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title: Práctica de Mediciones e Incertezas

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# Práctica de Mediciones e Incertezas

En el presente informe se corresponde con la práctica desarrollada el día **01/09/2022**
En el mismo se pretende dar cuenta de diversos conceptos de metrología y calidad empleando un enfoque práctico mediante la determinación del tipo de material de un cilindro con un agujero pasante a través de su densidad. A lo largo de este trabajo se exponen las vicisitudes asociadas a las mediciones tanto directas como indirectas, como así también métodos de estimación de error.


## Objetivos

* Realización de mediciones directas
* Cálculo de mediciones indirectas
* Estimación de cifras apropiadas de una constante
* Comparación de resultados
* Expresión de la densidad con sentido físico


## Desarrollo práctico

A continuación se expone el desarrollo práctico llevado a cabo. El mismo consistió en la medición directa de dimensión, masa y volumen de un cilindro con un agujero pasante con la ayuda de cuatro instrumentos: calibre, regla milimetrada, probeta graduada y una balanza electrónica.
El proceso de medición consta de la toma de siete muestras de los tres parámetros ya mencionados. Luego se deberán expresar los resultados con su tolerancia correspondiente para finalmente de forma indirecta determinar su densidad. 
Con esta última se pretende dar cuenta del material del que está formada dicho cilindro.


### Medición de la masa con balanza electrónica

- Cifras significativas (**4CS**)
- Marca del instrumento: **Desconocida**
- Sensibilidad: **$S_{balanza} = 0.5\ g$**
- Unidad de medida: **[g]**

<div class="center">

|   Medición    |     Masa     |
|:-------------:|:------------:|
|       1       |    186.5     |
|       ⁝       |      ⁝       |
|       7       |    186.5     |
|     Moda      |    186.5     |
|  Valor medio  |    186.5     |
|   Promedio    |    186.5     |
| Incertidumbre |     0.5      |
|  Valor final  | 186.5 +- 0.5 |

</div>

### Medición con calibre
- Cifras significativas (**4CS**)
- Marca del instrumento: **Desconocida**
- Sensibilidad: **$S_{calibre} = 0.005\ mm \rightarrow 0.0005\ cm$**
- Unidad de medida: **[cm]**
- Esquema de medición
![Esquema medición Calibre](https://i.imgur.com/cbFCtv9.jpg#center)

<div class="center">

|   Medición    | Diámetro interno ($\oslash_1$) | Diámetro Externo ($\oslash_2$) |  Altura  (h)  |
|:-------------:|:------------------------------:|:------------------------------:|:-------------:|
|       1       |             0.465              |             2.590              |     4.360     |
|       2       |             0.440              |             2.585              |     4.360     |
|       3       |             0.500              |             2.310              |     4.400     |
|       4       |             0.470              |             2.610              |     4.360     |
|       5       |             0.470              |             2.590              |     4.365     |
|       6       |             0.450              |             2.590              |     4.360     |
|       7       |             0.450              |             2.600              |     4.400     |
|     Moda      |               -                |             2.590              |     4.360     |
|  Valor medio  |             0.470              |             2.460              |     4.380     |
|   Promedio    |            ≈ 0.464             |            ≈ 2.554             |    ≈ 4.372    |
| Incertidumbre |            ≈ 0.031             |            ≈ 0.151             |    ≈ 0.021    |
|  Valor final  |         0.464 ± 0.031          |         2.554 ± 0.151          | 4.372 ± 0.021 |

</div>

#### Cálculo del valor medio, el promedio e incertidumbre

<div class="center">
    
|             | `Valor medio`                     | `Promedio`                                     | `Incertidumbre`                                     |
| ----------- | --------------------------------- | ---------------------------------------------- | --------------------------------------------------- |
| $\oslash_1$ | $\frac{0.500 + 0.440}{2} = 0.470$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 0.464 $$ | $\frac{0.500 -0.440}{2} + S_{calibre}\approx 0.031$ |
| $\oslash_2$ | $\frac{2.610 + 2.310}{2} = 2.460$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 2.553 $$ |               $\frac{2.610 -2.310}{2} + S_{calibre}\approx 0.151$                                      |
| $h$        | $\frac{2.610 + 2.310}{2} = 2.460$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 4.372 $$ |               $\frac{4.400 -4.360}{2} + S_{calibre}\approx 0.021$                                      |
</div>


### Medición con regla

- Cifras significativas (**2CS**)
- Marca del instrumento **Desconocida**
- Sensibilidad: **$S_{regla} = 1\ mm \rightarrow 0.1\ cm$**
- Unidad de medida: **[cm]**
- Esquema de medición
![Esquema medición Calibre](https://i.imgur.com/cbFCtv9.jpg#center)

<div class="center">

|   Medición    | Diámetro interno ($\oslash_1$) | Diámetro Externo ($\oslash_2$) | Altura  (h) |
|:-------------:|:------------------------------:|:------------------------------:|:-----------:|
|       1       |              0.5               |              2.6               |     4.3     |
|       2       |              0.5               |              2.5               |     4.3     |
|       3       |              0.6               |              2.6               |     4.4     |
|       4       |              0.6               |              2.6               |     4.3     |
|       5       |              0.5               |              2.6               |     4.3     |
|       6       |              0.5               |              2.5               |     4.3     |
|       7       |              0.5               |              2.6               |     4.2     |
|     Moda      |              0.5               |              2.6               |     4.3     |
|  Valor medio  |             ≈ 0.6              |             ≈ 2.6              |     4.3     |
|   Promedio    |             ≈ 0.5              |             ≈ 2.6              |     4.3     |
| Incertidumbre |             ≈ 0.2              |             ≈ 0.2              |     0.2     |
|  Valor final  |           0.5 +- 0.2           |           2.6 +- 0.2           | 4.3 +- 0.2  |

</div>
    
#### Cálculo del valor medio, el promedio e incertidumbre

<div class="center">

|             | `Valor medio`                     | `Promedio`                                     | `Incertidumbre`                                     |
| ----------- | --------------------------------- | ---------------------------------------------- | --------------------------------------------------- |
| $\oslash_1$ | $\frac{0.6 + 0.5}{2} ≈ 0.6$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 0.5 $$ | $\frac{0.6 -0.5}{2} + S_{regla}\approx 0.2$ |
| $\oslash_2$ | $\frac{2.6 + 2.5}{2} \approx 2.6$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 2.6 $$ |               $\frac{2.6 -2.5}{2} + S_{regla}\approx 0.2$                                      |
| $h$         | $\frac{4.4+ 4.2}{2} = 4.3$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} = 4.3 $$ |               $\frac{4.4 -4.2}{2} + S_{regla}= 0.2$                                      |
    
</div>

### Medición con probeta

- Cifras significativas (**3CS**)
- Marca del instrumento **Desconocida**
- Sensibilidad: **$S_{probeta} = 2\ mL$**
- Unidad de medida: **[mL]**
- Esquema de medición
![Esquema medición probeta](https://i.imgur.com/p542rov.jpg#center)

<div class="center">

|   Medición    | Volumen máximo | Volumen mínimo | Diferencia de volumen |
|:-------------:|:--------------:|:--------------:|:---------------------:|
|       1       |      132       |      110       |          22           |
|       2       |      176       |      154       |          22           |
|       3       |      152       |      130       |          22           |
|       4       |      180       |      158       |          22           |
|       5       |      176       |      152       |          22           |
|       6       |      126       |      104       |          22           |
|       7       |      206       |      184       |          22           |
|     Moda      |      176       |       -        |          22           |
|  Valor medio  |      166       |      144       |          22           |
|   Promedio    |      164       |     ≈ 142      |          22           |
| Incertidumbre |       42        |       42        |           2           |
|  Valor final  |    164 +- 42    |    142 +- 42    |        22 +- 2        |

</div>

#### Cálculo del valor medio, el promedio e incertidumbre

<div class="center">
    
|             | `Valor medio`                     | `Promedio`                                     | `Incertidumbre`                                     |
| ----------- | --------------------------------- | ---------------------------------------------- | --------------------------------------------------- |
| Volumen máximo | $\frac{206 + 126}{2} = 166$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} = 164 $$ | $\frac{206 - 126}{2} + S_{probeta} =  42$ |
| Volumen mínimo | $\frac{184 + 104}{2} = 144$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} \approx 142 $$ | $\frac{184 - 104}{2} + S_{probeta} =  42$ |
| Diferencia de volumen | $\frac{22 + 22}{2} = 22$ | $$ \frac{\sum_{i=1}^{7}med_i}{7} = 22 $$ | $\frac{22 - 22}{2} + S_{probeta} =  2$ |

</div>

## Estimación del número π

<div class="center">

|                    | Calibre                                                               | Regla                                                        |
|:------------------:| --------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| `Diámetro interno` | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.031}{0.464}\cdot100\%\approx 6.68 \%$$ | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.2}{0.5}\cdot100\% = 40.0 \%$$ |
| `Diámetro externo` | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.151}{2.553}\cdot100\%\approx 5.91 \%$$ | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.2}{2.6}\cdot100\% \approx  7.69 \%$$ |
| `Altura` | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.021}{4.372}\cdot100\% \approx 0.48 \%$$ | $$\varepsilon_{rr\ \%} = \frac{0.2}{4.3}\cdot100\% \approx  4.65 \%$$ |

</div>

Para determinar el truncamiento en las cifras irracionales de π adoptaremos el  críterio presentado a continuación, donde los errores relativos porcentuales a considerar serán aquellos que presenten el menor valor, en este caso los del calibre.

$$ 
10 \cdot \varepsilon_{\pi\ \%} < 2 \cdot (\varepsilon_{D\ \%} + \varepsilon_{d\ \%}) + \varepsilon_{h\ \%} 
$$

Despejando de la ecuación determinamos el error relativo porcentual de π
$$ 
\varepsilon_{\pi\ \%} < 2.766 \%
$$

Esto significa que minimamente el número π debe presentar según la siguiente tabla 3CS.

<div class="center">

| $\pi_0$ | $\Delta_\pi$ | $\varepsilon_{\pi\ \%} = \frac{\Delta_\pi}{\pi_0}\cdot 100\%$ |
|:-------:|:------------:|:-------------------------------------------------------------:|
|    3    |      1       |                             30 %                              |
|   3.1   |     0.1      |                              3 %                              |
|  3.14   |     0.01     |                             0.3%                              |

</div>

Sin embargo para minimizar aún más su ingerencia en el error final se utilizará la máxima cantidad de dígitos que ofrece una calculadora Casio-Fx-570EX.

## Cálculo de la densidad del material

Para el cálculo de $\rho$ disponemos de 2 caminos de *medición indirecta*. El primero de ellos involucra la medición del volumen y masa del cilindro haciendo uso de la probeta graduada y la balanza electrónica. Por otra parte la densidad puede estimarse mediante parámetros geometricos. Para esto último se deberá escoger el instrumento que permita medir longitudes con la mayor exactitud posible, en este caso el calibre nos va a ser de gran utilidad.

![Superposición de incertezas](https://i.imgur.com/LK37Iwn.jpg#center)

Observando la precedente gráfica, en la que se representan las incertezas del calibre y regla, se logra apreciar la ventaja que nos otorga la elección del calibre frente a la regla milimetrada en relación al error de medición.

## Propagación de errores

Para expresar el resultado final de medición se deberá contemplar los errores introducidos por el cálculo, por ello deberemos propagar errores en las ecuaciones de densidad para ambos métodos.

$$ 
\begin{align*}
\rho &=\frac{m}{V}\\
\frac{\partial \rho}{\partial m} = \frac{1}{V} &\qquad
\frac{\partial \rho}{\partial V} = -\frac{m}{V^2}
\end{align*}
$$

$$
\Delta \rho = \left | \frac{\partial \rho}{\partial m} \right |\Delta m + \left | \frac{\partial \rho}{\partial V} \right |\Delta V
$$

Del mismo modo desarrollaremos la propagación de errores para la estimación del volumen de forma geométrica.

$$
\rho_{calibre} =\frac{m}{V} \qquad
V = \frac{\pi \cdot (D^2 - d^2) \cdot h}{4}
$$
$$
\frac{\partial \rho_{calibre}}{\partial m} = \frac{1}{V}
$$
$$
\begin{align}
\frac{\partial V}{\partial \pi} &= \frac{(D^2 - d^2) \cdot h}{4} & \frac{\partial V}{\partial h} &= \frac{\pi \cdot (D^2 - d^2)}{4}                                                                              \\
\frac{\partial V}{\partial D} &= \frac{\pi \cdot h \cdot D}{2}           & \frac{\partial V}{\partial d} &= -\frac{\pi \cdot h \cdot d}{2}
\end{align}
$$

$$
\Delta V= \left | \frac{\partial V}{\partial \pi}   \right | \Delta \pi   +
          \left | \frac{\partial V}{\partial h} 	\right | \Delta h     + 
          \left | \frac{\partial V}{\partial D} 	\right | \Delta D     + 
          \left | \frac{\partial V}{\partial d} 	\right | \Delta d 
$$
Tal como se mencionó anteriormente en la estimación de cifras de $\pi$ podemos despreciar el error del mismo quedando la ecuación de la siguiente manera:
$$
\Delta V= \left | \frac{\partial V}{\partial h} 	\right | \Delta h     + 
          \left | \frac{\partial V}{\partial D} 	\right | \Delta D     + 
          \left | \frac{\partial V}{\partial d} 	\right | \Delta d 
$$

Alternativamente y de un modo más simple podemos expresar el error relativo del volumen como la suma de los errores relativos de sus variables, es decir:

$$
\varepsilon_V = \varepsilon_\pi + \varepsilon_h + \varepsilon_{(D^2-d^2)}
$$

$$
\begin{align}
\frac{\Delta V}{V} &= \frac{\Delta \pi}{\pi} + \frac{\Delta h}{h} + \frac{\Delta {(D^2-d^2)}}{(D^2-d^2)} \\
\end{align}
$$

De esta última expresión el único error desconocido es la diferencia del cuadrado de los diametros. Propaguemos el error en dicha expresión.

$$
\Delta {(D^2-d^2)} = \left | \frac{\partial \Delta {(D^2-d^2)}}{\partial D} 	\right | +
                     \left | \frac{\partial \Delta {(D^2-d^2)}}{\partial d} 	\right |
$$
$$
\Delta {(D^2-d^2)} = 2(\Delta D + \Delta d)
$$
Notar que por tratarse de errores, sería incorrecto restar los factores de peso pues estariamos minimizando
el error final de forma matemática, no así físicamente.  
Como corolario, la expresión de error relativo del volumen se presenta de la siguiente manera (se desprecia el error de $\pi$ nuevamente):

$$
\begin{align}
\Delta V &= V \left [\frac{\Delta h}{h} + \frac{2(\Delta D + \Delta d)}{(D^2-d^2)} \right ] \\
\end{align}
$$

Resultando finalmente la densidad obtenida a partir de parámetros geométricos como:

$$
\Delta \rho_{calibre} = \left | \frac{\partial \rho_{calibre}}{\partial m} \right |\Delta m + \left | \frac{\partial \rho_{calibre}}{\partial V} \right |\Delta V
$$

Calculemos la densidad del material de forma indirecta con ambos instrumentos.

### Probeta

$$
\rho_{probeta} = \frac{m}{V} \pm \Delta \rho_{probeta}
$$

$$
\rho_{probeta} = 
\frac{186.5g}{22mL} \pm 
\left [ 
    \frac{1}{22mL} \cdot 0.5g + \frac{186.5g}{(22mL)^{2}}\cdot 2mL 
\right ]
$$

$$                 
\rho_{probeta} \approx 8.48 \frac{g}{mL} \pm 0.793 \frac{g}{mL}
$$


### Calibre

$$ 
D = 2.554 \pm 0.151 \qquad d = 0.464 \pm 0.031 \qquad h = 4.372 \pm 0.021
$$
$$
\begin{align}
V &= \frac{\pi\cdot(D^2 -d^2)\cdot h}{4} & \Delta V &= V \left [\frac{\Delta h}{h} + \frac{2(\Delta D + \Delta d)}{(D^2-d^2)} \right ] \\
V &= \frac{\pi \cdot (2.554^2 - 0.464^2) \cdot 4.372}{4} & \Delta V &= V \left [\frac{0.021}{4.372} + \frac{2(0.151 + 0.031)}{(2.554^2-0.464^2)} \right ] \\
V &\approx 21.66\ cm^3 & \Delta V &\approx 1.354\ cm^3 \\\\
\end{align}
$$

$$
V=21.66\ cm^3 \pm  1.354\ cm^3
$$

Procedemos a calcular la densidad

$$
\Delta \rho_{calibre} = \left | \frac{\partial \rho_{calibre}}{\partial m} \right |\Delta m + \left | \frac{\partial \rho_{calibre}}{\partial V} \right |\Delta V \\
\Delta \rho_{calibre} = 
\left [ 
    \frac{1}{21.66\ cm^3} \cdot 0.5\ g + \frac{186.5\ g}{(21.66\ cm^3)^{2}}\cdot 1.354\ cm^3
\right ]
$$
$$
\Delta \rho_{calibre} \approx 0.561
$$


$$
\rho_{calibre} \approx 8.610\ \frac{g}{cm^3} \pm 0.561\ \frac{g}{cm^3} 
$$


## Determinación del material en función de su densidad

Determinaremos el tipo de material del que se trata el cilindro a partir de su densidad,
pero para ello deberemos expresar las densidades en $\frac{kg}{m^3}$ puesto que en su 
mayoria las tablas de densidades en ingenieria están expresadas en dichas unidades.

$$                 
\rho_{probeta} \approx 8480 \frac{kg}{m^3} \pm 793 \frac{kg}{m^3}\\
\rho_{calibre} \approx 8610\ \frac{kg}{m^3} \pm 561\ \frac{kg}{m^3} 
$$

Si utilizamos el valor de densidad dado por la probeta podría tratarse del Latón o Cobre.
Por esto, la densidad obtenida mediante el calibre, que de
antemano se puede concluir que es de mayor calidad dicha medición en relación a la efectuada con la probeta graduada
, es la que se utilizó finalmente.

Luego de observar nuevamente la tabla anexa concluimos que el material del cilindro podría tratarse del 
Latón o Cobre. 
Apelando a otras propiedades como el color, concluimos que se trata de **Latón**


## Conclusión

Al ver los resultados obtenidos en el calculo de la densidad con el calibre y la probeta. Llegamos a la conclusión de que el mejor instrumento a utilizar en este caso es el calibre aplicando la fórmula correspondiente. Esto se debe a que podemos medir con mayor exactitud la densidad del objeto, aunque la probeta sea capaz de medir el volumen de forma directa, no es suficiente para contrarrestar la exactitud del calibre.
Al realizar este trabajo, adquirimos algunos conocimientos basicos acerca de cálculos de incertidumbre y tolerancia.


## Anexo

Tabla de mediciones
![Tabla de mediciones](https://i.imgur.com/4kA5pCL.png)

Tabla de densidades
![Tabla de densidades](https://i.imgur.com/Zrn9Ape.png)


## Bibliografía

* Rossi, S. (2012). "*Teoría de la Medida*". Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires.
* Minniti, R. "*Propagación de Errores*". Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires.
* Baird, D. (1991). "*Experimentación: Una Introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos.*" Capitulo 2. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
* Young, H. D., Freedman, R. A., Ford, A. L., Augusta, F. F. V., &amp; Ponce, A. R. (2009). Sears-Zemansky, Física Universitaria, Decimosegunda edición, Volumen 1. Addison-Wesley. 
