# 超導量子電腦簡介（一）：LC 電路量子化
此篇文章將介紹最簡單的超導qubit：LC circuit，將其量子化處理以得知此種電路設計的物理性質，雖然它不適合作為量子計算，但是後來發展各種五行六色超導 qubit 的源頭。

>文章要求:
>1. 普通物理：電容、電感與 LC circuit
>2. 量子力學：quantum harmonic oscillator 與 ladder operator
>3. 量子力學：$\hat H|\psi \rangle =E|\psi\rangle$

最簡單的超導電路如下圖，一個電感 L 和一個電容 C 串聯的 closed loop，這電路亦稱為 LC circuit


此電路的總能量為：
$$H_{LC}=\frac{1}{2} CV^2+\frac{1}{2} LI^2=\frac{Q^2}{2C}+\frac{Φ^2}{2L}\quad(1)$$
其中 $Q$ 為電容儲存的電荷（$C=\frac{Q}{V}$），$\Phi$ 為電感的磁通量（$\Phi=\int V dt$，$V=\frac{d\Phi}{dt}=L\frac{dI}{dt}$），這裡的電壓 $V$ 和電流 $I$ 分別是流過是電感>的電流與電感兩端的電壓。

在普通物理中，LC 電路的共振頻率 $\omega$ 為 $\frac{1}{\sqrt{LC}}$，我們引入 $\omega$ ，可以將（1）式改寫成：
$$H_{LC}=\frac{Q^2}{2C}+\frac{1}{2}C\omega^2\Phi^2\quad(2)$$

對照基本量子力學中的harmonic oscillator，可以發現這兩式有幾分相似：
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2\quad(3)$$
（其中 $p$ 為動量，$m$ 為質量，$k$ 為彈簧的彈力常數，$x$ 為位移），harmonic oscillator 中的位移對應電路中的磁通量，動量對應電荷，質量對應電容，彈力係數對應 $\frac{1}{L}$。

因此遵循harmonic oscillator 的量子化方法，引入 commutation relation ：
$$[\hat \Phi, \hat Q]=\hat \Phi \cdot \hat Q-\hat Q\cdot\hat \Phi=i\hbar\quad(4)$$
以此為基礎定義 ladder operator（參看基礎量子力學）：

creation operator $\hat a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar Z_r}}(-iZ_r\hat Q+\hat \Phi)\quad(5)$
annihilation operator $\hat a=\frac{1}{\sqrt{2\hbar Z_r}}(+iZ_r\hat Q+\hat \Phi)\quad(6)$

$Z_r=\sqrt\frac{L}{C}$ 為 LC circuit 的 impedance，引入 ladder operator 後可將 (2) 式改寫成：
$$\hat H=\hbar\omega(\hat a^{\dagger}\hat a+\frac{1}{2})\quad(7)$$

以下我們討論 $\hat a^{\dagger}$ 與 $\hat a$ 的性質：
$$\begin{aligned}
\hat H(\hat a^{\dagger}|\psi\rangle)&=\hbar\omega(\hat a^{\dagger}\hat a+\frac{1}{2})\\
&= \hbar\omega(\hat a^{\dagger}\hat a\hat a^{\dagger} +\frac{1}{2}\hat a^{\dagger})\\
&=\hbar\omega\hat a^{\dagger}(\hat a^{\dagger}\hat a+\frac{1}{2})|\psi\rangle \\
&=\hat a^{\dagger}[\hbar\omega(\hat a^{\dagger}\hat a+\frac{1}{2}|\psi\rangle)]\\
&=\hat a^{\dagger}[\hbar\omega(\hat a\hat a^{\dagger}+1+\frac{1}{2}|\psi\rangle)]\\
&=\hat a^{\dagger}(\hat H+\hbar\omega)|\psi\rangle\\
&=\hat a^{\dagger}(E+\hbar\omega)|\psi\rangle\\
&=(E+\hbar\omega)\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}\rangle
\quad(8) \end{aligned}$$

以上我們用到 $[\hat a,\hat a^{\dagger}]=1$ 的性質（可以自己從 (5) 式和 (6) 式推導）。同理我們也不難得到
$$\hat H(\hat a|\psi\rangle)=(E-\hbar\omega)\hat a|\psi\rangle=(E-\hbar\omega)\sqrt{n}|\psi\rangle\quad(9)$$

從 (8) 和 (9) 式可以得知 $\hat a^{\dagger}$ 與 $\hat a$ 的物理意義，當 $\hat a^{\dagger}$ 作用在 $|\psi\rangle$ 時，能量會增加 $\hbar \omega$，且 state 會往上一階（即激發，$\sqrt{n+1}$ 是波函數的歸一化係數）（在能階上創造一個粒子）；當 $\hat a$ 作用在 $|\psi\rangle$ 時，能量會減少 $\hbar \omega$，且 state 會往下一階（即自發輻射，$\sqrt{n}$ 是波函數的歸一化係數）（在能階上消滅一個粒子）。

利用 (8) 和 (9) 兩式，我們能計算 (7) 每一個能階的能量，假設基態能量（最低能量）為 $E$，即：
$$\hat H|0\rangle=E|0\rangle$$
欲計算第一激發態能量，則：
$$\hat H(\hat a^{\dagger}|0\rangle)=(E+\hbar\omega)(\hat a^{\dagger}|0\rangle)=(E+\hbar\omega)|1\rangle$$
（歸一化係數併到波函數裡面）以此類推可以得出每一個能階差都為 ℏω 的能階圖（如下圖）：


欲將超導 LC 電路作為量子計算，會選用最低能階作為 $|0\rangle$，第一激發態作為 $|1\rangle$，然這個超導 qubit 會引出一個問題，當我們在做 quantum gate 操作時，像是打一道能量為 $\hbar\omega$ 的微波（即把 $|0\rangle$ 激發到 $|1\rangle$），同樣這道雷射也會把 $|1\rangle$ 激發到 $|2\rangle$（第二激發態），超過我們對二元計算的認知，如果後台軟體處理不當，將會導致電腦當機，因此 LC 電路雖為啟蒙後世超導量子電腦的始祖，但不適宜作為量子計算的 qubit。

下一篇文章，我們將介紹為了解決這問題，科學家引入的 Josephson junction 物理元件。

>參考資料：
P. Krantz, M. Ljaergaard, et al (2019). A quantum engineer’s guide to superconducting qubits. Applied Physics Reviews, 6, 021318.