# 算幾不等式
###### tags: 高一數學、最大最小值、算幾不等式
### 基礎定義
實數 $a,b>0$,則 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 恆成立,等號成立於 $a=b$ 時。
### 題目分析
此類題型應用於求「極值」
* 給定 $a+b$ 為定值,可以求 $ab$ 最大值
* 給定 $ab$ 為定值,可以求 $a+b$ 最小值
掌握原則:「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。
### 基礎例題(解答見最後)
1. $a,b>0$ 且 $a+b=10$,求 $ab$ 之最大值
2. $a,b>0$ 且 $3a+4b=10$,求 $ab$ 之最大值
3. $a,b>0$ 且 $a^2+b^2=10$,求 $ab$ 之最大值
4. $a,b>0$ 且 $9a^2+16b^2=10$,求 $ab$ 之最大值
5. $a,b>0$ 且 $ab=10$,求 $a+b$ 之最小值
6. $a,b>0$ 且 $ab=10$,求 $3a+4b$ 之最小值
7. $a,b>0$ 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=10$,求 $ab$ 之最小值
8. $a,b>0$ 且 $ab=10$,求 $a+b$與$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 之最小值
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### 特殊例題(解答見最後)
1. $a,b>0$ 且 $9a^2+16b^2=10$,求$(3a-4b)^2$之最小值
2. $x>0$,求$x+\frac{1}{x}$之最小值
3. $x>-1$,求$x+\frac{1}{x+1}$之最小值
4. $x$在第一象限,求$cosx+\frac{1}{cosx}$之最小值
6. $a,b>0$ 且 $2a+5b=10$,求$log(ab)$之最大值
7. $a,b>1$ 且 $ab=15$,求$loga \times logb$之最大值
8. $ab=12$,且令$f(x)=2^x$,求$f(a)f(b)$之最小值
這種題目通常結合不同函數自身的性質(互為倒數、乘法公式、指數、對數、三角函數等),注意看最後要求的東西是相加還是相乘,是求最大值還是最小值,再回推算幾不等式的形態。
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### 危險題型(題目出得太乾淨,誤導觀念)
(來自翰將複習講義108課綱,P.22例題8的詳解)
#### 例題1 $a,b>0$ 且 $ab=16$,求$a+b+ \sqrt{a^2+b^2}$之最小值
> $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}=4$,故$a+b \ge 8$,最小值$8$發生於$(a,b)=(4,4)$
$\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16$,故$a^2+b^2 \ge 32$,最小值$32$發生於$(a,b)=(4,4)$
故總體最小值$Min=8+32=40$,發生在$(a,b)=(4,4)$
這個例題具有誤導性,讓我們以為$f(a,b)+g(a,b)$的極值可以分開算再合併在一起。我們看看例題2
#### 例題2 $a,b>0$ 且 $ab=16$,求$3a+4b+ \sqrt{a^2+b^2}$之最小值
> $\frac{3a+4b}{2} \ge \sqrt{12ab}=6\sqrt{3}$,故$3a+4b \ge 12\sqrt{3}$,最小值$12\sqrt{3}$發生於$(a,b)=(4\sqrt{3},3\sqrt{3})$
$\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16$,故$a^2+b^2 \ge 32$,最小值$32$發生於$(a,b)=(4,4)$
故總體最小值$Min=12\sqrt{3}+32$,發生在$(a,b)=(4,4)$與$(4\sqrt{3},3\sqrt{3})$
兩項發生最小值的數對$(a,b)$不同,是不合理的。因為當$f(a,b)$有最小值時,帶入$g(a,b)$可能不是最小值。反之亦然。
所以$Max[f(x)+g(x)]=Max[f(x)]+Max[g(x)]$的關係式根本不存在。除非發生最大值時的$x$相同。希望同學不要倍這個題目誤導。
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### 歷屆試題
#### 107學測選填C
![](https://i.imgur.com/DKRCKr4.png)
> $\Delta PAB=\frac{1}{2}r\sqrt{25-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{r^2(25-r^2)}$之最大值:問相乘之最大值,找是否有相加 $\rightarrow r^2+(25-r^2)=25$為定值
算幾不等式:$\frac{r^2+(25-r^2)}{2}=\frac{25}{2} \ge \sqrt{r^2(25-r^2)}$ $\rightarrow \frac{25}{4} \ge \frac{1}{2} \sqrt{r^2(25-r^2)}$
歷屆試題的算幾不等式一定會結合應用題,可能是幾何或情境。注意題目是否求「最大值 / 最小值」,以及尋找「可變動的變數」,找到「變動變數」是否相加或相乘為定值。掌握原則:「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。
此外,有時候最大最小值的運算,需要思考最大最小值的四則運算與函數運算。請參考「[極值專題文章](https://hackmd.io/@aaronliu3140222/SJHqKIq6q)(建立中)」
### 超出範圍之補充
#### 補充(一)均值不等式子:$HM-AM-GM-QM$ $Ineq$
$HM$:調和平均值 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
$AM$:算數平均值 $\frac{a+b}{2}$
$GM$:幾何平均值 $\sqrt{ab}$
$QM$:平方平均值 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
定理:對於$a,b>0$來說,$HM \ge AM \ge GM \ge QM$恆成立,等號成立於 $a=b$ 時。
#### 補出(二)高維度算幾不等式
二維:$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
三維:$\frac{a+b+c}{3} \ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}$
N維:$\frac{1}{2}\ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}$
### 例題之解答
解答格式為「最大值$Y^*$發生在$(a^*,b^*)$時」
1. $25,(5,5)$
2. $\frac{25}{12},( \frac{5}{3}, \frac{5}{4})$
3. $5,(\sqrt{5},\sqrt{5})$
4. $\frac{5}{12},( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})$
5. $2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10})$
6. $4 \sqrt{30},(\frac{2}{3} \sqrt{30},\frac{1}{2} \sqrt{30})$
7. $\frac{1}{25},(\frac{1}{5},\frac{1}{5})$
8. $2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10})$ 與 $\frac{\sqrt{10}}{5},(\sqrt{10},\sqrt{10})$
### 特殊例題之解答
1. $0,( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})$
2. $2,x=1$
3. $1,x=0$
4. $2,cosx=1$ $or$ $x=0$
5. $log(2.5), (2.5,1)$
6. $\frac{log(15)}{2}^2,(\sqrt{15},\sqrt{15})$
7. $2^{4 \sqrt{3}}, (2\sqrt{3},2\sqrt{3})$