# 一道Uniswap v2面试题

问：一个Uniswap v2交易对，初始提供100ETH和10,000 token的流动性，获得1000枚LP。现在有一个用户手里有10ETH，如果他希望全部用来做市，应该将多少eth置换为token，以便和手里剩余的eth能正好组成LP？

答：

一、

在兑换之前，我们需要先确认当前池子的reserve0和reserve1。

根据[uniswap v2代码](https://github.com/Uniswap/v2-core/blob/master/contracts/UniswapV2Pair.sol#L110)，在首次添加流动性时：

$$
liquidity = \sqrt{x \cdot y} - L_{min}
$$

其中，$L_{min} = 1000$，是为了防止首次铸币攻击而销毁的固定代币数量。

因此，当前的总流动性代币并不是$1000 * 10^{18}$，而是$1000 * 10^{18} - 1000$。（假设token的精度为$10^{18}$），reserve0为$100 * 10^{18}$，reserve1为$10000 * 10^{18}$。

二、

假设用户把$x_{in}$数量的eth用于兑换token，根据[getAmountOut](https://github.com/Uniswap/v2-periphery/blob/master/contracts/libraries/UniswapV2Library.sol#L43)方法可计算获得的token数量为：

$$
y_{out} = \frac {997 \cdot x_{in} \cdot y_0}{1000 \cdot x_0 + 997 \cdot x_{in}} \tag{1}
$$

其中，$x_0 = 100 * 10^{18}$，$y_0 = 10000 * 10^{18}$。

此时池子里的ETH和token数量分别为：

$$
reserve0 = x_0 + x_{in} = 100 * 10^{18} + x_{in} \tag{2}
$$

$$
reserve1 = y_0 - y_{out} = 10000 * 10^{18} - y_{out} \tag{3}
$$

三、

兑换完成后，用户手里的ETH和token数量分别为：

$$
x = 10 * 10^{18} - x_{in} \tag{4}
$$

$$
y = y_{out} \tag{5}
$$

如果用户希望完全提供流动性，则需要满足：

$$
\frac{x}{y} = \frac{reserve0}{reserve1} \tag{6}
$$

展开上述式子：

$$
\frac{10 * 10^{18} - x_{in}}{y_{out}} = \frac{100 * 10^{18} + x_{in}}{10000 * 10^{18} - y_{out}} \tag{7}
$$

约去$10^{18}$：

$$
\frac{10 - x_{in}}{y_{out}} = \frac{100 + x_{in}}{10000 - y_{out}}
$$

$$
y_{out} = \frac{100000 - 10000 * x_{in}}{110} \tag{8}
$$

代入公式(1)：

$$
\frac {997 \cdot x_{in} \cdot y_0}{1000 \cdot x_0 + 997 \cdot x_{in}} = \frac{100000 - 10000 * x_{in}}{110} \tag{9}
$$

由于 $x_0 = 100 * 10^{18}$，$y_0 = 10000 * 10^{18}$，因此：

$$
\frac{997 * x_{in}}{100000 + 997 * x_{in}} = \frac{10 - x_{in}}{110} \tag{10}
$$

解方程即可得：

$$
x_{in}=4.8882173994193545 \tag{11}
$$

因此，用户需要将约4.89ETH兑换为token，然后组成LP提供流动性。