# 24/02/23

### Kí hiệu
$g:$ góc
$t:$ tam giác
### Bài toán
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ 2 dây song song AD và BC. Gọi I, H lần lượt là chân đường cao hạ từ O và D. Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh rằng $gDEI$ = 90°

___
Ta chứng minh gDEB = gAIC, gHEI = gIAC. Thật vậy:
- Tam giác tDAH$ và tABC có gDAH = gABC (AD // BC) và gDHA = ACB = 90°$ nên đồng dạng với nhau theo trường hợp (g.g).
- Lại có OI vuông góc dây BC -> I là trung điểm BC.
$\Rightarrow \frac{AH}{BC} = \frac{HD}{CA} \Rightarrow \frac{AH / 2}{BC / 2} = \frac{HD}{CA} \Rightarrow \frac{EH}{IC} \Rightarrow$ tEHD đồng dạng tICA (c.g.c) $\Rightarrow gDEH = gAIC$ **(1)**

Ta chứng minh gBEI = gIAC tức gOEI = gIAC như sau:
- Hạ OI' vuông góc AD, suy ra I' là trung điểm AD, suy ra I'E là đường trung bình của tam giác AHD $\Rightarrow$ I'E vuông góc AH.
- Theo tính chất đối xứng của hình chữ nhật ta có OI = OI'.
- Áp dụng hệ thức lượng vào tAI'O vuông tại I có đường cao I'E:
$OI'^2 = OE * OA \Leftrightarrow OI^2 = OE * OA \Rightarrow$ tOEI đồng dạng tOIA (c.g.c) $\Rightarrow$ gOEI = gOIA.
- Mặt khác, OI // AC (cùng vuông với BC) nên gOIA = gIAC.
Vậy $gOEI = gIAC$ tức là $gHEI = gIAC.$

Khi đó, $gDEI = gDEH + gHEI = gAIC + gIAC = 90°$ (đcpm).