# Notes of Probability - CH1
## Chapter 1 -- Probability
### Properties of Probability
#### 1. Sets
* $\phi$ 代表 null set 或 empty set
* A $\subset$ B 稱為 A 是 B 的子集合(subset)(= A 比 B 小 = A 被 B 包含)
* A $\cup$ B 稱為 A 和 B 的聯集(union)(所有A的元素和所有B的元素)
* A $\cap$ B 稱為 A 和 B 的交集(intersection)(既屬於 A 又屬於 B 的元素)
* A$^{\prime}$ / A$^c$ 稱為A的差集(在U空間內，除了A的其他元素)

#### 法則:
* associate laws(結合律):
(A $\cup$ B) $\cup$ C = A $\cup$ (B $\cup$ C)
(A $\cap$ B) $\cap$ C = A $\cap$ (B $\cap$ C)
* distributive laws(分配律):
A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ C)
A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)
* **De Morgan's laws(迪摩根定理)**:
(A $\cup$ B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ $\cap$ B$^{\prime}$
(A $\cap$ B)$^{\prime}$ = A$^{\prime}$ $\cup$ B$^{\prime}$

#### 2. Probability
#### 公式:
* P(A) = 1 - P(A$^{\prime}$)
* P($\phi$) = 0
* if A $\subset$ B $\Longrightarrow$ P(A) $\le$ P(B)
* **P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)**

#### 3. Tips
**皆可藉由畫圖得解，畫出類似第一大點的那種圖**

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### Methods of Enumeration
#### 1. 公式:
* C$^{n}_{r}$ = $\dbinom{n}{r}$ = $\cfrac{n!}{r!(n-r)!}$
#### 2. Tips
注意是 a$^n$ 、 a! 、 C$^{n}_{r}$

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### Conditional Probability
#### 1. 公式:
* $P(A|B) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $\Longrightarrow$ $P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$
* $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

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### Independent Events
#### 1. 定義:
* $P(A|B) = P(B)$ $\Longrightarrow$ $A,B$ are independent
* $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ $\Longrightarrow$ $A,B$ are independent
#### 2. 延伸:
i. if $A, B$ are independent then these are also independent:
* $A, B^{\prime}$
* $A^{\prime}, B$
* $A^{\prime}, B^{\prime}$

ii. $A, B, C$ are mutually independent if and only if these holds:
* $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
* $P(B \cap C) = P(B)P(C)$
* $P(C \cap A) = P(C)P(A)$
* $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$

#### 3. 名詞補充:

mutually exclusive and exhaustive(互斥且互補) ：包含所有可能發生的事件，且一次只能發生一個事件。

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### Baye's Theorem
#### 先備知識(全機率定理) :
* **公式** : 令一樣本空間S，由A$_{1}$, A$_{2}$, ......A$_{n}$一系列互斥且互補的事件組成，樣本空間可表示為:
$S = A_{1} \cup A_{2} \cup ...... \cup A_{n}$
而對於在S空間中的任意事件B, 其機率可以這樣表達:
$P(B) = \Sigma^{n}_{i=1}P(B\cap A_i) =\Sigma^{n}_{i=1}P(B\mid A_i)P(A_i)$
#### 進入正題(貝式定理) :
當我們今天只知道"在事件A的情況下發生事件B的機率"，想要反過來推算『在事件B的情況下發生事件A的機率』的時候，就會用到貝式定理 :
* **公式** : 令一樣本空間S，由A$_{1}$, A$_{2}$, ......A$_{n}$一系列互斥且互補的事件組成，藉由條件機率公式可以得知在任意B事件的條件下，$A_k$的機率可表示為:
$P(A_k \mid B) = \cfrac{P(B \cap A)}{P(B)} = \cfrac{P(B\mid A)P(A)}{\Sigma^{n}_{i=1}P(B\mid A_i)P(A_i)}$
* **tips :**
當遇到很多不同條件的時候, 可以利用製表來快速分析;另外, 遇到較難理解的題目時還可以利用2元分支樹狀圖來求解