# CH1：一階常微分方程

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微分方程領域，包含常微分方程與偏微分方程，是科學領域非常常見的數學表達。包含自然科學、環境科學、工程科學、經濟學等都會會出現微分方程的表達。我們面對微分方程式的最終目的，就是希望找到方程式的**解**，也就是$y$函數。

代數方程式：$x^2+4x+3=0$，解：$x=-1,-3$
微分方程式：$y'+xy=0$，解：$y=Ce^{{1\over 2}x^2}$

以上就會知道微分方程這個特殊的方程式的目的就是要找到應變數$y$的函數型態。

## 微分方程的分類

微分方程粗略的分類包含用**自變數個數**、**微分項階數**、**線性或非線性**、**齊性或非齊性**。

digraph hierarchy {

                nodesep=1 // increases the separation between nodes
                
                node [color=Red,fontname=Courier,shape=box] //All nodes will this shape and colour
                edge [color=Blue, style=dashed] //All the lines look like this

                微分方程->{常微分 偏微分}
                常微分->{一階 高階}
                一階->{線性 非線性}
                高階->{線性 非線性}
                線性->{齊性 非齊性}
                
                // Put them on the same level
}

### 常微分ODE / 偏微分PDE

### 線性 / 非線性

### 齊性 / 非齊性

## 一階線性微分方程（1st L ODE）

### 一階線性齊性常微分方程（1st L H ODE）

### 一階線性非齊性常微分方程（1st L NH ODE）

## 一階非線性微分方程（1st NL ODE）

### 白努力形式（Bernoulli ODE, Ber ODE）

### 變數可分離形式（Variable Separatable, VS）

### 正合微分方程（Exact ODE）

### 可化為正合微分方程（Exact ODE）

## 解法總覽

| 方程式 | 形式 | 條件 | 積分因子$\mu$ | 解法 |
|:------------:| --------------------- |:------------------------ | --------------------------- | ---------------------------------------------------------- |
| 1st L H ODE | $y'+p(x)y=0$ | | $\mu=exp(\int p(x)dx)$ | $y={C\over \mu}$ |
| 1st L NH ODE | $y'+p(x)y=q(x)$ | | $\mu=exp(\int p(x)dx)$ | $y={1\over \mu}(\int \mu q(x)dx+C)$ |
| Ber ODE | $y'+p(x)y=q(x)y^n$ | | $\mu=exp((1-n)\int p(x)dx)$ | $y={(1-n)\over \mu}(\int \mu q(x)dx+C)$ |
| VS 1st ODE | $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ | $M=g(x)h(y)\\N=p(x)q(y)$ | | $\phi=\int {g(x)\over p(x) }dx+\int {q(y)\over h(y) }dy=C$ |
| Exact | $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ | $\Delta=0$ | | $\phi=\int Mdx+fct(y)=C\\\phi=\int Ndy+fct(x)=C$ |
| 可化為Exact | $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ | ${\Delta\over N}=f(x)$ | $\mu=exp(\int f(x)dx)$ | $\phi=\int \mu Mdx+fct(y)=C\\\phi=\int \mu Ndy+fct(x)=C$ |
| 可化為Exact | $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ | ${\Delta\over -M}=g(y)$ | $\mu=exp(\int g(y)dy)$ | $\phi=\int \mu Mdx+fct(y)=C\\\phi=\int \ mu Ndy+fct(x)=C$ |

* 其中$\Delta=M_y-N_x$。
* 上述積分式已經不用再加常數項$C$，已經融合在公式內的$C$了。公式中的$C$需要由初始條件（$y(a),y'(a)$）解得。
* 正合部分需要比較上下兩式。如果滿足正合條件，必定找得到$\phi$；如果沒有滿足正合條件，必定找不到$\phi$。