24/02/23

Kí hiệu

$g:$ góc

$t:$ tam giác

Bài toán

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ 2 dây song song AD và BC. Gọi I, H lần lượt là chân đường cao hạ từ O và D. Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh rằng

$gDEI$ = 90°

---

Ta chứng minh gDEB = gAIC, gHEI = gIAC. Thật vậy:

• Tam giác tDAH$ và tABC có gDAH = gABC (AD // BC) và gDHA = ACB = 90°$ nên đồng dạng với nhau theo trường hợp (g.g).
• Lại có OI vuông góc dây BC -> I là trung điểm BC.
  
  $\Rightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{HD}{CA}\Rightarrow \frac{AH/2}{BC/2}=\frac{HD}{CA}\Rightarrow \frac{EH}{IC}\Rightarrow$ tEHD đồng dạng tICA (c.g.c)
  $\Rightarrow gDEH=gAIC$ (1)

Ta chứng minh gBEI = gIAC tức gOEI = gIAC như sau:

• Hạ OI' vuông góc AD, suy ra I' là trung điểm AD, suy ra I'E là đường trung bình của tam giác AHD
  $\Rightarrow$ I'E vuông góc AH.
• Theo tính chất đối xứng của hình chữ nhật ta có OI = OI'.
• Áp dụng hệ thức lượng vào tAI'O vuông tại I có đường cao I'E:
  
  $O{I}^{\prime 2}=OE\ast OA\iff O{I}^2=OE\ast OA\Rightarrow$ tOEI đồng dạng tOIA (c.g.c)
  $\Rightarrow$ gOEI = gOIA.
• Mặt khác, OI // AC (cùng vuông với BC) nên gOIA = gIAC.
  Vậy
  $gOEI=gIAC$ tức là
  $gHEI=gIAC.$

Khi đó,

$gDEI=gDEH+gHEI=gAIC+gIAC=90°$ (đcpm).