。
* IEEE 浮點表示（2.4.2）：符號、指數、尾數（sign, exponent, mantissa）。
* 示例數值（2.4.3）：如何表示 0、∞、NaN 等特殊值。
* 捨入（2.4.4）：四捨五入、向偶數捨入等。
* 浮點運算（2.4.5）：加法、乘法的數學屬性（非關聯性）。
* C 語言中的浮點數（2.4.6）：float 與 double 的使用。
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疑問 :
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