# 有限小數

## 背景

因為有限小數為有理數的一種，因此可以表示成$\frac{b}{a}\in{Q}$

而當(a，b)＝1時，a若為${2^\alpha}×{5^\beta}$的因數，則$\frac{b}{a}$為有限小數。

## 證明
若有限小數表示為$\frac{b}{a}$且(a，b)＝1，則必存在一個$10^n$

使得$\frac{b}{a}×{10^n}\in{N}$，而因為(a，b)＝1，所以a|$10^n$

a為${2^\alpha}×{5^\beta}$形式

## 反思
證明的過程中初學者需要先具有先備知識理解有限小數能以$\frac{b}{a}$形式表現

且還需理解為何需要藉由$10^n$證明，因此產生一定的學習成本

若先以「觀察」的角度使初學者發現有限小數與循環小數差異

再進一步輔助初學者觀察有限小數的特徵便能更平滑的使其理解其中意義

## 引導分享
1. ### *Step1>藉由觀察了解有限小數與循環小數的差異*

* $\frac{1}{2}＝0.5$
* $\frac{1}{3}＝0.\bar3$
* $\frac{1}{4}＝0.25$
* $\frac{1}{5}＝0.2$
* $\frac{1}{6}＝0.1\bar6$
* $\frac{1}{7}$＝$0.\overline{142857}$
* $\frac{1}{8}＝0.125$
* $\frac{1}{9}＝0.\bar1$

1. ### *Step2>引導初學者觀察有限小數分母的可能性*

* 分母有2或5的形式
* 分母只有2或5的形式

使初學者理解若有「2或5的條件」時，$\frac{1}{6}＝0.1\bar6$，分母亦有2，因此有「2或5的條件」時不夠嚴謹，因此朝向「**只有**2或5的條件」。

1. ### *Step3>為什麼是2或5而非其他質數*

將初學者觀察後的結果連結反思，為何是2或5可以作為之後證明的輔助，列舉如下：
* 0.1×10＝1(小數點後1位可以乘以10變成整數)
* 0.01×100＝1(小數點後2位可以乘以100變成整數)
* 0.001×1000＝1(小數點後3位可以乘以1000變成整數)

藉此觀察出若為有限小數則會存在一個$10^n$能相乘使其能成為整數

因此「分母只有2或5該形態的分數」並非偶然，而是有跡可循，藉此引領到證明階段

1. ### *Step4>從觀察到聯想到證明*

若有限小數表示為$\frac{b}{a}$且(a，b)＝1，則必存在一個$10^n$

使得$\frac{b}{a}×{10^n}\in{N}$，而因為(a，b)＝1，所以a|$10^n$

a為${2^\alpha}×{5^\beta}$形式

## 結語
以上引導分享並非絕對適用於每個初學者，只是眾多講解方法的一種，而教學之所以值得不段探討便是如此。

因為藉由初學者「觀察」到「聯想」到「思考」到「證明」這樣完整的一個循環可以使初學者更明白證明過程中的含義。

分享的場域中，並非只有存在一種說解方法，初學者缺少的是一個他能夠理解的說解方式，期待未來會有更多的說解方式分享

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