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# 歐拉數的介紹
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## 引言
從小到大我們接觸過不少的常數，在小學的時候認為π(圓周率)可能是3或是3.14，國高中的自然科學也遇到了許多奇奇怪怪的常數，普朗克常數(6.62 × 10^-34 m^2 kg / s)、亞佛加厥常數(6.02×10^23 mol^−1)等等。

到了大學，尤其是微積分這裡，有一個很特別的常數，他不僅僅是一個無理數，到後面他甚至會將所有函數都統合起來。而這個數字的起源則要從那次奇怪的胡思亂想說起... ...。

## 歐拉數的起源
### 方法一 幾何手法
事情是這樣的，對指數函數了解更多了以後，又剛好剛學完函數在固定點的切線斜率(導數)，我們開始對指數函數==在(0,1)這點==上的切線斜率以及函數的"底數"之間的關係感到好奇。


(網址：https://www.geogebra.org/m/afwrs2kv 上面有滑桿，可以針對底數a做調整)

我們可以看到當函數是 $y=2^x$ 時，在 (0,1) 的切線斜率大約是0.69；但是一到 $y=3^x$ 時，切線斜率直接飆到1.1，看起來不是那麼的合理對吧？那有沒有可能中間剛好==有一個切線斜率值是1==的呢？我們藉著這個猜想進行一個定義：
:::success
**<Method 1 - 幾何方法>**
the real number $b$ which satisfied(滿足) the situation(狀況)
$$f(x)=b^x, f'(0)=1$$
is called the **Euler's Number (歐拉數)**, and f(x) is called **the natural exponential function (自然指數函數)**
:::

這只是其中一種找出歐拉數的手法而已，這也是歐拉數的神奇所在。而這個定義也傳遞了一個恆等式給我們：
:::danger
**[Remark: ]**
$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$
You may view it as an identity equation(恆等式). The left hand side is the definition of derivative of $e^x$ at x=0.
:::

### 方法二 代數手法
我們知道，$\lim_{n\to \infty}x^n=1$ 當x=1，$\lim_{n\to \infty}x^n=\infty$ 當x>1，所以$1^\infty=1$，而且$(1.00...1)^\infty=\infty$

奇怪了，只是多了一點點，就可以從1一路電梯向上到無限大，聽起來其實不太符合直觀。總該有一個瞬間可以讓這個極限值落在1跟無限大之間吧？結論是，真的有一種方法可以讓這件事發生。只要讓裡面加的值，跟外面的冪次(次方)增長的幅度成反比，就會回到我們的老朋友---歐拉數---的懷抱了。
:::success
**<Method 2 - 代數方法>**
$$e:=\lim_{n\to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=\lim_{h\to 0}{(1+h)^{1/h}}$$
Notation(符號/表法): the symbol ":=" is defined as "is defined as".
:::
### 方法三 級數方法
這個方式的成因可能要等到 第十一章 數列與級數 的時候可以詳細做介紹，下面這個可以由上面的定義進行"泰勒-麥克勞林展式"得到，而這個結果也可以反推上面的一些性質，因此也被一部份的人視為定義方法之一。
:::success
**<Method 3 - 級數方法>**
$$e^x=\sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}$$
:::
### 方法四 Larson
這個方法有點變態，因為Larson是教完積分才開始教指對數函數。所以會先定義自然對數函數 (natural logarithmic function)
:::info
**Definition of the natural Logarithmic Function**

TheNatural Logarithmic Function is defined by
$$\ln{x}=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt, x>0.$$
:::
:::success
**<Method 4 - Larson方法>**
$$\ln{e}=\int_{1}^{e}\frac{1}{t}dt=1.$$
:::

## 常用性質
以下提供一些有關歐拉數e特別的性質，在未來說不定會用得上。

:::warning
**[Remark: Euler's Formula(歐拉公式)]**
$$e^\theta=\cos\theta+i\sin\theta$$The fact is, it is a pretty common formula in *Introduction of Ordinary Differential Equation(微分方程導論)* & *Complex Analysis(複變數分析)*, and it is also known as the **de Moivre's formula (棣美弗定理)**.
:::
:::warning
**[Remark: Common Differential Equation]**
$$y'=y$$It is a pretty common differential equation, and note that $e^x$ has this property (性質). Hence, we can say that $e^x$ is a general solution(通解) to the differential equation.
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