# CH2：高階常微分方程

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我們在CH1討論了1st ODE，包含線性（我們能全部解決）以及非線性（我們僅能解決部分）。我們在一階的時候使用的方法，包含直接移項、積分因子（Integral Factor）、化為正和(Exact)、分離變數、變數變換等。

在高階（二階以上），我們需要面對的問題都會比一階還要難，包含我們不能直接移項，更不用說後面的技巧。

在高階，我們首先面對的是線性常係數齊性這麼簡單的形式，再來納入非齊性、再來納入變係數（也只能討論Eular Cauchy形式）。在非齊性中，就有不少方法協助解方程式，我認為方法都學起來是比較方便的。

## 方程總覽

$$
\begin{array}{c|r|r}
ODE&H&NH\\
\hline
2nd~L~C&ay''+by'+cy=0&=f(x)\\
2nd~L~EC&ax^2y''+bxy'+cy=0&=f(x)\\
\hline
Nth~L~C&a_0y+a_1y'...+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n}y^{(n)}=\sum_{i=0}^Na_iy^{(i)}=0&=f(x)\\
Nth~L~EC&a_0y+a_1xy'...+a_{n-1}x^{(n-1)}y^{(n-1)}+a_{n}x^ny^{(n)}=\sum_{i=0}^Na_ix^iy^{(i)}=0&=f(x)
\end{array}
$$

## 齊性解定理

## 高階線性常係數齊性微分方程（Nth L C H ODE）

我們從二階開始拓展到高階，是一個比較好了解的方法。

### 二階線性常係數齊性方程式（2nd L C H ODE）

$y''+ay'+by=0$

$<sol>$

$let~y=e^{mx}$

$EQ:m^2e^{mx}+ame^{mx}+be^{mx}=(m^2+am+b)e^{mx}=0$

$m={-a\pm \sqrt{a^2-4b}\over 2}=m_1,m_2$

這種時候$m_1,m_2$有三種情形（用判別是$\Delta=a^2-4b$）

#### $Case~1:\Delta\gt 0$

$m=m_1,m_2$

$y_1=e^{m_1x},y_2=e^{m_2x}$

$y=C_1e^{m_1x}+C_2e^{m_2x}$

$y$就可以是兩個解的線性組合，端看邊界條件或初始條件解出（需要2個）

#### $Case~2:\Delta= 0$

$m=-{a\over2}$

$y_1=e^{mx},y_2=uy_1$代回方程式

$(uy_1)''+a(uy_1)'+buy_1=0$

$(u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+a(u'y_1+uy_1)+buy_1=0$

$...$

$u''=0$

$u=c_1x+c_2$

$y_2=c_1xy_1+c_2y_1$

可以當做$y_2=xy_1=xe^{mx}$

$y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx}=(C_1+C_2x)e^{m_x}$

#### $Case~3:\Delta\lt 0$

$m=\alpha\pm\beta i$

由$Eular~Formular：e^{\beta i}=cos(\beta)+isin(\beta)$

$y_1=e^{m_1x}=e^{ax}(cos(\beta x)+isin(\beta x))\\y_2=e^{m_2x}=e^{ax}(cos(\beta x)-isin(\beta x))$

$y=e^{ax}(C_1cos(\beta x)+C_2sin(\beta x))$

#### 總整理

| $\Delta$ | $y$ |
| ------------- | ------------------------------------------- |
| $\Delta\gt 0$ | $y=C_1e^{m_1x}+C_2e^{m_2x}$ |
| $\Delta= 0$ | $y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx}=(C_1+C_2x)e^{m_x}$ |
| $\Delta\lt 0$ | $y=e^{ax}(C_1cos(\beta x)+C_2sin(\beta x))$ |

### 高階線性常係數齊性方程式（Nth L C H ODE）

從二階得到的經驗，就是看$m$之間的關係。在高階中，會形成如同二階出現的多項式方程式（$m^2+am+b=0$），而N次多項式就會有$N$個根（root），不是解（solution），所以會有$N$個$m$：$m_1,m_2,m_3...m_N$。而這$N$個根就無法像二階一樣提出三個類別去計算。

#### 策略

* 整理出所有$m$，分成實根與虛根
* 同樣的實根分成一組
* 共軛虛根為一堆，同樣的一堆共軛虛根也分成一組
* 每一組分開建立齊性解
* $m$為實根，$y=e^{mx}$
* $m$為共軛虛根，$y=e^{\alpha x}(cos{\beta x}+sin{\beta x})$
* 有重根的情況，依序乘上$x^n$，$n=1,2,3...$
* 建立$y$
* $y$總共會有$N$項，

#### $Ex:m=0,0,1,1,1,1\pm i,1\pm i,\pm 2i$

* 整理出所有$m$，分成實根與虛根
* 實根：$0,0$ / $1,1,1$
* 虛根：$1\pm i,1\pm i$ / $\pm 2i$
* 每一組分開建立齊性解
* $0,0:y=1,x$
* $1,1,1:y=e^x,xe^x,x^2e^x$
* $1\pm i,1\pm i:y=e^xcos(x),e^xsin(x),xe^xcos(x),xe^xsin(x)$
* $\pm 2i:y=cos(2x),sin(2x)$
* 建立$y$
$y=C_1+C_2x+C_3e^x+C_4xe^x+C_5x^2e^x+e^x(C_6cos(x)+C_7sin(x))+xe^x(C_8cos(x)+C_9sin(x))+C_{10}cos(2x)+C_{11}sin(2x)$

## 高階線性常係數非齊性微分方程（Nth L C NH ODE）

我們藉由齊性解定理，知道說我們在非齊性方程式求解時，會有兩部分的解

$$
y=y_h+y_p
$$

$y_h$為非齊性方程齊性部分的解（包含待定常數項$C$）
$y_p$為非齊性項多出來的解（不包含待定常數項$C$）

$y_p$部分有四個方法可以解出來，以下一一介紹

| 方法 | 代稱 | 解法 |
| ---------- | ---- | ---- |
| 參數變換法 | VPM | 公式 |
| 待定係數法 | UCM | 湊項 |
| 逆運算子法 | IOM | 公式 |

我個人建議用VPM或UCM是比較好了解的方法

### VPM

$W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}$

$y_p=-y_1\int{y_2f\over W}+y_2\int{y_1f\over W}$

### UCM

如果$f(x)$僅包含$e^{ax},x^n,sin(bx),cos(bx)$等項的單獨或乘積線性組合，可以快速用這個方法判斷。

| $f(x)$ | $y_p$ |
|:-----------------:|:-----------------------:|
| $e^{ax}$ | $Ce^{ax}$ |
| $cos(bx),sin(bx)$ | $C_1cos(bx)+C_2sin(bx)$ |
| $x^n$ | $\sum_{i=0}^NC_ix^i$ |
| 相加 | |
| 相乘 | |

* 修正條件：如果$y_p$跟$y_h$有重複的項，就需要用$x^n$修正，乘上最小的$x^n$使得$y_p$跟前面不重複

## Eular Cauchy形式（Nth L EC NH ODE）

我們在常係數形式，江