# CH3：聯立微分方程（System ODE）

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我們在CH1-CH2處理的問題都是要解$y(x)$，其實都只解一個函數。在許多議題中，系統之內的因子會互相影響，因此同時會牽扯到多的函數$y_1,y_2...$，注意這裡的$y_1,y_2$與齊性解$y_h=c_1y_1+c_2y_2$中的不同，指的是兩個不同的事情了。

> 案例：兩個湖（A,B）有自己的入流河與出流河，A湖上游有一個污染物流入，會隨著河流流入流出。AB之間的土壤會傳輸污染物，污染物會擴散到B湖，B湖也會隨著河川稀釋污染物。因此兩湖污染物濃度變化量就分別是兩湖污染物濃度的函數。

對於這個題目，我們需要知道一些環境化學的基礎才能建立模型，但我大概描述一下方程式：


$$
\begin{cases}
{dC_1\over dt}=-\left[{Q+k_wA+{DA'\over L}\over V}\right]C_1+\left[{{DA'\over L}\over V}\right]C_2+{C_sQ\over V}e^{-k_st}\\\\
{dC_2\over dt}=\left[{{DA'\over L}\over V}\right]C_1-\left[{Q+k_wA+{DA'\over L}\over V}\right]C_2
\end{cases}
$$

當然可以化簡成

$$
\begin{bmatrix}C_1'\\C_2'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-a&b\\b&-a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_1\\C_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}H\\0\end{bmatrix}(e^{-k_st})
$$

或

$$
\vec C'=A \vec C+\vec g
$$

對於這個聯立函數來說，$C_1,C_2$都是函數，$t$是自變數，其他都是定值。$C_1,C_2$的微分是$C_1,C_2$的線性組合，這就是System ODE的基本型態。該怎麼分別解得兩函數就是本章節的課題。

## 議題總覽

### 一階線性常係數齊性

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### 一階線性常係數非齊性

### 一階非線性常係數