# 向量微積分

### 線積分

#### 純量線積分

沿著一條曲線的純量積分（視為將城牆高度積分成面積）

$$ \int_C f(\vec{r}) d|\vec{r}| $$

#### 向量線積分

沿著一條曲線的向量積分（視為將力積分成功）

$$ \int_C \vec{f}(\vec{r}) d\vec{r} $$

#### 線積分基本定理與線積分性質

1. 向量場 vector field 與 位勢函數 potential finction
2. 線積分與首尾相減
3. 與路徑無關之線積分
4. 反向路徑
5. 路徑組合
6. 封閉路徑

#### 向量微積分三大定理

| Theorem | 條件 | 描述 | 公式 |
|:------------------:|:----:|:------------------------------------:|:----:|
| Green Theorem | 可微 | 平面中的向量線積分與純量面積分的轉換 | |
| Stokes Theorem | 可微 | 空間中的向量線積分與純量面積分的轉換 | |
| Divergence Theorem | 可微 | 空間中的向量面積分與純量體積分的轉換 | |