# Himpunan Bilangan $k$ sehingga persamaan $x^2+2(k-1)x+(k+5)=0$ memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah..
A. $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-1\}$
B. $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }-\infty < k < \infty\}$
C. $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }0 < k\le 1\}$
D. $\frac{1}{2}(-1)^n+\frac{1}{2}$
E. $\frac{1}{2}(-1)^n-\frac{1}{2}$

---
## Sekilas Materi
* Suatu persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki:
1. **Dua akar riil berbeda**, apabila nilai diskriminannya lebih besar dari 0 ($D>0$), dengan ($D=b^2-4ac$)
2. **Dua akar riil kembar**, apabila nilai diskriminannya sama dengan 0 ($D=0$)
3. **Tidak memiliki akar riil**, apabila nilai diskriminannya kurang dari 0 ($D<0$)
* Jika persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka:
1. Jumlah akar-akarnya
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$
2. Hasil kali akar-akarnya
$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$

---
## Pembahasan

Agar persamaan $x^2+2(k-1)x+(k+5)=0$ memiliki **setidaknya** satu akar riil positif, kita bagi menjadi beberapa kasus:

1. Kasus pertama, persamaan tersebut **memiliki dua akar riil kembar**
* Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar riil kembar. Maka, nilai $D \ge 0$:
$$
D \ge 0 \\
(2(k-1))^2-4(1)(k+5) \ge 0\\
4k^2-8k+4-4k-20 \ge 0 \\
4k^2-12k-16 \ge 0\\
4(k-4)(k+1) \ge 0 \text{ ...(1)} \\
k=4 \text{ atau }k=-1
$$
lakukan uji titik kemudian dimasukkan ke dalam pertidaksamaan (1), didapat:
sehingga, nilai $k$ ketika persamaan tersebut memiliki dua akar kembar adalah $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-1 \cup k\ge4\} \text{ ... (1a)}$

* Karena persamaan kuadrat $x^2+2(k-1)x+(k+5)=0$ memiliki **setidaknya satu akar riil positif** dan akar-akar pada kasus pertama adalah **kembar**, maka **jumlah akar-akar** dari persamaan kuadrat tersebut **bernilai riil positif** dan **hasil kali akar-akar** dari persamaan kuadrat tersebut **bernilai riil positif**. Maka:
1. Jumlah akar-akar bernilai riil positif
$$
x_1+x_2>0 \\
\frac{-b}{a}>0 \\
\frac{-2(k-1)}{1}>0 \\
k-1<0\\
k<1 \text{ ... (1b)}
$$
2. Hasil kali akar-akar bernilai riil positif
$$
x_1 \times x_2>0 \\
\frac{c}{a}>0 \\
\frac{k+5}{1}>0 \\
k+5>0\\
k>-5 \text{ ... (1c)}
$$

Sehingga, nilai $k$ pada kasus 1 adalah irisan dari pertidaksamaan ($1a$), ($1b$), ($1c$), yaitu $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }-5<k\le-1\} \text{ ... (I)}$ (daerah berwarna kuning)

2. Kasus kedua, persamaan tersebut **memiliki dua akar berbeda, dan keduanya riil positif**
* Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar riil berbeda. Maka, nilai $D > 0$
$$
D > 0 \\
(2(k-1))^2-4(1)(k+5) > 0\\
4k^2-8k+4-4k-20 > 0 \\
4k^2-12k-16 > 0\\
4(k-4)(k+1) > 0 \text{ ...(2)} \\
k=4 \text{ atau }k=-1
$$
lakukan uji titik kemudian dimasukkan ke dalam pertidaksamaan (2), didapat:
sehingga, nilai $k$ ketika persamaan tersebut memiliki dua akar berbeda adalah $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k<-1 \cup k>4\} \text{ ... (2a)}$

* Karena kedua akar-akar dari persamaan tersebut merupakan bilangan riil positif. Maka:
1. Jumlah akar-akar bernilai riil positif
$$
x_1+x_2>0 \\
\frac{-b}{a}>0 \\
\frac{-2(k-1)}{1}>0 \\
k-1<0\\
k<1 \text{ ... (2b)}
$$
2. Hasil kali akar-akar bernilai riil positif
$$
x_1 \times x_2>0 \\
\frac{c}{a}>0 \\
\frac{k+5}{1}>0 \\
k+5>0\\
k>-5 \text{ ... (2c)}
$$

Sehingga, nilai $k$ pada kasus 2 adalah irisan dari pertidaksamaan ($2a$), ($2b$), ($2c$), yaitu $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }-5<k<-1\} \text{ ... (II)}$ (daerah berwarna kuning)

3. Kasus ketiga, persamaan tersebut **memiliki dua akar riil** yang terdiri atas **satu akar riil positif** dan **satu akar riil tidak positif**
* Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar riil berbeda. Maka, nilai $D > 0$
$$
D > 0 \\
(2(k-1))^2-4(1)(k+5) > 0\\
4k^2-8k+4-4k-20 > 0 \\
4k^2-12k-16 > 0\\
4(k-4)(k+1) > 0 \text{ ...(3)} \\
k=4 \text{ atau }k=-1
$$
lakukan uji titik kemudian dimasukkan ke dalam pertidaksamaan (3), didapat:
sehingga, nilai $k$ ketika persamaan tersebut memiliki dua akar berbeda adalah $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k<-1 \cup k>4\} \text{ ... (3a)}$

* karena akar-akar tersebut terdiri atas **satu akar riil positif** dan **satu akar riil tidak positif ($\le0$)**. Maka:
1. Jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat pada kasus ini **tidak dapat ditentukan positif atau negatifnya**. Bisa jadi:
* akar riil positif **lebih besar** daripada akar riil tidak positif, yang menyebabkan jumlah akar-akarnya positif
* akar riil positif **lebih kecil** daripada akar riil tidak positif, yang menyebabkan jumlah akar-akarnya negatif
* akar riil positif **sama dengan** daripada akar riil tidak positif, yang menyebabkan jumlah akar-akarnya nol
2. **Hasil kali akar-akarnya bernilai tidak positif ($\le 0$)**, karena hasil perkalian dari bilangan positif dan bilangan tidak positif ($\le 0$) sama dengan bilangan tidak positif ($\le 0$). Maka:
$$
x_1 \times x_2\le0 \\
\frac{c}{a}\le0 \\
\frac{k+5}{1}\le0 \\
k+5\le0\\
k\le-5 \text{ ... (3b)}
$$

Sehingga, nilai $k$ pada kasus 3 adalah irisan dari pertidaksamaan ($3a$) dan ($3b$), yaitu $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-5\} \text{ ... (III)}$ (daerah berwarna kuning)

Sehingga, nilai $k$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $x^2+2(k-1)x+(k+5)=0$ memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah gabungan dari nilai $k$ pada setiap kasus, yaitu gabungan dari pertidaksamaan ($\text{I}$), ($\text{II}$), dan ($\text{III}$). yaitu $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-1\}$ (A)


* Pertidaksamaan ($\text{I}$) [biru]: $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }-5<k\le-1\}$
* Pertidaksamaan ($\text{II}$) [hijau]: $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }-5<k<-1\}$
* Pertidaksamaan ($\text{III}$) [orange]: $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-5\}$

---
## Jawaban Akhir
nilai $k$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $x^2+2(k-1)x+(k+5)=0$ memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah $\{k \in \mathbb{R}\text{ | }k\le-1\}$ (A)