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title: Energy Function

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# Energy Function
在線性代數中，能量函數（energy function）通常指的是一種函數，它將一個向量表示成它在空間中的位置，並在空間中求出它的能量值。舉例來說，對於一個二維向量 $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$，它的能量函數可以表示為：

$$E(\vec{x}) = x_1^2 + x_2^2$$

這個函數將向量 $\vec{x}$ 映射到它在平面中的位置，並確定它的能量值。

與此同時，正定（positive definite）是一個矩陣的性質，表示該矩陣對於任意向量 $\vec{x}$ 都滿足下列不等式：

$$\vec{x}^T A \vec{x} > 0$$

其中 $A$ 是一個矩陣，$\vec{x}$ 是任意非零向量。

因此，能量函數與正定性之間的關係在於：對於一個正定矩陣 $A$，它對應的能量函數 $E(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x}$ 將確保對於任意非零向量 $\vec{x}$，都有 $E(\vec{x}) > 0$。這意味著，能量函數可以用來描述正定矩陣對於向量的作用。