# 4-1 Definition and Examples

### 定義
* 如果 𝐿 滿足以下三個性質，那麼 𝐿 是線性變換（Linear Transformation）：
1. Nonempty：**L(0~V~) = 0~W~**
2. 𝐿(x~1~ + x~2~) = 𝐿(x~1~) + 𝐿(x~2~) (加法封閉性)
3. 𝐿(αx) = α𝐿(x) (乘法封閉性)

* 2跟3可以用 L(αx + βy) = αL(x) + βL(y) 替代

* 從向量空間 𝑉 到向量空間 𝑊 的映射 𝐿 記作 𝐿 : 𝑉 → 𝑊

* 如果 𝑉 和 𝑊 相同，則線性變換 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 稱為 𝑉 上的**線性運算子（Linear Operator）**

#

### 變換矩陣 \(A\)
透過變換矩陣 (A) 來計算

當 𝐴 是任意一個 𝑚 × 𝑛 矩陣時，可以定義一個從𝑅~𝑛~到𝑅~𝑚~的線性變換𝐿~𝐴~，其定義為：
L~A~(x) = Ax
其中 x ∈ 𝑅~𝑛~

#

### 線性變換性質
1. L (0~V~) = 0~W~
* V 和 W 的零向量

2. ($a$~1~v~1~ + ... + $a$~n~v~n~) = $a$~1~ L(v~1~) + ... + $a$~n~ L(v~n~)

3. L (-v) = -L (v)

#

### Identity Operator 單位運算子 $I$
$I$(v) = v
$I$(αv1 + βv2) = αv1 + βv2 = α$I$(v1) + β$I$(v2)

#

### Kernel & Image
當 L: V → W 且 S 是 V 的一個子空間時：
* ker(L) 是 (V) 的子空間，由所有被 𝐿 映射**為零**的向量組成。


> ker(L) = 找L(x)為0的項，舉例：

#

* L (S) 是 W 的一個子空間。

如果 𝐿 是滿射，則 range 就是 𝑊 自己

L(S) = { w ∈ W｜w = L(v) for some v ∈ S }


# 4-2 Matrix Representations of Linear Transformations

找出可以**代表 L() 的一個矩陣**，稱為矩陣A


# 4-3 Similarity
$B = U^{-1}AU$


$B = S^{-1}AS$
$x = S A S^{-1} B$