# 循環小數

## 背景

因為循環小數為有理數的一種，因此可以表示成$\frac{b}{a}\in{Q}$

可以將以下常見循環小數轉換成分數形式：
* $0.\bar{a}＝\frac{a}{9}$
* $0.\overline{ab}＝\frac{ab}{99}$
* $0.\overline ab＝\frac{ab−a}{90}$
* $0.a\overline{bc}＝\frac{abc−a}{990}$

## 證明
以 $0.\bar{a}＝\frac{a}{9}$為例

設S＝0.aaaaa...(1)

而10S＝a.aaaaa...(2)

將(2)−(1)得9S＝a，則S＝$\frac{a}{9}$

進而可以推導出更多相關循環小數證明

## 反思

若直接提供給初學者循環小數的公式，再進而證明之並無不妥

不過循環小數將變成「**代數證明**」，初學者乍看之下會認知為新的公式

會第一直覺認為是否需要記憶，不過若將重新安排順序使初學者理解

便可以降低認知負擔

## 引導分享
1. ### *Step1>藉由觀察了解循環小數轉換成分數形式的規律*

* $0.\bar{a}＝\frac{a}{9}$

* $0.\overline{ab}＝\frac{ab}{99}$
* $0.\overline ab＝\frac{ab−a}{90}$
* $0.a\overline{bc}＝\frac{abc−a}{990}$

引導初學者理解分母與分子之間的關係，可以區分為

分母：幾個循環寫幾個9，幾個不循環寫幾個0

分子：若為循環直接擺在分子，若有不循環則將視為全部扣掉不循環

2. ### *Step2>引導初學者練習循環小數與分數的轉換*

* $0.\bar{a}＝\frac{a}{9}$，Ex：$\frac{7}{9}＝0.\bar7$

* $0.\overline{ab}＝\frac{ab}{99}$，Ex：$\frac{17}{99}＝0.\overline{17}$

* $0.\overline ab＝\frac{ab−a}{90}$，Ex：$\frac{17}{90}＝0.1\bar8$
* $0.a\overline{bc}＝\frac{abc−a}{990}$，Ex：$\frac{177}{990}＝0.1\overline{78}$

協助初學者將循環小數轉換成分數形式時，可以搭配計算機使用，使初學者明白分數除法真的會變成循環小數，增加視覺上的信任感。

而數據可以隨意設定，但是建議處理第3項與第4項時暫時不要列舉跨位減法的循環小數，如：$\frac{57}{90}＝0.6\bar2$，會使學習成本增加。

1. ### *Step3>為什麼是9或0而非其他數字*

將初學者觀察後的結果連結反思，為何是9或0可以作為證明後的連結。

1. ### *Step4>從觀察到聯想到證明*

可以以下方3個常見循環小數作為證明，如下：
:::info
以$0.\bar{a}＝\frac{a}{9}$為例
設S＝0.aaaaa...(1)
而10S＝a.aaaaa...(2)
將(2)−(1)得9S＝a，則S＝$\frac{a}{9}$
可以觀察出分母為什麼出現9
:::
:::info
以$0.\overline{ab}＝\frac{ab}{99}$為例
設S＝0.ababababab...(1)
而100S＝ab.ababababab...(2)
將(2)−(1)得99S＝ab，則S＝$\frac{ab}{99}$
引導初學者觀察如何證明消去小數部分
:::
:::info
以$0.a\overline{b}＝\frac{ab−a}{90}$為例
設S＝0.abbbbb...(1)
而10S＝a.bbbbb...(2)
與100S＝ab.bbbbb...(3)
將(3)−(2)得90S＝ab−a，則S＝$\frac{ab−a}{90}$
引導初學者觀察若(2)與(1)不能相消以及(3)與(1)不能相消是否能以(2)與(3)相消
使初學者了解如何處理更多位數的化簡
:::
引導初學者認知到原來9與0的關係並非巧合，而是藉由證明的過程中得出
以及為了消除小數位數而來。

## 結語
以上引導分享並非絕對適用於每個初學者，只是眾多講解方法的一種，而教學之所以值得不段探討便是如此。

因為藉由初學者「觀察」到「聯想」到「思考」到「證明」這樣完整的一個循環可以使初學者更明白證明過程中的含義。

分享的場域中，並非只有存在一種說解方法，初學者缺少的是一個他能夠理解的說解方式，期待未來會有更多的說解方式分享

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