## 2022/10/ 27 7/19
## Device-Free Sensing in OFDM Cellular Network
===

### Abstract

* 直交周波数分割多重（OFDM）セルラーネットワークでのデバイスフリーセンシングを検討し、統合センシングおよび通信（ISAC）を実現します。
* 基地局（BS）との間で参照信号を送受信できないパッシブターゲットをローカライズするために、新しい2フェーズセンシングフレームワークが提案されます。
* ターゲットの範囲は、フェーズⅠではBSへの反射OFDM信号に基づいて推定されます。 各ターゲットの位置は、フェーズIIのさまざまなBSまでの範囲に基づいて推定されます。

* フェーズIの完全な範囲推定の理想的なケースでは、ターゲットがランダムである場合、ゴーストターゲットが存在する確率は無視できることが証明されています。
* さらに、フェーズIでのケースの下で、フェーズIIでの共同データの関連付けとターゲットのローカリゼーションのための効率的なアルゴリズムを提案します。
* 数値結果は、提案された2フェーズフレームワークがパッシブターゲットのローカリゼーションで非常に高い精度を達成できることを示しています。

### keywords
統合されたセンシングと通信(Integrated sensing and communication:ISAC),
デバイスフリーセンシング, ネットワークセンシング, データアソシエーション, 6G,
ローカライゼーション, OFDM,ゴーストターゲット.

## 1　Introduction
#### A.研究動機
* ISACは無線周波数信号を再利用することで通信とセンシングを同時に行える方式
* 高度道路交通システムでは車間位置の測定・共有などで活用されている[1]-[8]
* 問題点：統合は出来ているものの実際にセンシングと通信を同時に行うことは未解決問題
*　論文目的 基地局（BS）からの通信信号を再利用することでセルラーネットワークを巨大なセンサーに変換してローカライゼーションを実行し、Beyond5Gや６Gで活用できるようにすること

#### B.先行研究
* ISACの分類①　レーダー信号を使用 or 通信信号を使用
* 前者の課題は情報を埋め込む方法　後者の課題はターゲットのローカライズ方法
* 前者では変調によって多少の伝送は出来るものの、大容量通信は実現できず。
原因はデータシンボルを埋め込むことで自己相関が乱れてセンシング性能が低下するため[10][11]
* ISACの分類②：
デバイスベース：信号を送受信できるターゲットを用いる
デバイスフリー：信号を送受信できないターゲットを用いる

* ２Gで使用されるデバイスベースのセンシングは、ターゲットとBSの間で交換される参照信号に基づいてターゲットの位置を推定[12]、[13]

* 典型的な方法には、半径が光速と信号伝搬時間の積である少なくとも3つの円の交点での各ターゲットの位置を推定する到着時間（ToA）ベースのローカリゼーション、および到着角度ベースのローカリゼーションが含まれます。これは、ターゲットと複数のBS間の無線信号の到達角度を測定することによって形成された線の交点での各ターゲットの位置を推定します。

* デバイスフリーセンシングでは信号の交換がターゲットとBS間で出来ず、また不確定性関数も使いにくい。よって新しい推定法の開発が必要となります。
* 基本的には通信容量と位置推定の精度はトレードオフの関係[14]-[19]
* 反射チャネルの知識から位置情報を推定する方式[20]-[24]も開発されたが実際にチャネル情報を正確に取得することは不可能に近い

#### C.主な貢献
２つのフェーズにより５G以降使用されるOFDM信号を用いて各BSが通信信号からローカライズを行う方法を提案します。

* フェーズI:各BSは、埋め込まれた遅延情報を抽出することにより、信号の遅延の値から複数のターゲットまでの距離（範囲とも呼ばれます）の値を推定します。
* フェーズII:すべてのBSがセルラーネットワークを介して距離情報を共有し（図1を参照）、さまざまなBSまでの距離の値に基づいてToAベースのローカリゼーションアプローチ[12]、[13]と同様に各ターゲットの位置を推定できます。
* 提案されたフェーズIIでのターゲットのローカリゼーションには、従来のToAベースのローカリゼーションとの重要な違いがあることに注意してください。
* デバイスフリーセンシングでは、すべてのターゲットが同じ信号をBSに反射するため、BSは範囲を適切なターゲットに一致させる方法を直接知りません。文献では、このようなマッチングプロセスはデータアソシエーション[27]と呼ばれ、データアソシエーションソリューションが正しくないと、ゴーストターゲットが存在しない可能性があることはよく知られています[27]、[28]。
* この課題に取り組むために、まずフェーズIで完全な範囲推定を行う理想的なケースを検討し、BSの数がターゲットの数の2倍を超える場合、ゴーストターゲットは存在しないことを証明します。また、BSの数がターゲットの数よりもはるかに少ない場合でも、ゴーストターゲットはほぼ確実に存在しません。
* 結果として、データの関連付けから生じるゴーストターゲットの問題は、デバイスフリーセンシングの基本的な制限ではありません。さらに、フェーズIでの不完全な範囲推定の場合、各範囲を適切なターゲットと一致させる最尤（ML）ベースのアルゴリズムを提案し、次に、異なるBSとの一致範囲に基づいて各ターゲットの位置を推定します。

## 2　システムモデル
#### A:デバイスフリーセンシングネットワーク

図1参照

BSの数：$M \geq 3 ,{ }^{}$ $\mathcal{M}=\{1, \ldots, M\}$
通信者：$I \geq 1 ,{ }^{}$ ,　$\mathcal{I}=\{1, \ldots, I\}$
ローカリゼーションのための通信機能のないターゲット：
$K \geq 1$ , $\mathcal{K}=$ $\{1, \ldots, K\}$,

隣接するBSは直交周波数を用いるため同じサブキャリアを再利用するリモートBSからの干渉は無視できます[29]-[31]

2次元（2D）デカルト座標系では、k番目のターゲットとm番目のBSの位置
$\left(x_{k}, y_{k}\right)$ and $\left(a_{m}, b_{m}\right)$　$\forall k \in \mathcal{K}$ and $\forall m \in \mathcal{M}$.
(メートル単位)
m番目のBSとk番目のターゲットの間の距離 $d_{m, k}=\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}} \mathrm{~m}$

m番目のBSとu番目のBS間の距離
$d_{m, u}^{\mathrm{BS}}=$ $\sqrt{\left(a_{m}-a_{u}\right)^{2}+\left(b_{m}-b_{u}\right)^{2}} \mathrm{~m}, \forall k \in \mathcal{K}$ and $\forall m, u \in \mathcal{M} .^{2}$

このペーパーでは、周波数分割複信（FDD）ベースのISACフレームワークを提案します。

通信受信アンテナはターゲットによって反射された信号からの干渉を受信しません。更にセンシング受信アンテナはモバイルユーザーによって送信されたアップリンク信号からの干渉を受信しません。
各BSは周波数帯域1で全二重モードで動作するため、各センシング受信アンテナは同じBSの送信アンテナから強い自己干渉を受信します。この問題に対処するために、自己干渉を軽減するための分離とデジタルドメインキャンセル[32]する手法を使用することを提案します。
各BSはその送信信号を知っているので、デジタル領域での自己干渉を効率的にキャンセルすることができます。
m番目のBSでのターゲットkと送信アンテナ間の距離、およびm番目のBSでのターゲットkとセンシング受信アンテナ間の距離が両方ともdm、k、∀k∈Kand∀andm∈Mにおいてに等しいと仮定します。

#### B.センシング信号モデル
サブキャリア数：$N$
サブキャリア間隔：$\Delta f$ (in Hz)
帯域幅：$B=N \Delta f \mathrm{~Hz}$.

$N$個のOFDMサンプルからなる$m$番目のBSから送信される時間領域OFDMシンボル
$$
\chi_{m}=\left[\chi_{m, 1}, \ldots, \chi_{m, N}\right]^{T}=\sqrt{p} \boldsymbol{W}^{H} \boldsymbol{s}_{m}, \quad \forall m,\tag{1}
$$
$p$：送信電力
$s_{m}=$ $\left[s_{m, 1}, \ldots, s_{m, N}\right]^{T}$
$s_{m, n}$：$m$番目のBSからの$n$番目のサブキャリアの周波数領域OFDM信号

$W \in \mathbb{C}^{N \times N}$ ：DFT行列
$W W^{H}=$ $\boldsymbol{W}^{H} \boldsymbol{W}=\boldsymbol{I}$.

$1 / \Delta f$ seconds (s)： 各OFDMシンボル期間
$1 /(N \Delta f)$ (s)：と各OFDMサンプル期間の長さ

長さ$Q>N$のサイクリックプレフィックス（CP）と共に構成される時間領域OFDM信号は次のようになります。

$$
\begin{aligned}
\bar{\chi}_{m} &=[\underbrace{\bar{\chi}_{m,-Q}, \ldots, \bar{\chi}_{m,-1}}_{\mathrm{CP}}, \underbrace{\bar{\chi}_{m, 0}, \ldots, \bar{\chi}_{m, N-1}}_{\text {pilot or data }}]^{T} \\
&=[\underbrace{\chi_{m, N-Q+1}, \ldots, \chi_{m}, N}_{\mathrm{CP}}, \underbrace{\chi_{m, 1}, \ldots, \chi_{m, N}}_{\text {pilot or data }}]^{T}, \forall m
\end{aligned}\tag{2}
$$
この論文では、複数のターゲットによって反射される信号は、一般に弱すぎてセンシング受信アンテナで検出できないため、無視します。

したがって各BSのセンシング受信アンテナでの受信信号は、受信機ノイズとすべてのM個のBSから送信されたダウンリンクOFDM信号の重ね合わせであり、それぞれがすべてのKターゲットによって反射されます。
$L<Q$で、$L$が解決可能なパスの最大数を表すとします。 したがって、$n$番目のOFDMサンプル期間の$m$番目のBSのセンシング受信アンテナでの受信信号は次のように表されます。

$$
y_{m, n}=\sum_{u=1}^{M} \sum_{l=1}^{L} h_{u, m, l} \bar{\chi}_{u, n-l}+z_{m, n}, \quad \forall m, n\tag{3}
$$

$h_{u, m, l}$ :OFDMサンプル期間の遅延を引き起こすターゲットによって分散された$u$番目のBSから$m$番目のBSへの$l$番目のパスの複素チャネル

$z_{m, n} \sim \mathcal{C N}\left(0, \sigma_{z}^{2}\right)$ ：$m$番目のBSにおける$n$番目のOFDMサンプル期間の円対称複素ガウス（CSCG）ノイズ,
$\sigma_{z}^{2}$ ：平均ノイズ電力

CPを削除した後、1つのOFDMシンボル期間にわたる$m$番目のBSのセンシング受信アンテナでの受信信号は次のように表すことができます。

$$
\boldsymbol{y}_{m}=\sum_{u=1}^{M} \boldsymbol{H}_{u, m} \boldsymbol{\chi}_{u}+\boldsymbol{z}_{m}, \quad \forall m　\tag{4}
$$

$\boldsymbol{y}_{m}=\left[y_{m, 1}, \ldots, y_{m, N}\right]^{T} ;
\quad \boldsymbol{H}_{u, m}$ ： 最初の行が $\left[h_{u, m, 1}, 0, \cdots, 0, h_{u, m, L}, \cdots, h_{u, m, 2}\right] \in \mathbb{C}^{1 \times N}$の $N \times N$巡回行列

雑音行列：
$\boldsymbol{z}_{m}=\left[z_{m, 1}, \ldots, z_{m, N}\right]^{T} \sim \mathcal{C N}\left(0, \sigma_{z}^{2} \boldsymbol{I}\right)$

時間領域信号にDFT行列を掛けた後、周波数領域の$m$番目の$\mathrm{BS}$のセンシング受信アンテナでの受信信号は次のようになります。
$$
\begin{aligned}
\bar{y}_{m} &=\left[\bar{y}_{m, 1}, \ldots, \bar{y}_{m, N}\right]^{T} \\
&=\boldsymbol{W} \boldsymbol{y}_{m}=\sqrt{p} \sum_{u=1}^{M} \operatorname{diag}\left(s_{u}\right) \boldsymbol{G} \boldsymbol{h}_{u, m}+\bar{z}_{m}, \quad \forall m
\end{aligned}\tag{5}
$$
$h_{u, m}=\left[h_{u, m, 1}, \ldots, h_{u, m, L}\right]^{T}$

$\operatorname{diag}\left(s_{u}\right)$ : 主対角$s_{u} ; G \in \mathbb{C}^{N \times L}$を持つ対角行列

$(n, l)$番目の要素は $G_{n, l}=e^{\frac{-j 2 \pi(n-1)(1-1)}{N}}$
$\bar{z}_{m}=$ $\left[\bar{z}_{m, 1}, \ldots, \bar{z}_{m, N}\right]^{T}=\boldsymbol{W}, z_{m} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{z}^{2} \boldsymbol{I}\right)$ , $\boldsymbol{W} \boldsymbol{W}^{H}=I$.

### 3　2フェーズのデバイスフリーセンシングフレームワーク
#### A. フェーズ I: 範囲推定
フェーズⅠでは$m$番目のBSが送信アンテナとセンシング受信アンテナ間のチャネル$h_{m, m, l}$ 's, $l=1, \ldots, L$を推定します。
$h_{m, m, l} \neq 0$の場合, $\bar{k}_{m, l} \in \mathcal{K}$によってインデックス付けされたターゲットが存在し、$m$番目のBSから$\bar{k}_{m, l}$のターゲットへの信号伝搬であることです。

信号が$m$番目のBSに帰ると$l$番目のOFDMに遅延が発生します。

１つのOFDMサンプル期間が$1 /(N \Delta f) \mathrm{s}$であるのでターゲット$\bar{k}_{m, l}$と$m$BSとの間の伝搬の半分の距離は次の範囲のセット（m）内にあります。

$$
\Theta(l)=\left\{d \mid \frac{(l-1) c_{0}}{2 N \Delta f}<d \leq \frac{l c_{0}}{2 N \Delta f}\right\}\tag{6}
$$
$c_{0}$ :光速(in $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ )

$$
\Theta(g)=\left\{d \mid \frac{(g-1) c_{0}}{2 N \Delta f}<d \leq \frac{g c_{0}}{2 N \Delta f}\right\}\tag{6}
$$

$$
\boldsymbol{y}_{m}=\sum_{u=1}^{M} \boldsymbol{H}_{u, m} \boldsymbol{\chi}_{u}+\boldsymbol{z}_{m}, \quad \forall m　
$$

$\boldsymbol{y}_{m}$；$\left[y_{m, 1}, \ldots, y_{m, N}\right]^{T}$
$\quad \boldsymbol{H}_{u, m}$ ； 最初の行が $\left[h_{u, m, 1}, 0, \cdots, 0, h_{u, m, L}, \cdots, h_{u, m, 2}\right] \in \mathbb{C}^{1 \times N}$の $N \times N$巡回行列

雑音行列：
$\boldsymbol{z}_{m}=\left[z_{m, 1}, \ldots, z_{m, N}\right]^{T} \sim \mathcal{C N}\left(0, \sigma_{z}^{2} \boldsymbol{I}\right)$

$c_{0}$ :
$g$ = {$1,...,G$}：
$N$：
$\Delta f$

$$
\bar{d}=\frac{(g-1) c_{0}}{2 N \Delta f}+\frac{c_{0}}{4 N \Delta f}
$$

$m$BSと$\bar{k}_{m, l}$番目のターゲットとの間の距離を推定でき, $d_{m, \bar{k}_{m, l}}$, 上記の範囲セット$\Theta(l)$の中間点として

$$
\bar{d}_{m, \bar{k}_{m, l}}=\frac{(l-1) c_{0}}{2 N \Delta f}+\frac{c_{0}}{4 N \Delta f}, \text { if } h_{m, m, l} \neq 0 .\tag{7}
$$
上記の推定ルールでは、最悪の場合の範囲推定誤差は次の式で与えられることに注意してください。
$$
\left|\bar{d}_{m, \bar{k}_{m, l}}-d_{m, \bar{k}_{m, l}}\right| \leq \frac{c_{0}}{4 N \Delta f} \triangleq \Delta d\tag{8}
$$

$\bar{d}_{m, \bar{k}_{m, l}}$を取得した後、各m番目のBSには、ターゲットとの距離（範囲）の値で構成される範囲セットがあります。

$$
\mathcal{D}_{m}=\left\{\bar{d}_{m, \bar{k}_{m, l}} \mid \forall l \text { satisfying } h_{m, m, l}>0\right\}, \quad \forall m\tag{9}
$$

$\mathcal{D}_{m}(g)$を$\mathcal{D}_{m}, \forall m$の$g$番目に大きい要素として定義します。

さらに、$g_{m、k}$を、$\mathcal{D}_{m}$の要素と$k$番目のターゲットの間のマッピングとして定義します。
たとえば、$\bar{d}_{m, k}$は、$\mathcal{D}_{m}$で$g_{m、k}$番目に大きい要素です。つまり、
$$
\bar{d}_{m, k}=\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right), \quad \forall m, k .\tag{10}
$$
このホワイトペーパーの残りの部分では、データ関連付け変数として$g_{m、k}$'sと呼びます。

セクション４にて、フェーズⅠにおける範囲セット$\mathcal{D}_{m}$'を取得するためのセンシング受信アンテナでの信号に基づく$h_{m、m、l}$'の推定を詳細に紹介します。

#### B.フェーズⅡ　推定された距離におけるBS間のローカライゼーション

次に、フェーズIIでは、すべてのBSがセルラーフロントホールリンクを介して範囲セットDmを相互に共有し、M個のBSまでの距離の値に基づいて各ターゲットkの位置を共同で推定します。

通信機能のないパッシブターゲットに対して検討されているデバイスフリーセンシングでは、すべてのターゲットが同じ信号をBSに反射します。その結果、各$m$BSは、ターゲットkの範囲が集合Dm内ににあることだけを知っていますが$\mathcal{D}_{m}$のどの要素がこの範囲に対応するかを知りません。つまりすべてのkにおいて$g_{m、k}$は不明です。この場合、例1に示すように、$g_{m、k}$のデータ関連付けソリューションが間違っていると、存在しないゴーストターゲットが検出される可能性があります。詳細はセクション５で説明します。


## 4.フェーズⅠ　距離推定

#### A. アルゴリズム設計
各BSmは、それ自体の送信信号、つまり$\boldsymbol{s}_{m}$のみを認識しますが、他のBSの送信信号、つまり$s_{u}, \forall u \neq m$は認識しないことに注意してください。

結果として、各BSで（5）の周波数領域の受信信号に基づいてチャネルを推定する主な課題は、（5）のセンシングマトリックスに関する部分的な知識にあります。
以下では、セルラーネットワークでセル間干渉を制御するために広く使用されている分数周波数再利用技術によって上記の課題に取り組むことができることを示します[29] –[31]。

具体的には、各$m$BSがセット$\mathcal{N}_{m} \subset\{1, \ldots, N\}$で示される$N$サブキャリアの一部を占めると仮定します.

$$
s_{m, n}=0, \quad \forall n \notin \mathcal{N}_{m}, \forall m .\tag{11}
$$
$\mathcal{N}_{m}(n)$ : $\mathcal{N}_{m}$の中で$n$番目に小さい要素

隣接するBSには、分数周波数再利用方式の下でまったく異なるサブキャリアセットが割り当てられます。

$\Upsilon_{m}$　：BS $m$から遠く離れたBSのセット

同じサブキャリアセットを$m$番目のBSと共有します。
$\mathcal{N}_{m}=\mathcal{N}_{u}$ は $\forall u \in \Upsilon_{m}$を持ちます。

上記のスキームの下で、（5）に従って、割り当てられたサブキャリアでの$m$番目のBSの受信信号$\tilde{\boldsymbol{y}}_{m}=$ $\left[\bar{y}_{m, \mathcal{N}_{m}(1)}, \ldots, \bar{y}_{m, \mathcal{N}_{m}\left(\left|\mathcal{N}_{m}\right|\right)}\right]^{T}$は、次のように表されます。

$$
\tilde{\boldsymbol{y}}_{m}=\sqrt{p} \operatorname{diag}\left(\tilde{\boldsymbol{s}}_{m}\right) \tilde{\boldsymbol{G}}_{m} \boldsymbol{h}_{m, m}+\tilde{\boldsymbol{z}}_{m,} \quad \forall m\tag{12}
$$

各$h_{m, m}$のL個の要素のうち、各BSにはK個の散乱（ターゲット）しかないため、それらの$K\ll L$のみが非ゼロであることに注意してください。 したがって、（12）に基づいてスパースチャネル$h_{m,m}$を回復することは、圧縮センシングの問題であり、最小絶対収縮および選択演算子（LASSO）[33]手法を使用して$h_{m,m}$を推定する動機になります。 具体的には、慎重に設計されたパラメータ$\lambda \geq 0$が与えられた場合、各$h_{m,m}$を推定するためのLASSO問題は次のように定式化されます。

$$
\tag{13}
$$

その（13）は凸最適化問題であり、CVXによって効率的に最適解が得られ、推定チャネルとして機能します。

（9）によって範囲集合Dm'sを推定チャネル$\bar{h}_{m, m}=\left[\bar{h}_{m, m, 1}, \ldots, \bar{h}_{m, m, L}\right]^{T }$として取得できます。

$l, d_{m, k_{m, l}}$における$\bar{h}_{m, m, l} \neq 0$の場合、範囲セット$\mathcal{D}_{m}$ は(9)によって得られます。

#### B. 数値例

提案された範囲推定アルゴリズムの精度を評価するための数値例を提供します。

B =100MHz
N=3300
Δf=30kHz[26]
CPの長さ　2.34μs　[34]
解決可能なパスの最大数　L = 200
M = 4BS
各BSには$N / M=825$($\mathcal{N}_{m} \bigcap \mathcal{N}_{u}=\emptyset, \forall m \neq u$, $\Upsilon_{m}=\emptyset, \forall m$)のサブキャリアがランダムに割り当てられます。

この設定では$200 \mathrm{~m} \times 200 \mathrm{~m}$の正方形に均一に分布した後、M=4BSとKターゲットの$10^{5}$の独立したローカリゼーション実現をランダムに生成します。

BS-ターゲット距離の値が与えられると、（6）に従って、$\forall m, k$において$m$番目のBSからターゲット$k$へ戻ってm番目のBSに戻るOFDMサンプル期間の観点から(6)によって遅延を知ることができます。

$\mathcal{L}_{m}$を、 $\forall m$における$m$番目のBSに対するKターゲットによって引き起こされるOFDMサンプル期間に関するK個の真の遅延値のセットとして定義します。

次に、問題（13）を解くことにより、チャネル$h_{m,m}$を推定し、$\forall m$におけるm番目のBSの遅延を$\overline{\mathcal{L}}_{m}=\left\{l \mid \bar{h}_{m, m, l} \neq 0, l=1, \ldots, L\right\}$を推定値のセットとして定義します。

$\mathcal{L}_{m} \neq \overline{\mathcal{L}}_{m}$となるような$m$が少なくとも存在する場合、この実現では範囲推定に誤りがあると言えます。
図6は、距離推定誤差確率とターゲット数K（2〜8の範囲）を示しています。
BS送信電力はそれぞれ6ワット（W）と8Wに設定されています。

提案された方式では、距離推定誤差の確率は非常に低く、送信電力を増やすことで大幅に減らすことができます。

$\bar{d}_{m, \bar{k}_{m, l}}$ 'sと範囲セット$\mathcal{D}_{m}$ 's が得られた後,Dmに基づいてKターゲットをローカライズするためにBSがどのように協力できるかを研究する必要があります


セクションIIIの最後で説明したように、ここでの主な課題は、$g_{m,k}$に関する情報が不足していることです。つまり、各m番目のBSは、$\mathcal{D}_{m}$の範囲を適切なターゲットと一致させる方法を知らないため、 真のターゲットではなくゴーストターゲットの検出してしまいます。

## 5. フェーズⅡ　完璧な範囲推定によるローカライゼーション

このセクションでは、基本的な制限を導出するために、（7）に基づく範囲推定が完全である、つまり$\forall m,k$において$\bar{d}_{m,k}$ =$d_{m、k}$ であると仮定して、フェーズIIでのターゲットのローカリゼーションを紹介します。 これは、(8)において$\Delta {d} = 0$のような無限チャネル帯域幅の理想的なケースに対応します。 各BSが異なるターゲットの範囲を区別できるデバイスベースのセンシングでは、次の方程式を解くことによってターゲットの位置を推定できることに注意してください。

$$
\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}}=d_{m, k}, \quad \forall m, k .\tag{14}
$$

ターゲットをローカライズするには、3つのBSで十分であることはよく知られています。 ただし、各BSが異なるターゲットの範囲を区別できないと考えられるデバイスフリーセンシングでは、BSは次の方程式を解いてターゲットの位置を推定する必要があります。

$$
\begin{array}{l}
\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}}=\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right), \quad \forall m, k, \\
\end{array}\tag{15}
$$
$$
\begin{array}{l}
g_{1, k}=k, \quad \forall k, \\
\end{array}\tag{16}
$$
$$
\begin{array}{l}
\left\{g_{m, 1}, \ldots, g_{m, K}\right\}=\mathcal{K}, \quad \forall m>2 .
\end{array}\tag{17}
$$

（14）のデバイスベースのセンシング方程式とは異なり、デバイスフリーのセンシングでは、$g_ {m、k}$'sも（15）の未知の変数であり、条件（16）および（17）を満たす必要があります。つまり、各BSの異なる範囲は、異なるターゲットに属します。 （16）では、ターゲット$k$を、BS1までの距離が$\mathcal {D}_{1}$の$k$番目に大きい要素、つまり$d_ {1、k}= \mathcal{D}_{1}（k）、\forall k\in\mathcal{K}$であるターゲットとして定義します。
その理由は、ターゲットのインデックス作成のあいまいさを軽減するためです。これを説明するために、セクションIVの例1を考えてみましょう。図4（a）では、$g_ {1,1} = 1$、$g_ {2,1} = 2$、$g_ {3,1} = 2$、$g_{1,2}=2$、$g_ {2,2} = 1$、$g_ {3,2} = 1$のデータ関連付けソリューションの下で、ターゲット1の位置は$(2、-2)$で、ターゲット2の位置は$(-2,2)$です。
ただし、$g_ {1,1} = 2$のデータ関連付けソリューションを検討すると、実際には、これら2つのデータ関連付けソリューションは同じ結果になります。実際、これら2つのデータ関連付けソリューションは同じローカリゼーション結果になります。

$M = 3$の場合、式（15）、（16）、および（17）に複数の解が存在する可能性があるため、デバイスフリーセンシングでは、3つのBSによってターゲット位置が正確に推定されない可能性があることに注意してください。例1に示すように、ゴーストターゲットの存在につながります。

下記ではゴーストターゲットの存在を検出し、ゴーストターゲットの存在の基本的な限界を導き出すアルゴリズムを提案します。

$\tag{}$
$\tag{}$
$\tag{}$

#### A. ゴーストターゲットの定義

まず、ゴーストターゲットの厳密な定義を示します。
定義1：$\mathcal{X}=\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{K}, y_{K}\right)\right\}$は、すべての$K$ターゲットの座標のセットです。

次に、別の座標セット$\mathcal{X}^{\mathrm{G}}=\left\{\left(x_{1}^{\mathrm{G}}, y_{1}^{\mathrm{G}}\right), \ldots,\left(x_{\tilde{K}}^{\mathrm{G}}, y_{K}^{\mathrm{G}}\right)\right\} \neq \mathcal{X}$を検討します。

$$
\begin{array}{l}
d_{m, k}^{\mathrm{G}}=\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}^{\mathrm{G}}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}^{\mathrm{G}}\right)^{2}}, \quad \forall m, k, \\
\end{array}\tag{18}
$$
$$
\begin{array}{l}
\mathcal{D}_{m}^{\mathrm{G}}=\left\{d_{m, 1}^{\mathrm{G}}, \ldots, d_{m, K}^{\mathrm{G}}\right\}, \quad \forall m .
\end{array}\tag{19}
$$
セット$X^{\mathrm{G}}$に示されている座標で$K$ゴーストターゲットが存在する場合に限り、
$$
\mathcal{D}_{m}=\mathcal{D}_{m}^{\mathrm{G}}, \quad \forall m .\tag{20}
$$
$\mathcal{X}, \mathcal{X}^{\mathrm{G}}$ は$(15),(16),(17)$の別解です.


#### B. ゴーストターゲットの存在を検出するアルゴリズム
定義1に基づいて、特定のBSロケーションa_{m},b_{m}'sと

範囲セット$\mathcal{D}_{m}$'sが与えられると、効率的にチェックできます。 ゴーストターゲットが存在するかどうかは次のとおりです。 まず、データ関連付けソリューションが提供されている場合、3つのBSが任意のターゲットを見つけることができるためです。 BS Iのデータ関連付けソリューションを(16)として修正し、条件$(17)$を満たすBS2および3のすべての実行可能なデータ関連付けソリューションをリストできます。 合計で、BS 2および3用の$（K！）^{2}$の実行可能なデータ関連付けソリューションがあります。 さらに、BS 1、2、および3の実行可能なデータ関連付けソリューションは、各ターゲット$k$に対して次の三角不等式も満たす必要があります。 :
$$
\begin{array}{c}
\left|\mathcal{D}_{m_{1}}\left(g_{m_{1}, k}\right)-\mathcal{D}_{m_{2}}\left(g_{m_{2}, k}\right)\right| \leq d_{m_{4}, m_{2}}^{\mathrm{BS}} \tag{21}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c}
\forall m_{1}, m_{2} \in\{1,2,3\} \\
\left|\mathcal{D}_{m_{1}}\left(g_{m_{1}, k}\right)+\mathcal{D}_{m_{2}}\left(g_{m_{2}, k}\right)\right| \geq d_{m_{1}, m_{2}}^{\mathrm{BS}} \\
\forall m_{1}, m_{2} \in\{1,2,3\} .
\end{array}\tag{22}
$$
要約すると、BS 1、2、および3のすべての実行可能なデータ関連付けソリューションで構成されるセットを次のように定義できます。

$$
\begin{array}{c}
\mathcal{H}=\left\{\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3, k}\right\}_{k=1}^{K} \mid\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3, k}\right\}_{k=1}^{K}\right.$ satisfies (16)\\ (17), and $\left(g_{1, k}, g_{2, k}\right),\left(g_{1, k}, g_{3, k}\right),\left(g_{2, k}, g_{3, k}\right)$ satisfy
$(21),(22), \forall k\}
\end{array}\tag{23}
$$
三角不等式（21）と$（22）$を利用して、実行不可能なデータ関連付けソリューションを排除したおかげで
$\mathcal{H}$のカーディナリーは$\left(K\right.$ !) ${ }^{2}$よりも小さいです。

セット$\mathcal{H}$内のBS1、2、および3のデータ関連付けソリューションごとにこれは$\bar {g} _ {m、k},s,m =1,2,3$および$\forall k$で与えられ、次の式のローカリゼーションソリューションがあるかどうかを確認します。
$$
\begin{array}{l}
\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}} \\
=\mathcal{D}_{m}\left(\bar{g}_{m, k}\right), \quad m=1,2,3, \quad \forall k .
\end{array}\tag{24}
$$

ソリューションがない場合、すべてのBSのすべてのデータアソシエーションソリューションの下で、BS 1、2、および3のデータアソシエーションソリューションは$g_{m, 1}=\bar g_{m, k}, m=1,2,3$および$k=1, \ldots, K$でゴーストターゲットは存在しないと結論付けることができます。

上記の方程式に$\left\{\left(\tilde{x}_{k}, \bar{y}_{k}\right)\right\}_{k=1}^{K}$で表される解がある場合 このソリューションを使用して、$\overline{\mathcal{D}}_{m}, \forall m>3$を計算できます。
その要素は$\sqrt{\left(a_{m}-\bar{x}_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-\tilde{y} k\right)^{2}}$ 's, $k \in \mathcal{K}$です。

もし$\overline{\mathcal{D}}_{m} \neq \mathcal{D}_{m}$のような$\bar {m}>3$が存在する場合、

BS 1、2、および3へのデータ関連付けソリューションが$g_{m、k} = \bar {g}_{m、k}、m=1,2,3$および$k= 1、\ldots,K$の時ゴーストターゲットは存在しないと結論を下すことができます。
$\left\{\left(\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}\right)\right\}_{k=1}^{K}$における$\overline{\mathcal{D}}_{m}=\mathcal{D}_{m}, \forall m>3$は、実行可能なローカリゼーションソリューションとして定義されます。これは、真のターゲットまたはゴーストターゲットのいずれかの場所である可能性があります。 セット$\mathcal{H}$内のBS1、2、および3のすべての実行可能なデータ関連付けソリューションを検索した後の実行可能な解決策が1つだけの場合, $\left\{\left(\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}\right)\right\}_{k=1}^{K}$ が見つかった場合、この特定の $\left(a_{m}, b_{m}\right)^{\prime}$ 's と $\mathcal{D}_{m}$ 'sにおいて, ゴーストターゲットは存在しません.

$\left\{\left(\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}\right)\right\}_{k=1}^{K}$の複数の実行可能なソリューション が見つかった場合,この$\left(a_{m}, b_{m}\right)$ 's と$\mathcal{D}_{m}$ 'sを考えるとゴーストターゲットが存在します. このアルゴリズムの概要は、アルゴリズム$1$に記載されています。

#### C.ゴーストターゲットの存在に対する基本的な制限

ゴーストターゲットの検出確率の基本的な限界について、BSの位置つまり$\left(a_{m}, b_{m}\right)$を指定しただけ で、 範囲 セット$\mathcal{D}_{m}$に関係なく、より確実な結果を示すことを目的としています。 この目標を達成するために、 任意のターゲット座標セットと、Kペアの座標で
構成される別のセット$\mathcal{X}^{\mathrm{G}} \neq \mathcal{X}$ を指定して次のように定義します。

$$
\begin{array}{rlr}
\mathcal{X}^{\mathrm{C}} & =\mathcal{X} \bigcap \mathcal{X}^{\mathrm{G}}, \\
\overline{\mathcal{X}} & =\mathcal{X} / \mathcal{X}^{\mathrm{C}}, \\
\overline{\mathcal{X}}^{\mathrm{G}} & =\mathcal{X}^{\mathrm{G}} / \mathcal{X}^{\mathrm{C}},
\end{array} \quad\left(\begin{array}{ll}
\\
&
\end{array}\right.\tag{25}
$$
$\mathcal{A} / \mathcal{B}=\{x \mid x \in \mathcal{A}$ and $x \notin \mathcal{B}\}$.

$\mathcal{X}^{\mathrm{C}}$ は$\mathcal{X}$ と$\mathcal{X}^{\mathrm{G}}$の共通座標のセットであり, 一方で$\bar{X}$と$\hat{X}^{\mathrm{G}}$は$\mathcal{X}$と $\mathcal{X}^{\mathrm{G}}$の個別の部分で構成されています .定義としては

$$
\mathcal{S}_{k, q}=\left\{m \mid d_{m, k}=d_{m, q}^{\mathrm{G}}, \forall m\right\}, \quad \forall k, q,\tag{28}
$$

$\left(x_{k}, y_{k}\right)$と$\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right)$までの距離値が同じであるBSのセットとして、$d_{m, q}^{\mathrm{G}}$は（18）で与えられます。

もし仮に$\left(x_{k}, y_{k}\right)=\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right) \in \mathcal{X}^{\mathrm{C}}$, そこで$\mathcal{S}_{k, q}=\mathcal{M}$. それ以外はもし$\left(x_{k}, y_{k}\right) \neq$ $\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right)$というような $\left(x_{k}, y_{k}\right) \in \tilde{\mathcal{X}}^{\text {and }}\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right) \in \tilde{\mathcal{X}}^{\mathrm{G}}$とすると, そのときすべてのBSのセット$\mathcal{S}_{k, q}$は$\left(x_{k}, y_{k}\right)$ と$\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right)$とを接続する線分の垂直二等分線上にある必要があります.

以下では、真のターゲットがどこにあってもゴーストターゲットが存在しない1つのBS展開トポロジを提供します。

Theorem 1: 推定範囲がすべてのBSで完全であると仮定します。. もし$M \geq 2 K+1$ といずれか三つのうちのどれかのBSが同じラインに配属されていない場合、K個のターゲットがどこにあってもゴーストターゲットは存在しません。

証明:

K個の本物のターゲットが$\mathcal{X}=$ $\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{K}, y_{K}\right)\right\}$ として$K$個のゴーストターゲットの座標と$\mathcal{X}^{\mathrm{G}}=\left\{\left(x_{1}^{\mathrm{G}}, y_{1}^{\mathrm{G}}\right), \ldots,\left(x_{K}^{\mathrm{G}}, y_{K}^{\mathrm{G}}\right)\right\} \neq \mathcal{X}$と同じように存在すると仮定します.

$\left(x_{k}, y_{k}\right) \in \mathcal{X}$を考えてみましょう。そこで(26)によって定義される$\mathcal{X}^{\mathrm{G}}$, i.e., $\left(x_{k}, y_{k}\right) \in \tilde{\mathcal{X}}$は存在しません.

この場合BSのセット$\mathcal{S}_{k, q}$は$\left(x_{k}, y_{k}\right)$と$\left(x_{q}^{\mathrm{G}}, y_{q}^{\mathrm{G}}\right)$とを接続する線分の垂直二等分線上にある必要があります, $\forall q \in \mathcal{K}$.

３つのBSは同じ直線上に配置されていないため, $\left|\mathcal{S}_{k, q}\right|=0,1$, or $2, \forall q \in \mathcal{K}$となります.

したがって$\sum_{q=1}^{K}\left|\mathcal{S}_{k, q}\right| \leq 2 K<M$. つまり$\bigcup_{q \in \mathcal{K}} \mathcal{S}_{k, q} \neq \mathcal{M}$, $m \notin \bigcup_{q \in \mathcal{K}} \mathcal{S}_{k, q}$のように$m \in \mathcal{M}$は存在します。

これは $d_{m, k}$が$\mathcal{D}_{m}^{\mathrm{G}}$ と$\mathcal{D}_{m} \neq \mathcal{D}_{m}^{\mathrm{G}}$のセットではないことを示しており, これは定義1の（20）と矛盾します。

もし$M \geq 2 K+1$と3つのBSが同じ直線に配置されていない場合、Kの真のターゲットがどこにあっても、ゴーストターゲットは存在しません。 したがって、定理1が証明されます。

定理1の重要な条件はM≥2K+1です。この条件が満たされない場合、例1に示すように、ゴーストターゲットにつながる可能性のあるターゲット位置がいくつか存在する可能性があることに注意してください。ここで、M=3およびK=2です。興味深いことに、次の定理は、M <2K +1であっても、ターゲットがネットワーク内に独立して均一に配置されている場合、これらのターゲットがゴーストターゲットにつながる可能性のある場所にある可能性がゼロであることを示しています。

定理2：範囲推定がすべてのBSで完全であると仮定します。 M≥4でBSのいずれか3つが同じ回線に配置されていない場合、ターゲットの数が有限であるとすると、真のターゲットがネットワーク内に独立して均一に配置されている場合、ゴーストターゲットはほぼ確実に存在しません。

証明：付録Aを参照してください。

以下では、定理2を理解するのに役立つように、M =4BSとK=2ターゲットのおもちゃの例を示します。

補題1：範囲推定がすべてのBSで完全であると仮定します。 M=4およびK=2の場合を考えてみます。この場合、3つのBSが同じ回線に配置されていません。 2つのBSを結ぶ線が、他の2つのBSを結ぶ線に対して垂直でない場合、K個の真のターゲットがどこにあっても、ゴーストターゲットは存在しません。 2つのBSが存在し、それらを結ぶ線が他の2つのBSを交点（x0、y0）で結ぶ線に垂直である場合、2つの真のターゲットの座標がx1 +x2=を満たす場合にのみゴーストターゲットが存在します。 2x0およびy1+y2 = 2y0、つまり、交点（x0、y0）は、2つの真のターゲットを結ぶ線分の中間点です。

証明：付録Bを参照してください。

補題1のBS展開戦略は、M = 4BSで図7に示されています。ここで、ゴーストターゲットは、図7（a）に示されている戦略では、K = 2の真のターゲットの位置に関係なく存在することはなく、図7（b）に示す戦略では、特別なターゲット位置、つまりx1 + x2=2x0およびy1+y2=2y0です。補題1は、BSが図7（b）のように配置されていても、ターゲットがネットワーク内に独立して均一に配置されている場合、x1 + x2 = 2x0のイベントの確率のため、ゴーストターゲットはほぼ確実に存在しないことを示しています。また、y1 + y2 = 2y0は、x1、x2、y1、y2で構成される4次元空間ではゼロです。また、定理2を検証するために、膨大なモンテカルロシミュレーションを実装します。ここで、M = 4およびKを20までに設定します。

Kの値ごとに、$10^5$の実現を生成します。ここで、BSとターゲットの位置は、それぞれの一様分布の下で独立してランダムに生成されます。図6の設定と同様に、実現します。BSとターゲットの生成された位置に基づいて、アルゴリズム1を使用してゴーストターゲットが存在するかどうかを確認します。どの実現においてもゴーストターゲットは検出されないことが観察されます。定理1および2は、提案された2フェーズデバイスフリーセンシングフレームワークのパフォーマンスを理論的に保証します。

具体的には、デバイスベースのセンシングと比較して、デバイスフリーセンシングの重要な問題は、上記で指摘したようにゴーストターゲットが存在する可能性があることです。

ただし、定理1と2は、BSの数とターゲットの数の関係に応じて、ゴーストターゲットが存在しないか、ほぼ確実に存在しないため、この問題が実際に検討対象のフレームワークのボトルネックではないことを示しています。 上記の結果にもかかわらず、データの関連付けは、デバイスベースのセンシングの実装と比較して、デバイスフリーのセンシングを実装するための主要な技術的課題ですが、そのような関連付けは、上記で説明した基本的なパフォーマンスを低下させません。 次のセクションでは、フェーズIでの不完全な範囲推定を伴う実際のケースの下で、フェーズIIでの共同データ関連付けとローカリゼーションアルゴリズムを研究します。

## 6.フェーズII：不完全な範囲の推定によるローカリゼーション

このセクションでは、帯域幅が制限されているためにフェーズIで範囲推定が不完全な場合、つまり（7）に示すすべてのmとｋにおいて$\bar{d}_{m,k}$が$d_{m,k}$と等しくない場合の実際のケースを検討します。 この場合、BS位置(a_m,b_m)とターゲット範囲セット（Dm）の知識に基づいてターゲットの位置を推定するMLベースのアルゴリズムを提案します。

#### A.アルゴリズム設計
(7）に示されている推定範囲は次のようになっていると仮定します。

$$
\bar{d}_{m, k}=d_{m, k}+\epsilon_{m, k}, \quad \forall m, k,\tag{29}
$$
ここで$\epsilon_{m, k} \sim \mathcal{C N}\left(0, \sigma_{m, k}^{2}\right)$ は$m$と$k$で独立している$d_{m, k}$ と$\bar{d}_{m, k}$との推定誤差を示します。

上記の範囲推定モデルに基づいて、各$m$番目のBSおよびターゲット$k$について、$\left(x_{k}, y_{k}\right)$および$g_{m, k}$によって与えられる、$\bar{d}_{m, k}=\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right)$つまり$\bar{d}_{m, k}$が$\mathcal{D}_{m}$で$g_{m, k}$番目に大きい要素であるイベントの条件付き確率は
$$
\begin{array}{l}
f_{m, k}\left(\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right) \mid x_{k}, y_{k}, g_{m, k}\right) \\
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{m, k}} e^{-\frac{\left(\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right)-\sqrt{\left.\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}\right)^{2}}\right.}{2 \sigma_{m, k}^{2}}}, \quad \forall m, k
\end{array}\tag{30}
$$
$\mathcal{G}=\left\{g_{m, k} \mid m=1, \ldots, M, k=1, \ldots, K\right\}$と定義します.
次に、すべての$K$ターゲットの位置を推定するML問題は、次のように定式化できます。
$$
\underset{\mathcal{X}, \mathcal{G}}{\operatorname{maximize}} \prod_{k=1}^{K} \prod_{m=1}^{M} f_{m, k}\left(\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right) \mid x_{k}, y_{k}, g_{m, k}\right)\tag{31}
$$

対象として(16), (17).

デバイスベースのセンシング問題とは異なり、各$m$BSは$\mathcal{D}_{m}$とターゲットの要素間のマッチングを知らないため、データ関連付けソリューション$g_{m, k}$は、検討対象のデバイスフリーセンシング問題のターゲット位置と共同で最適化する必要があることに注意してください。
（30）に基づいて、問題（31）は次の問題に簡略化できます。
$$
\underset{\chi, G}{\operatorname{minimize}} \sum_{k=1}^{K} \sum_{m=1}^{M} \frac{\left(\mathcal{D}_{m}\left(g_{m, k}\right)-\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}\right)^{2}}\right)^{2}}{\sigma_{m, k}^{2}}\tag{32}
$$
対象として(16), (17).

問題（32）は非凸最適化問題であるため、解決が困難です。 それにもかかわらず、gm、k =k¯gm、∀m、kで表される、条件（16）および（17）を満たすデータ関連付けソリューションが与えられると、問題（32）はそれぞれK個のサブ問題に分離できることに注意してください。 ターゲットkの位置を推定するために次のように定式化されます：

デバイスベースのローカリゼーションシナリオと同様に、データ関連付けソリューションが与えられた場合の問題（33）は、効率的に解決できる非線形最小二乗問題です。その結果、

問題（32）は、網羅的な検索方法に基づいて簡単に解決できます。具体的には、（16）と（17）を満たすデータ関連付けソリューション$g_{m, k}=\bar{g}_{m, k}$が与えられた場合、問題（33）を解いてすべてのターゲットの位置を取得し、問題の対応する目的値を確認できます。次に、（16）と（17）を満たすすべてのデータ関連付けソリューションを検索した後、問題（32）の目的関数を最小化するデータ関連付けソリューションを選択できます。ただし、徹底的な検索に基づく上記のアプローチは、実際には非常に複雑です。具体的には、（16）と（17）を満たす$g_{m, k}$の$(K !)^{M-1}$個の異なるデータ関連付けソリューションがあります。さらに、実行可能な各データ関連付けソリューションを前提として、$K$回（それぞれ1つのターゲットに対応）の複雑な最適化問題（33）を解決する必要があります。したがって、これは、問題を解決するための複雑度の低いアルゴリズムを提案する動機になります（32）。

この目的のために、最初に、一部のデータ関連付けソリューションは、不完全な範囲推定の下で非常に高い確率で実行不可能であると簡単に判断できることに注意してください。 たとえば、任意の2つの範囲セット$\mathcal{D}_{m_{1}}$ と$\mathcal{D}_{m_{2}}$の場合、$\mathcal{D}_{m_{1}}\left(g_{m_{1}, k}\right)$ と$\mathcal{D}_{m_{2}}\left(g_{m_{2}, k}\right)$は、ターゲットkの以下の三角不等式を満たしません。

$$
\begin{array}{l}
\left|\mathcal{D}_{m_{1}}\left(g_{m_{1}, k}\right)-\mathcal{D}_{m_{2}}\left(g_{m_{2}, k}\right)\right| \leq d_{m_{1}, m_{2}}^{\mathrm{BS}}+\delta_{0}, \quad \forall m_{1}, m_{2} \\
\end{array}\tag{34}
$$
$$
\begin{array}{l}
\left|\mathcal{D}_{m_{1}}\left(g_{m_{1}, k}\right)+\mathcal{D}_{m_{2}}\left(g_{m_{2}, k}\right)\right| \geq d_{m_{1}, m_{2}}^{\mathrm{BS}}-\delta_{0}, \quad \forall m_{1}, m_{2}
\end{array}\tag{35}
$$

ここで、$\delta_{0}>0$は特定の値であり、$\left(g_{m_{1}, k}, g_{m_{2}, k}\right)$は、非常に高い確率でターゲット$k$の実行可能なデータ関連付けソリューションではありません。 完全範囲推定の場合の（21）および（22）とは異なり、ここでは$d_{m, k}$の不完全な推定を考慮してδ0を設定します。 上記の特性に着想を得て、問題（32）を解決するための複雑度の低いアルゴリズムを次のように提案します。 まず、BS 1、2、および3について検討します。これら3つのBSの実行可能なデータ関連付けソリューションのセットを次のように定義します。

$$
\begin{array}{l}
G^{(3)}=\left\{\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3,k}\right\}_{k=1}^{K} \mid\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3,k}\right\}_{k=1}^{K}\right.$ satisfies \\(16), $(17)$, and $\left(g_{1}, k, g_{2}, k\right),\left(g_{1, k}, g_{3}, k\right),\left(g_{2, k}, g_{3, k}\right)$ satisfy \\$(34),(35), \forall k\}
\end{array}\tag{36}
$$

次に、任意の$\left\{\bar{g}_{1, k}, \bar{g}_{2, k}, \overline{g}_{3, k}\right\}_{k=1}^{k} \in G^{(3)}$が与えられます.

ターゲット$k, \forall k$の位置を探す為に$M = 3$と設定して(33)を解くことが出来ます。
$\left(x_{k}^{(3)}, y_{k}^{(3)}\right), k=1, \ldots, K$, は得られたソリューションを示しています。 次に、これらのソリューションが与えられると、任意のターゲットkから任意のBSまでの距離を次のように確認できます。

$$
\bar{d}_{m, k}^{(3)}=\sqrt{\left(a_{m}-x_{k}^{(3)}\right)^{2}+\left(b_{m}-y_{k}^{(3)}\right)^{2}}\tag{37}
$$

BSが$m>3$の場合、$D_{m}$のどの要素がターゲット$k$からそれまでの距離であるかがわからないことに注意してください。 $g_{m, k}=\bar k$と決定した場合、この決定のコストを次のように定義します。

$$
\Delta d_{m, k, \bar{k}}=\left|D_{m}(\bar{k})-\bar{d}_{m, k}^{(3)}\right|, \forall k, k, \text { and } m>3 \text {. }\tag{38}
$$

マッチングのためのインジケーター関数を次のように定義します。
$$
\beta_{m, k, \bar k}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { if } g_{m, k} \text { is set to be } \bar k, \quad \forall k, \tilde{k}, m>3 . \\
0, & \text { otherwise, }
\end{array}\right.\tag{39}
$$

BSごとに、（17）は、任意の$\tilde{k}$を1つのターゲットにのみ割り当てることができることを示していることに注意してください。 さらに、任意のターゲットkに対して、1つの$\tilde{k}$のみを割り当てることができます。 その結果、インジケーター関数には次の制約があります。
$$
\begin{array}{l}
\sum_{k=1}^{K} \beta_{m, k, \hat{k}}=1, \quad \forall \tilde{k} \text { and } m>3\tag{40}
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{l}
\sum_{\hat{k}=1}^{K} \beta_{m, k, \hat{k}}=1, \quad \forall k \text { and } m>3 \tag{41}
\end{array}
$$
$\mathcal{B}_{m}=\left\{\beta_{m, k, i} \mid \forall k, \tilde{k} \in \mathcal{K}\right\}, \forall m>3$と定義します.

与えられた推定ターゲットロケーション$\left(x_{k}^{(3)}, y_{k}^{(3)}\right)$より,

全体として次のように各m>3における$\mathrm{BS}$ のデータ関連付けソリューションを見つけることを目指します。
すべてのターゲットの$\bar{d}_{m, k}$ と$\bar{d}_{m, k}^{(3)}$の不一致が最小限に抑えられるような、BS $m>3$に対して次の最適化問題が定式化されます。

$$
\begin{array}{l}
\underset{\mathcal{B}_{m}}{\operatorname{minimize}} \sum_{k=1}^{K} \sum_{\hat{k}=1}^{K} \beta_{m, k, \bar{k}} \Delta d_{m, k, \bar{k}} \\
\text { subject to }(40),(41) \text {. }
\end{array}\tag{42}
$$

(42)は割当問題であり、ハンガリーのアルゴリズム[37]によって効率的に解決できます。すべての$m>3$におけるBSの問題(42)を解いた後、39に基づいて$g_{m, k}$のデータアソシエーションソリューションを見つけることが出来ます。

$\left\{\bar{g}_{1, k}, \bar{y}_{2, k}, \bar{g}_{3, k}\right\}_{k=1}^{K} \in \mathcal{G}^{(3)}$であらわされるBS１，２，３の実行可能なデータアソシエーションソリューションを考えると, 他のBSの割り当て問題(42)が解決された後、$\left\{g_{1, k}, \ldots, \ddot{g}_{M, k}\right\}_{k=1}^{K}$で示されるすべてのM個のBSのデータアソシエーションソリューションが明らかになります。

次にすべてのBSにおけるデータアソシエーションソリューションを(33)に代入すると, $\left(x_{k}^{(M)}, y_{k}^{(M)}\right), k=1, \ldots, K$によってあらわされるK個のターゲットのよりよい推定が取得できます. (32)によると, BS1,2,3のデータ関連付けソリューションを選択するための全体的なコスト $\left\{\eta_{1}, k, \mathscr{g}_{2}, k, \ddot{M}_{3}, k\right\}^{k}$は以下のように定義づけられます。

最後に、セット$\mathcal{G}_{K}^{(3)}$内のBS1、2、および3のすべての実行可能なデータ関連付けソリューションを検索した後、上記を次のような全体的なエラーを最小化できるものを選択できます。
$$
\begin{array}{l}
\left\{g_{1, k}^{*}, g_{2, k}^{*}, g_{3, k}^{*}\right\}_{k=1}^{K} \\
\quad=\arg \min _{\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3, k}\right\}_{k=1}^{K} \in \mathcal{G}^{(3)}} \Gamma\left(\left\{g_{1, k}, g_{2, k}, g_{3, k}\right\}_{k=1}^{K}\right) .
\end{array}\tag{44}
$$
次に、問題（42）と問題（33）をそれぞれ解くことにより、他のBSの最適なデータ関連付けソリューションとすべてのターゲットの最適なロケーションソリューションを取得できます。

問題（32）を解決するための上記の手順は、アルゴリズム1に要約されています。全数検索ベースの方法と比較して、アルゴリズム1の複雑さは大幅に軽減されます。 まず、（16）と（17）を満たすすべてのBSのすべての$(K !)^{(M-1)}$データ関連付けソリューションを検索する代わりに、提案されたアルゴリズムの下で、実行可能なものを検索するだけです。 BS 1、2、および3のデータ関連付けソリューション、つまり、問題（44）に示すように、（36）で与えられた$\mathcal{G}^{(3)}$です。 $\mathcal{G}^{(3)}$には、制約（16）と（17）を満たす最大$(K !)^{2}$の解があることに注意してください。 さらに、制約（34）および（35）の下では、$\mathcal{G}^{(3)}$のデータ関連付けソリューションの数は通常$(K !)^{2}$よりはるかに少なくなります。

第二に、提案されたアルゴリズムでは、BS 1、2、および3のデータ関連付けソリューションが与えられると、における各BS は、他のBSと共同で共同作業する代わりに、問題（42）を解決することによって独自のデータ関連付けソリューションを取得できます。 データ関連付けソリューションを入手します。


#### B.数値例

以下では、M = 4 BSおよび2≤K≤7ターゲットのセットアップで、ターゲットのローカリゼーションに対するアルゴリズム1の有効性を検証するための数値例を示します。 まず、サブ6G帯域でチャネル帯域幅がB = 100 MHzであり[26]、（8）に示す最悪の範囲の推定誤差はΔd=0.75mである場合を考えます。 BSとターゲットは、240m×240mの正方形に均一かつランダムに配置されていると想定し、それらの位置の$10 ^5$の独立した実現を生成します。
それぞれの実現において、最初に（7）に基づいてDmを推定し、次にDmを与えられたアルゴリズム1によってターゲットをローカライズします。
ここで、ターゲットをローカライズするためのエラーイベントは、推定された場所が実際のターゲットの場所から半径rmの範囲内にない場合として定義されます。
$N_{error}$は、これらの$10^5$個の実現におけるエラーイベントの総数を示します。

次に、位置推定誤差確率を$N_{error}/K{10^5}$として定義します。

アルゴリズム1は、（29）の範囲推定モデルに基づいて設計されており、推定誤差は（7）の真の範囲モデルではなく、確率変数としてモデル化されていることに注意してください。

（29）が（7）の適切な近似であることを示すために、各実現において、エラー確率もまたアルゴリズム1の入力として${\sigma}^2_{m、k}={\sigma}^2,\quad \forall{k},{m}$を用いる（29）に基づいてDmを生成し、対応する位置推定エラー確率を評価します。

r = 1.5 mとr = 2.5 mを考えると、図8は、最悪の場合の誤差がΔd= 0.75 mで、（29）の近似モデルで、（7）の真の範囲推定モデルの下でアルゴリズム1によって達成された位置推定誤差確率を示しています。 σ2=0.2025またはσ2=0.25の場合。真の範囲推定モデルでは、K = 7ターゲットの位置を推定するためのエラー確率は、r = 1.5 m　またはr = 2.5 mでそれぞれ4％と1.6％未満であることが観察されます。したがって、提案方式の推定精度は、チャネル帯域幅がB = 100 MHzの場合、95％を超える確率でメートルのオーダーになります。さらに、モデル（29）でσ2= 0.2025の場合、この近似モデルで達成されるパフォーマンスは、真の範囲モデル（7）で達成されるパフォーマンスに非常に近いことが観察されます。したがって、実際のシステムでのローカリゼーションには、アルゴリズム1のガウス範囲モデル（29）を使用するのが妥当です。次に、ミリ波帯でチャネル帯域幅がB =400MHzの場合を考えます[26]。この場合、（8）に示す最悪の範囲の推定誤差はΔd= 0.1875 mに減少し、CPの長さは[34]に従って0.585μsになります。 BSとユーザーは80m×80mの正方形に均一に配置されていると仮定します5。さらに、それぞれr = 0.6 mまたはr =1mに設定します。上記の設定で、図9は、最悪の場合の誤差がΔd= 0.1875である真の範囲推定モデル（7）の下でアルゴリズム1によって達成された位置推定誤差確率を示しています。帯域幅の増加による最悪の場合の推定誤差の減少のおかげで、チャネル帯域幅がB = 400 MHzの場合、提案されたスキームの推定精度はデシメートルのオーダーであり、95％を超える確率であることが観察されます。


## 7. 結論
この論文では、ISACを実現するためにOFDMセルラーネットワークでデバイスフリーセンシングを行うための新しい2フェーズフレームワークを提案しました。 ゴーストターゲットの検出を回避するためのデータ関連付けの問題に対処するために、興味深い理論的結果と実用的なアルゴリズムが提供されました。このホワイトペーパーで提案されているデバイスフリーのセンシングフレームワークをさらに充実させるには、さまざまな方向性があります。 たとえば、通信スループットを向上させるだけでなく、距離推定が不完全な場合にゴーストターゲットの存在確率を下げるために、セルラーネットワークにBSを配置する方法を調査することは興味深いことです。 さらに、実際には、建物などの他の物体によって反射された信号も、感知受信アンテナによって受信され得る。 したがって、提案されたフレームワークの下でそのような干渉を回避するために、クラッタ抑制技術を調査することが重要です。

## 8 付録証明

XGがゴーストターゲットの座標で構成されていると仮定します。次に、条件（54）および（55）は、dm、k¯= dm、q¯、m = 1、2、3、4、ここでk¯∈K=kおよびq¯∈K=qであることを示します。 3つのBSは同じ線上にないため、dm、k¯= dm、q¯、m = 1、2、3、4は、（xk¯、yk¯）= Gq¯（x G）を示します。 （xk、yk）=（xG G q、yq）とともに、これはq¯、yとX G=Xという事実と矛盾します。その結果、X G = XがいくつかのkとqについてSk、q = Mを満たす場合、XGはゴーストターゲットの座標にはなりません。次に、X G = Xが、（25）で定義されたXCが空集合であると満たす場合を考えます。以下に、この場合のゴーストターゲットの存在に必要な条件を示します。 XGがゴーストターゲットの座標で構成されていると仮定します。次に、条件（54）と（55）は、

3つのBSは同じライン上になく、（25）で定義されたX Cは空集合であるため、| Sk、q |≤2、∀k、q.Tosat isfy（56）および（57）が必要です。 | Sk、q | = 2、Sk、1 Sk、2 =∅、およびS1、q S2、q =∅、∀k、q。次に、S1,1 = S2,2 = {1、2、3、4}/S1,2およびS1,2=S2,1 = {1、2、3、4}/S1,1となります。 S1,1=S2,2および|S1,1| = | S2,2 | = 2 S1,1=S2,2の2つのBSを結ぶ線が垂直GGG 2である必要があります）。 （x1、y1）と（x G 2、yを接続する線分、（x2、y2）と（x G 2）を接続する線分、およびG 1、y1）を接続する線分の二等分線G G 2 、y同様に、S1,2=S2,1および|S1,2|に基づいて表示できます。 = | S2,1 | = 2 S1,2 = S2,1の2つのBSを結ぶ線は、G 1、y1を結ぶ線分の垂直二等分線です。上記は、ゴーストターゲットが存在するために必要なGGG条件が次のとおりであることを示しています。1。S1,1=S2,2のBSを接続する線は、S1,2=S2,1のBSを接続する線に垂直です。 2.線分GGG（x1、y1）と（x G 2、y 1、y1）、（x2、y2）と（xセグメント接続（x1、y1）と（x 2）、接続（x1） 、y1）と（x2、y2）、1、y1）は長方形を形成します。そして、（x2、y2）と（x（x2、y2）と（x）を接続すること。

その結果、最初に必要な条件が成り立たない場合、ゴーストターゲットは存在しません。一方、最初に必要な条件が成り立つ場合、2つのターゲットがネットワーク内に均一に配置されている場合、2番目に必要な条件が成立する確率がゼロであることを示します。（x0、y0）は、S1,1=S2のBSを接続する2つの垂直線の交点を示します。 、2で、S1,2 = S2,1のBSを接続します。2番目に必要な条件が真の場合、x1 + x2=2x0およびy1+y2 = 2y0となり、4次元で2次元平面が定義されます。 x1、x2、y2、y2のスペース。2つのターゲットがネットワーク内に均一に配置されている場合、x1 + x2=2x0およびy1+y2 = 2y0が確率ゼロで発生します。その結果、最初に必要な条件が真の場合、ターゲットがネットワーク内に均一に配置されている場合、ゴーストターゲットはほぼ確実に存在しません。XCが空でない場合を組み合わせることにより、 etは空集合であるため、補題1が証明されます。

2ターゲットローカリゼーションの問題（32）を解決するためのMLベースのアルゴリズム

入力：（a m、b m）およびD m、∀m∈M。

初期化：（36）で与えられたG（3）のBS 1、2、および3の実行可能なデータ関連付けソリューションを取得します。 G（3）（t）をG（3）のt番目のデータ関連付けソリューションとして定義します。 t=1に設定します。

繰り返す：

1. G（3）（t）をBS 1、2、および3のデータ関連付けソリューションとして設定します。{ḡ1、k、ḡ2、k、ḡ3、k} K k=1で表されます。

2.問題（33）を解決し、M = 3を設定して、{（x k、y k）}Kで表されるBS1、2、および3を介してターゲット位置（3）（3）の推定値を取得します。 k = 1;

3.（38）、∀k、k̃、m> 3に基づいてΔdm、k、k̃を計算し、ハンガリーのアルゴリズムを介して問題（42）を解き、BS 4、のデータ関連付けソリューションを取得します。 。 。 、M、{ḡ4、k、。 。 。 、ḡM、k} K k = 1;

4. {ḡ1、k、。を与えられた問題（33）を解きます。 。 。 、ḡM、k} K k = 1は、すべてのBSを介してターゲット位置のより良い推定を取得します。（M）（M）{（x k、y k）} K k=1で表されます。

5.（43）に基づいてΓ（{ḡ1、k、。。。、ḡ3、k} K k = 1）を計算します。

6. t = t+1に設定します。

t = | G（3）|まで。

出力：

1）。 ∗ ∗ ∗、g 2、k、g 3、k} K {g 1、k k = 1で表される、問題（44）を解くことにより、BS 1、2、および3の最適なデータ関連付けソリューションを取得します。

2）。 BS 4 、.に最適なデータ関連付けソリューションを入手します。 。 。 、M問題（42）を解くことにより、∗ ∗、で表されます。 。 。 、g M、k} K {g 4、k k=1。

3）。 {（x ∗ k、y k ∗）} K k = 1で表される、問題（33）を解くことにより、すべてのKターゲットの最適な位置を取得します。