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tags: Calculus, 2022-Fall-CalculusI
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# 特別函數的微分 (小考3的檢討)
###### tags: `Calculus` `2022-Fall-CalculusI`
[toc]
> 針對這次的小考3，我們多做一點回饋。

## 微分的填空題
首先，第一大題的部分：

1. 常數函數的微分 $\frac{d}{dx}(c)=0$ (常數函數本來就是水平線，任意點的自然為0)
2. 任意底數的指數函數微分 $\frac{d}{dx}(a^x)=a^x \cdot \ln{a}$
:::info
pf:
<1>
$$a^x=e^{x\ln{a}}\\
\frac{d}{dx}(a^x)=\frac{d}{dx}e^{x\ln{a}}=e^{x\ln{a}}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln{a})=a^x \cdot \ln{a}\quad_\blacksquare$$<2>
$$y=a^x\\
\ln{y}=x\ln{a}\\
同\frac{d}{dx}, \frac{y'}{y}=\ln{a},y'=y\cdot \ln{a}=a^x\cdot \ln{a}\quad_\blacksquare$$<3>
$$(a^x)'=\lim_{h\to 0}{}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h \to 0}\frac{(a^h-1)}{h}\stackrel{\text{by lemma}}{=}a^x \cdot \ln{a}\quad_\blacksquare$$ps. $a^x$ 之所以能被提出來是因為在極限底下 $a^x$ 與 $h$ 無關。
[Lemma]
$$\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln{a}$$

Proof: Consider the variable(變數) substitution(變換) $t=a^h-1. t \to 0\text{, as }h \to 0.$
Note that $t+1=a^h$, $\ln{(t+1)} = h \cdot \ln{a}$, $h=\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}}$
Now we have
$$\frac{a^h-1}{h}=\frac{t}{(\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}})}=\frac{\ln{a}}{(\frac{\ln{(t+1)}}{t})}=\frac{\ln{a}}{\ln{[(1+t)^{(1/t)}]}}\to\frac{\ln{a}}{\ln{e}}=\ln{a}\text{, as }h \to 0\quad_\blacksquare$$
:::
其實你會發現，微分的推導不外乎就是：微分定義、微分的定律、然後隱函數法。其他的微分公視也可以嘗試著做做看，包含了反函數的微分等等。

另外，$\csc{x}$的微分應該也是同理，答案會是 $-\cot{x}\csc{x}$，以下也簡單的用幾個方式推導。
:::info
<1>$$\frac{d}{dx}\csc{x}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{\sin{x}})=\frac{0\cdot\sin{x}-1\cdot\cos{x}}{\sin^2x}=\frac{-\cos{x}}{\sin^2x}$$$$=-1\cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot\frac{1}{\sin{x}}=-\cot{x}\csc{x} \quad_\blacksquare$$<2>$$\frac{d}{dx}\csc{x}=\lim_{h\to 0}\frac{\csc{x+h}-\csc{x}}{h}(有空再回來補齊)$$
:::

## 常用的極限
> 首先，有個重要的性質必須推廣：
:::warning
**[Prop]**
$$\lim_{x\to \infty}{f(x)}=L \iff \lim_{x \to 0}{f(\frac{1}{x})}=L\text{, for some }L \in \bar{\mathbb{R}}$$
key: 使用前記得知會一聲，先告訴我這個性質的完整敘述。
:::
所以我們可以很快速地將`(a)(b)`圈在一起，`(c)(d)`圈在一起，`(e)(f)`圈在一起，因為根據這個性質，這些極限值都是一樣的。
另外，我們可以發現$\lim_{x\to \infty}x\sin{(1/x)}$是很難操作的，所以根據上面的Property(性質)，我們就可以做一個變數變換，==讓題目改回$\lim_{x\to 0}\sin{(x)}/x$==，並且用幾何性質證明出極限值是1。
再強調一次，使用前要先把這個性質的敘述完整的寫一遍出來。不然我不保證會拿到分數。畢竟，這個是複變數函數論的定理，現在只能當作觀察得到的結論。