### Bài toán
"Diện tích một tam giác bằng thương của tích độ dài ba cạnh và bốn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó".

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O; R), AB = c, BC = a, CA = b$, khi đó ta có:
$$S_{ABC} = \frac{AB \cdot CB \cdot CA}{4R} = \frac{abc}{4R}.$$

### Chứng minh

Hạ đường cao $AH$ xuống $BC$, vẽ đường kính $AD$.

$\Delta ACD$ là tam giác nội tiếp $(O)$ có cạnh $AD$ là đường kính $\Rightarrow \angle ACD = 90^o$.
$AH \perp BC$ (cách dựng) $\Rightarrow \angle AHB = 90^o$.
$\angle ABH = \angle ADC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$).

Hai tam giác $ABH$ và $ADC$ có:
\begin{cases}
\angle ABH = \angle ADC \\
\angle AHB = \angle ACD = 90^o
\end{cases}

$\Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta ADC (g.g)$.

$$\Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AH}{AC}$$

$$\Leftrightarrow AB \cdot AC = AH \cdot AD$$

$$\Leftrightarrow AB \cdot AC \cdot BC = BC \cdot AH \cdot 2R$$

$$\Leftrightarrow \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{2R} = BC \cdot AH$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{2R} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$$

$$\Leftrightarrow \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4R} = \frac{abc}{4R} = S_{ABC}.$$

Vậy ta có $S_{ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R} = \frac{abc}{4R}$.