# Statistik 2
#### Rasmus Hyldgård Samsing, 201804580 / au617704, DAT2

## Opgave 1

I denne opgave skal ALLE systemerne fungere på én gang:

$$
P(C_1 \cap C_2 \cap C_3) = P(C_1) \cdot P(C_2) \cdot P(C_3)
$$

Ifølge tabel 1.1 i bogen kan jeg gange sandsynlighederne sammen, da de er uafhængige. Dette er sandsynligheden for at alle komponenterne er funktionelle.
<div style="page-break-after: always; visibility: hidden">
\pagebreak
</div>

## Opgave 2

Her er hele systemet funktionelt hvis bare én af de tre undersystemer fungerer. Ved at følge eksempel 1.10a i bogen kan jeg omskrive udtrykket:

$$
P(C_1 \cup C_2 \cup C_3) = 1 - P((C_1 \cup C_2 \cup C_3)^c)
$$

Nu anvender jeg de Morgans lov:

$$
1 - P((C_1 \cup C_2 \cup C_3)^c) = 1 - P((C_1^c \cap C_2^c \cap C_3^c))
$$

Komponenterne er uafhængige så vi kan anvende reglen fra tabel 1.1 igen:

$$
1 - P(C_1^c) \cdot P(C_2^c) \cdot P(C_3^c)
$$

Jeg omskriver ifølge eksempel 1.10:
$$
1 - (1-P(C_1)) \cdot (1-P(C_2)) \cdot (1-P(C_3))
$$

<div style="page-break-after: always; visibility: hidden">
\pagebreak
</div>

## Opgave 3
I denne opgave former komponenterne $C_1$ og $C_2$ et system af samme slags som i opgave 2. Dette system former sammen med komponenten $C_3$ et system af samme slags som i opgave 1. Jeg bruger samme fremgangsmåde som i de forrige opgaver til at udregne sandsynligheden for at at hele systemet fungerer:

$$
P((C_1 \cup C_2) \cap C_3) = P(C_1 \cup C_2) \cdot P(C_3)\\
$$

Nu bruges samme fremgangsmåde som i opgave 1 til at finde $P(C_1 \cup C_2)$:

$$
P(C_1 \cup C_2) = 1 - P((C_1 \cup C_2)^c)\\
= 1 - P(C_1^c \cap C_2^c)\\
= 1 - P(C_1^c) \cdot P(C_2^c)\\
= 1 - (1 - P(C_1)) \cdot (1 - P(C_2))
$$

Så bliver hele udtrykket:
$$
P(C_1 \cup C_2) \cdot P(C_3) = (1 - (1 - P(C_1)) \cdot (1 - P(C_2))) \cdot P(C_3)
$$

<div style="page-break-after: always; visibility: hidden">
\pagebreak
</div>

## Opgave 4
Jeg udregner først sandsynligheden for at system som består af $C_1$ og $C_2$ fungerer. Samme fremgangsmåde som i opgave 2 følges:

$$
P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2)
$$

Dette system kombineres nu med $C_3$:

For at simplificere udtrykket sætter jeg $C_{1, 2} = C_1 \cap C_2$

$$
P(C_{1, 2} \cup C_3) = 1 - P((C_{1, 2} \cup C_3)^c)\\
= 1 - P(C_{1, 2}^c \cap C_3^c)\\
= 1 - (1 - P(C_{1, 2})) \cdot (1 - P(C_3))\\
= 1 - (1 - P(C_1) \cdot P(C_2)) \cdot (1 - P(C_3))
$$

<div style="page-break-after: always; visibility: hidden">
\pagebreak
</div>

## Opgave 5
Først udregner jeg $P(C_1 \cap C_2)$, dernæst $P(C_3 \cap C_4)$:

$$
P(C_1 \cap C_2) = P(C_1 \cdot C_2)
$$

$$
P(C_3 \cap C_4) = P(C_3) \cdot P(C_4)
$$

Nu udregner jeg sandsynligheden for at de to systemer forbundet parallelt fungerer:

$$
P((C_1 \cap C_2) \cup (C_3 \cap C_4)) = 1 - P(((C_1 \cap C_2) \cup (C_3 \cap C_4))^c)\\
= 1 - P(((C_1 \cap C_2)^c \cap (C_3 \cap C_4)^c))\\
= 1 - P((C_1 \cap C_2)^c) \cdot P((C_3 \cap C_4)^c)\\
= 1 - (1 - P(C_1 \cap C_2)) \cdot (1 - P(C_3 \cap C_4)\\
= 1 - (1 - P(C_1) \cdot P(C_2)) \cdot (1 - P(C_3) \cdot P(C_4))\\
$$

Dette system er så også serieforbundet med komponenten $C_5$ i en serie:

$$
P((C_1 \cap C_2) \cup (C_3 \cap C_4) \cap C_5) = (1 - (1 - P(C_1) \cdot P(C_2)) \cdot (1 - P(C_3) \cdot P(C_4))) \cap P(C_5)\\
= P((C_1 \cap C_2) \cup (C_3 \cap C_4) \cap C_5) = (1 - (1 - P(C_1) \cdot P(C_2)) \cdot (1 - P(C_3) \cdot P(C_4))) \cdot P(C_5)
$$