Devoir Maison de mathématiques

--- title: Devoir Maison de mathématiques author: Antonin Peronnet, Benoit Leroux, Oscar Plaisant documentclass: scrartcl header-includes: | \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb} \usepackage{lastpage} \usepackage{xcolor} \usepackage{enumitem} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{sectsty} \usepackage{graphicx} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \fancyhead[L]{} \fancyhead[C]{} \fancyhead[R]{} \renewcommand{\footrulewidth}{1pt} \fancyfoot[L]{A.P, B.L, O.P} \fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}} \fancyfoot[R]{} --- # Exercice 2 1. Le périmètre du carré (en mètres) est de 4, donc : $u_0 = 4$ Lors de la première étape, on ajoute le périmètre d'un carré de côté $\frac{1}{3}$. $u_1 = 4 + 4\cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ Lors de la deuxième étape, on rajoute encore $4\cdot\frac{1}{9}$ au périmètre total par petit carré restants, c'est à dire 8. $u_2 = u_1 + 8 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} + \frac{32}{9} = \frac{80}{9}$ 2. * découpage en sous-carrés : > À chaque étape, chaque carré restant est divisé en 9 sous-carrés. > Ces sous-carrés ont un côté 3 fois moins grand que le carré de départ. > On enlève le carré central, il reste donc 8 sous-carrés pour la prochaine étape. Le nombre de carrés à la n-ième étape est donc $8^n$ La longueur des côtés des sous-carrés est $\dfrac{1}{3^{n+1}}$ (pour $n=0$, le sous-carré central est bien de côté $\frac{1}{3}$) * augmentation du périmètre > À chaque étape, on ajoute au périmètre total le périmètre du sous carré total. $P_{carré} = 4\cdot c = 4\cdot \dfrac{1}{3^n}$ > Or, on ajoute à chaque étape cette quantité pour chaque nouveau sous-carré On trouve finalement $$u_{n+1} = u_n + 4\cdot \dfrac{8^n}{3^n}$$ 3. - Programme python 🐍 ```python f = lambda n, v: v + 4/3*(8/3)**n # version 3.8 + print(u_n := 4) for i in range(100): print(u_n := f(i, u_n)) ``` - Programme rust 🦀 ```rust fn main(){ let f = |n, prev| prev + 4.0/3.0*(8f32/3f32).powi(n); let mut v = 4.0; for i in 1..100 { v = f(i as i32, v); println!("u({}) = {}", i, v); } } ``` - Programme APL 🍏 $\{\omega=0: 4 \diamond (\triangledown\omega - 1), \omega + .25\times(8\div 3)*\omega\}\, 100$ On obtient: \tiny{} 5.333333333333333 8.88888888888889 18.37037037037037 43.654320987654316 111.0781893004115 290.87517146776395 770.3337905807039 2048.89010821521 5458.373621907227 14550.329658419272 38795.545755784726 103449.45534875925 275859.88093002466 735621.0158133991 1961650.7088357308 5231063.223561948 13949496.596165193 37198652.25644052 99196400.68384138 264523729.823577 705396607.5295386 1881057614.7454362 5016153633.987829 13376409685.300877 35670425822.135666 95121135520.36179 253656361382.29807 676416963680.7948 1803778569810.1196 4810076186154.985 12826869829741.293 34204986212638.113 91213296567029.62 243235457512073.66 648627886698857.8 1729674364530282.0 4612464972080746.0 1.2299906592215316e+16 3.279975091257417e+16 8.74660024335311e+16 2.332426731560829e+17 6.219804617495544e+17 1.6586145646654784e+18 4.4229721724412754e+18 1.17945924598434e+19 3.14522465595824e+19 8.387265749221974e+19 2.236604199792526e+20 5.964277866113402e+20 1.5904740976302406e+21 4.241264260347308e+21 1.1310038027592821e+22 3.016010140691419e+22 8.04269370851045e+22 2.144718322269453e+23 5.719248859385207e+23 1.5251330291693884e+24 4.067021411118369e+24 1.0845390429648983e+25 2.8921041145730623e+25 7.712277638861499e+25 2.0566073703630663e+26 5.484286320968177e+26 1.4624763522581804e+27 3.899936939355147e+27 1.039983183828039e+28 2.7732884902081045e+28 7.395435973888278e+28 1.9721162597035407e+29 5.258976692542775e+29 1.4023937846780732e+30 3.739716759141529e+30 9.972578024377409e+30 2.6593541398339757e+31 7.091611039557267e+31 1.8910962772152713e+32 5.04292340590739e+32 1.344779574908637e+33 3.586078866423032e+33 9.562876977128085e+33 2.5501005272341563e+34 6.800268072624416e+34 1.8134048193665105e+35 4.835746184977362e+35 1.289532315993963e+36 3.438752842650568e+36 9.170007580401514e+36 2.445335354773737e+37 6.520894279396632e+37 1.738905141172435e+38 4.637080376459826e+38 1.2365547670559534e+39 3.297479378815876e+39 8.793278343509003e+39 2.344874224935734e+40 6.252997933161957e+40 1.667466115509855e+41 4.44657630802628e+41 1.1857536821403412e+42 3.16200981904091e+42 \normalsize La suite semble donc diverger 4. On cherche à démontrer que $\forall n\in \mathbb{N}, u_n=\dfrac{16}{5}+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n$ On note $P(n)$ cette propriété Démonstration par récurrence: - Initialisation: $u_0 = 4 = \dfrac{20}{5} = \dfrac{16}{5}+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^0$ On a donc $P(n)$ vrai pour $n=0$ - Hérédité: On cherche à démontrer que $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ - Hypothèse de récurrence: Pour cela on suppose $P(n)$ vrai pour $n$ quelconque: $u_n=\dfrac{16}{5}+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n$ - Démonstration: On utilise la formule par récurrence de la suite vu à la question n°2: $u_{n+1}=u_n+\dfrac{4}{3} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n$ $$\begin{aligned} u_{n+1} &=\dfrac{16}{5}+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n + \dfrac{4}{3} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n \\ &= \dfrac{\left(4 \left(\dfrac{8}{3} \right)^n + 16\right) \times 3}{5 \times 3} + \dfrac{\left(4 \times \left(\dfrac{8}{3}\right)^n \right) \times 5}{3 \times 5} \\ &= \dfrac{32\times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n+48}{15} \\ &= \dfrac{32}{15} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n + \dfrac{16 \times 3}{5 \times 3} \\ &= \dfrac{8}{3} \times \dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^n + \dfrac{16}{5} \\ &= \dfrac{16}{5} + \dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{8}{3} \right)^{n+1} \end{aligned}$$ Si $P(n)$ vrai on a $P(n+1)$ vrai, l'hérédité est donc prouvé. $P(n)$ vrai pour $n=0$ et $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ donc $P(n)$ vrai, $\forall n \in \mathbb{N}$ 5. $$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} (u_n) &= \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \left(\dfrac{16}{5}\right) + \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \left(\dfrac{4}{3}\right) \times \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \left(\left(\dfrac{8}{3}\right)\right)^n \\ &= +\infty \end{aligned}$$ # Exercice 3) Le but est de trouver la valeur de la fraction continue suivante $$1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + …}}}}$$ Pour cela, on définit d’abord la fonction $f$ suivante, définie sur $\mathbb{R}^+_*$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^+_*$ $$f : x \mapsto 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}$$ On définit également les différentes suites $(u_n)$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $$u_{n+1} = f(u_n) \;\;\;\;\text{avec} \;\;\;\;u_0 \in \mathbb{R}^+_*$$ ## Formlation du probleme Trouver la valeur de la fraction continue précédente correspond à trouver la limite de la suite $(u_n)$ Par exemple, $u_2 = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{u_1}} = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{u_0}}}}$ Cependant, il faut définir quelle est le premier terme de cette suite. On voir si cela a de l’importance, on peut calculer le deuxième terme de la suite à partir de différentes graines. On trouve: | -4.9 | -3.9 | -2.9 | -1.9 | -0.9 | 0.1 | 1.1 | 2.1 | 3.1 | 4.1 | 5.1 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- |--- | --- | --- | --- | --- | | 1.69 | 1.70 | 1.72 | 1.76 | 2.14 | 1.52 | 1.60 | 1.63 | 1.64 | 1.64 | 1.65 | On peut conjecturer que la suite converge vers $\phi$ (≈1.62) pour toutes les graines positives. Cependant, pour certaines graines négatives (autour de -1), il est moins évident que la suite converge. Dans la partie qui suit, nous nous contenterons de prouver que la suite converge pour toute graine positive ## étude de f ### variations de $f$ sur $\mathbb{R}^+_*$ Pout étudier les variations de $f$, on cherche d’abord sa dérivée: $\begin{array}{cl} f(x) &= 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}\\[5ex] &= 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x + 1}{x}}\\[6ex] &= 1 + \dfrac{x}{x+1}\\[4ex] &= \dfrac{1 + x + x}{x+1}\\[4ex] &= \dfrac{1 + 2x}{x+1}\\[5ex] \end{array}$ $f’(x) = \dfrac{2-1}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ le dénominateur est toujours positif, donc pour tout $x \in \mathbb{R}^+_*$ $f’(x) > 0$ $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ ### $f$, fonction identité et points fixes On cherche à résoudre $x = f(x)$ sur $\mathbb{R}^+_*$ $\begin{array}{cl} x > f (x) &\iff x = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}\\[6ex] &\iff x = 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x + 1}{x}}\\[6ex] &\iff x = 1 + \dfrac{x}{x+1}\\[3ex] &\iff x - 1 = \dfrac{x}{x+1}\\[3ex] &\iff (x - 1)(x+1) = x\\[3ex] &\iff x^2 - x - 1 = 0\\ \end{array}$ Cette équation a une unique solution positive $\phi = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ C’est le point fixe de la fonction $f$ > Note: si on avait considéré une fonction définie dans les négatifs, on aurait trouvé une deuxième solution $\phi’ = - \dfrac{1}{\phi}$ > et en effet, $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\phi’}} = \phi’$ > mais la suite ne converge vers cette valeur seulement avec $u_0 = \phi’$ > Pour toutes les autres valeurs négatives, on converge également vers $\phi$. > C’est ce que nous n’avons pas réussi à prouver. On cherche à résoudre $x > f(x)$ sur $D$ $\begin{array}{cl} x > f (x) &\iff x > 1 + \dfrac{x}{x+1}\\[3ex] &\iff x - 1 > \dfrac{x}{x+1}\\[3ex] &\iff (x - 1)(x+1) > x \;\;\; \text{ ( car x+1 > 0)}\\[2ex] &\iff x^2 - x - 1 > 0 \end{array}$ $x^2 - x - 1$ ayant une seule racine positive à $\phi$, c’est le seul changement de signe de cette quadratique dans l’ensemble de définition de $f$ On trouve que: - $f(x) > x$ sur $]0 ; \phi[$ - $f(x) < x$ sur $]\phi; +\infty[$ ## Convergence vers phi On veut prouver que si $(u_n)$ converge, alors sa limite sera $\phi$ On suppose que $(u_n)$ converge vers un réel $L$ : $$ \lim_{n \to\infty} u_n = L $$ On sait que $f$ est continue sur son ensemble de définition. On a donc $$ \lim_{x \to L} f(x) = f(L) $$ Donc: $$ \left . \begin{array}{cl} \displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = L\\[5ex] \displaystyle\lim_{x \to L} f(x) = f(L) \end{array} \right \} \implies \lim_{n\to\infty} f(u_n) = f(L) $$ Et par unicité de la limite, on a $$ \lim_{n \to\infty} f(u_n) = \lim_{n \to\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to\infty}u_n = L $$ Finalement, on trouve $$ L = f(L) $$ Autrement dit, Si $u_n$ converge, elle converge vers un point fixe. Or, $\phi$ est le seul point fixe dans l’ensemble de définition de $f$ Donc elle convergera nécéssairement vers $\phi$ ## Comportement de $(u_n)$ pour différentes valeurs de $u_0$ On distingue 2 cas: ### 1. $u_0 < \phi$ On prouve par récurrence la propriété $u_n < u_{n+1} < \phi$ avec $n \in \mathbb{N}$ - **Hérédité** On sait que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+_*$ $\begin{array}{cl} u_n < u_{n+1} < \phi &\implies f (u_n) < f(u_{n+1}) < f(\phi)\\ &\implies u_{n+1} < u_{n+2} < \phi \end{array}$ la propriété est bien héréditaire - **Initialisation** On sait que $x < \phi \implies f(x) > x$ Et on est dans le cas où $u_0 < \phi$ $\begin{array}{cl} u_0 < \phi &\implies f(u_0) > u_0\\[2ex] &\implies u_1 > u_0 \end{array}$ $f$ étant strictement croissante, $\begin{array}{cl} u_0 < \phi &\implies f(u_0) < f(\phi)\\[2ex] &\implies u_1 < \phi \end{array}$ Notre propriété est bien vérifiée au rang 0: $u_0 < u_1 < \phi$ - **conclusion** Par récurrence, on a prouvé que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n < u_{n+1} < \phi$ On tire de cette propriété que $(u_n)$ est - croissante - majorée par $\phi$ Donc $(u_n)$ converge Donc $(u_n)$ converge vers $\phi$ ### 2. $\phi < x$ On prouve par récurrence la propriété $\phi < u_{n+1} < u_n$ avec $n \in \mathbb{N}$ - **Hérédité** On sait que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^+_*$ $\begin{array}{cl} \phi < u_{n+1} < u_n &\implies f(\phi) < f(u_{n+1}) < f(u_n)\\ &\implies \phi < u_{n+2} < u_{n+1} \end{array}$ la propriété est bien héréditaire - **Initialisation** On sait que $x > \phi \implies f(x) < x$ Et on est dans le cas où $u_0 > \phi$ $\begin{array}{cl} u_0 > \phi &\implies f(u_0) < u_0\\[2ex] &\implies u_1 < u_0 \end{array}$ $f$ étant strictement croissante, $\begin{array}{cl} u_0 > \phi &\implies f(u_0) > f(\phi)\\[2ex] &\implies u_1 > \phi \end{array}$ Notre propriété est bien vérifiée au rang 0: $\phi < u_1 < u_0$ - **conclusion** Par récurrence, on a prouvé que $\phi < u_{n+1} < u_n$ On tire de cette propriété que $(u_n)$ est - décroissante - minorée par $\phi$ Donc $(u_n)$ converge Donc $(u_n)$ converge vers $\phi$ ## Conclusion: La suite $(u_n)$ converge vers $\phi$ à la fois quand: - [x] $0 < u_0 < \phi$ - [x] $u_0 = phi$ - [x] $u_0 > \phi$ On a donc prouvé que $(u_n)$ converge vers $\phi$ pour toute graine positive. En particulier, $(u_n)$ converge vers $\phi$ avec $u_0 = 1$ Cela permet de justifier que $$ 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + …}}}} = \large \phi $$