Bài toán

"Diện tích một tam giác bằng thương của tích độ dài ba cạnh và bốn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó".

Cho

$\mathrm{\Delta }ABC$ nội tiếp

$(O;R),AB=c,BC=a,CA=b$, khi đó ta có:

$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot CB\cdot CA}{4R}=\frac{abc}{4R}.$$

Chứng minh

Hạ đường cao

$AH$ xuống

$BC$, vẽ đường kính

$AD$.

$\mathrm{\Delta }ACD$ là tam giác nội tiếp

$(O)$ có cạnh

$AD$ là đường kính

$\Rightarrow \mathrm{\angle }ACD={90}^o$.

$AH\perp BC$ (cách dựng)

$\Rightarrow \mathrm{\angle }AHB={90}^o$.

$\mathrm{\angle }ABH=\mathrm{\angle }ADC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung

$AC$).

Hai tam giác

$ABH$ và

$ADC$ có:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }ABH=\mathrm{\angle }ADC\\ \mathrm{\angle }AHB=\mathrm{\angle }ACD={90}^o\end{array}$$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABH\sim \mathrm{\Delta }ADC(g.g)$.

$$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AC}$$

$$\iff AB\cdot AC=AH\cdot AD$$

$$\iff AB\cdot AC\cdot BC=BC\cdot AH\cdot 2R$$

$$\iff \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{2R}=BC\cdot AH$$

$$\iff \frac{1}{2}\cdot \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{2R}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH$$

$$\iff \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}=\frac{abc}{4R}=S_{ABC}.$$

Vậy ta có

$S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}=\frac{abc}{4R}$.