射影測定による一般の測定の実装 === 『量子コンピュータの基礎』 pp. 30-31 https://hackmd.io/EwQwxiAmBmwIwFoCckBGBWBAWAbDg7AiHEqgtDgAwjCpzACm66SQA=== の議論で$\mathcal{H}$上の測定$\{M_m\}$から$\mathcal{H}_m\otimes\mathcal{H}$上のユニタリ作用素$U_M$を構成できた. さらに,$\mathcal{H}_m\otimes\mathcal{H}$における射影作用素$\overline{M}_m$を$\overline{M}_m = \lvert m\rangle\langle m\rvert\otimes I_\mathcal{H}$と定義して,射影測定$\overline{M}=\{\overline{M}_m\}$を定める. ## $\overline{M}_m$が射影作用素であることの確認 $\mathcal{X}_m = \mathrm{span}\{\lvert m\rangle\}\otimes\mathcal{H}$とすると,これは$\mathcal{H}_m\otimes\mathcal{H}$の閉部分空間. $\overline{M}_m = \lvert m\rangle\langle m\rvert\otimes I_\mathcal{H}$が$\mathcal{X}_m$への射影なの自明っしょ!w(確認終) ## $\overline{M}$が測定であることの証明 $\overline{M}_m$は射影なんだからエルミートで$\overline{M}_m^2 = \overline{M}_m$,つまり \begin{align} \sum_m \overline{M}_m^\dagger\overline{M}_m &= \sum_m \overline{M}_m \\ &= \left(\sum_m \lvert m\rangle\langle m\rangle\right)\otimes I_\mathcal{H} \\ &= I_{\mathcal{H}_M\otimes\mathcal{H}} \end{align} # 測定の公理 $\mathcal{H}$における測定$\{M_m\}$を純粋状態$\lvert\psi\rangle\in\mathcal{H}$に実行したとき,次の性質が成立する. 1. 測定結果として$m$を得る確率は \begin{align} \mathrm{Prob}_N[測定結果がm] &= \Vert M_m\lvert\psi\rangle\Vert^2 \\ &= \langle\psi\rvert M_m^\dagger M_m \lvert\psi\rangle \end{align} となる. 2. 測定により状態は結果に応じて遷移する.測定結果が$m$であるとき,遷移後の状態$\lvert\psi'\rangle$は \begin{align} \lvert\psi'\rangle &= \frac{M_m\lvert\psi\rangle}{\Vert M_m\lvert\psi\rangle\Vert} \end{align} である. # 測定の等価性 $\lvert\psi\rangle$に対して測定$\{M_m\}$を実行したとき,結果$m$を得る確率を \begin{align} \mathrm{Prob}_M[測定結果がm], \end{align} 測定後の状態を \begin{align} \lvert\psi'\rangle \end{align} とおく. $\lvert\overline\psi\rangle = U_M(\lvert 0\rangle\lvert\psi\rangle)$に対して測定$\{\overline{M}_m\}$を実行したとき,結果$m$を得る確率を \begin{align} \mathrm{Prob}_\overline{M}[測定結果がm], \end{align} 測定後の状態を \begin{align} \lvert\overline{\psi'}\rangle \end{align} とおく. このとき,以下が成立する. 1. \begin{align} \mathrm{Prob}_M[測定結果がm] = \mathrm{Prob}_\overline{M}[測定結果がm] \end{align} 2. \begin{align} \lvert m\rangle\lvert\psi'\rangle = \lvert\overline{\psi'}\rangle \end{align} # 証明 \begin{align} \lvert\overline{\psi}\rangle = U_M(\lvert 0\rangle\lvert\psi\rangle) = \sum_m \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle \end{align} であることに注意すれば, \begin{align} \overline{M}_m\lvert\overline{\psi}\rangle &= \sum_{m'} \lvert m\rangle\langle m\rvert\lvert m'\rangle M_{m'}\lvert\psi\rangle \\ &= \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle. \end{align} 1. \begin{align} \mathrm{Prob}_\overline{M}[測定結果がm] &= \Vert \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle \Vert^2 \\ &= \underbrace{\Vert \lvert m\rangle\Vert^2}_{=1} \Vert M_m\lvert\psi\rangle \Vert^2 \\ &= \Vert M_m\lvert\psi\rangle \Vert^2 \\ &= \mathrm{Prob}_M[測定結果がm] \end{align} 2. \begin{align} \lvert\overline{\psi'}\rangle &= \frac{\overline{M}_m\lvert\overline{\psi}\rangle}{\Vert \overline{M}_m\lvert\overline{\psi}\rangle \Vert} \\ &= \frac{\lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle}{\Vert \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle \Vert} \\ &= \lvert m\rangle \otimes \frac{M_m\lvert\psi\rangle}{\Vert M_m\lvert\psi\rangle \Vert} \\ &= \lvert m\rangle\lvert \psi'\rangle \end{align}