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title: TP 1p416
author: Antonin Peronnet, Oscar Plaisant
documentclass: scrartcl
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Programme de base:

import random

def galton5():
    L = []
    for i in range(6):
        L.append(0)
        
    S = 0
    for k in range(5):
        S = S+random.randint(0, 1)
    L[S] = L[S]+1
    return L

**1)**
Il s'agit du nombre d'issues possibles: 0, 1, 2, 3, 4 ou 5

**2)**
Ces lignes servent uniquement à créer une liste de 6 éléments initialisés à 0.
On aurait pu simplement utiliser ce code:

L = [0]*6

**3)**
La fonction `random.randint(0, 1)` donne 0 avec une probabilité $\frac{1}{2}$ et 1 avec une probabilité $\frac{1}{2}$.
0 correspont à l’echec (aller à gauche) et 1 au succès (aller à droite)

**4)**

| case | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|----------------|---|---|---|---|---|---|
|nombre de billes| 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 |

**5)**

def galton5_bis(n_billes):
    L = [0]*6
    for _ in range(n_billes):
        n = sum([random.randint(0, 1) for _ in range(5)])
        L[n] += 1
    return L

**6)**

**a.**

# moche
def galton5_frequence(n_billes):
    L = galton5_bis(n_billes)
    for i in range(len(L)):
        L[i] = L[i] / sum(L)
    return L
    
# mieux
def galton5_frequence(n_billes):
    L = galton5_bis(n_billes)
    return [e / sum(L) for e in L]

**b.**

Pour `n_billes=100_000` la fonction à renvoyé la liste :

[0.03181, 0.15926, 0.31096, 0.31199, 0.15532, 0.03066]

**7)**

**a.**

La loi de probabilité de $X$ est une loi qui compte le nombre de succès d'une série d'épreuves de Bernoulli (5 dans ce cas) , c'est-à-dire une loi Binomiale : $X\hookrightarrow B\left(5, \frac{1}{2}\right)$.

**b.**

On peut dire que $X$ suit la loi donnée dans le tableau suivant :

| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| ---------- |:--------:|:---------:|:--------:|:--------:|:---------:|:---------:|
| $P(X=x_i)$ | $0.03125$ | $0.15625$ | $0.3125$ | $0.3125$ | $0.15625$ | $0.03125$ |

Sachant que les fréquences données à la question **6)b.** sont les suivantes :

| $0.03181$ | $0.15926$ | $0.31096$ | $0.31199$ | $0.15532$ | $0.03066$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|

On voit que ces fréquences correspondent bien avec les probabilités données par la loi binomiale.

Cela est dû au fait que la loi suivie par $X$ est une _modélisation_ des résultats obtenus par la fonction