# 基礎的 ln 及 exp

- [time=Tue, Oct 7, 2025 8:32 PM]

## 基礎的 $\ln$

定義 $\ln : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ 如下
$$\ln(x) = \int_1^x{1 \over t}dt = \int_1^xd$$

此為 well-defined and continuous，因為 $\frac{1}{t}$ 在 $\mathbb{R}_{>0}$ 乃連續函數，且連續函數可積（反之不然）。

### 性質 1: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b),\quad \forall a,\,b \in \mathbb R$

由 FTC + chain rule,
$$\frac{d}{da}\ln(ab) = \frac{dab}{da}\cdot\frac{1}{ab} = \frac{1}{a}=\frac{d}{da}(\ln(a) + \ln(b))$$
微分一樣，所以差個常數（可由MVT得知），則
$$\exists C\,\forall x,\,\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) + C$$
帶入 $a = 1$ 即可得 $C = 0$

### 性質 2: $\ln$ 是可逆的

首先，由 FTC 可得 $\frac{d\ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}$，是在 $x>0$ 處都為正的函數，則 $\ln$ 為嚴格遞增，則根據 MVT 也則 1-1.

再來，但凡 $\lim_{x\to \infty}\ln(x)$ 或 $\lim_{x\to 0}\ln(x)$ 存在的話，令其為 $M$ 則有

$$\begin{aligned}
M
&= \lim \ln(x) \\
&= \lim \left( \ln(2x) + \ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\
&= \lim(\ln(2x)) + \lim\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) \\
&= M + \ln\frac{1}{2}
\end{aligned}$$

則 $\ln\frac{1}{2} = 0$ ，此即矛盾。因為這兩個極限都不存在，又因為 $\ln$ 遞增，所以
$$\lim_{x\to \infty}\ln(x)= \infty,\quad \lim_{x\to 0}\ln(x) = -\infty$$
根據 IVT 可得其為 onto on $\mathbb{R}$

綜上， $\ln$ 為 bijective.

### 性質 3: $\ln(a^b) = b\ln(a),\quad \forall x\in \mathbb R$

下文中我們逐次證明命題對於 $b$ 落於 $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ 以及 $\mathbb R$ 成立。

**Part 1** | 首先，如果 $b = p \in \mathbb N$，則命題當然根據 數歸＋性質1 而成立。
如果 $b = \frac{1}{q}, \text{ some } q\in \mathbb N$，則再根據 數歸＋性質1 有
$$\ln(a^{\frac{1}{q}})^q = \underbrace{\ln(a^{\frac{1}{q}})\dots \ln(a^{\frac{1}{q}})}_{q\text{ times}} = \ln(q \frac{a}{q}) = \ln(a)$$

所以 $\ln(a^{\frac{1}{q}}) = \frac{1}{q}\ln(a)$。

而且，因為有
$$\ln(a^{-b}) = \ln\left(\left(\frac{1}{a}\right)^b\right) = b\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -b \ln a$$
所以如果命題對於 $b$ 成立，則對於 $-b$ 也成立。當然，命題對於 $b=0$ 成立。
綜上，我們說明了命題對整數以及其倒數皆成立。

**Part 2** | 其次，如果 $b \in \mathbb Q$, write $b = \frac{p}{q},\,\gcd(p,q)=1,\,p\in\mathbb N$

則根據 Part 1 有
$$\ln(a^b) = \ln((a^p)^{\frac{1}{q}}) = \frac{1}{q}\ln(a^b) = \frac{p}{q}\ln(a)$$

因此命題對於 $p\in \mathbb Q$ 皆成立。

**Part 3** | 現在，令 $b \in \mathbb R$。
我們知道 $\mathbb Q$ is [dense](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%AF%86%E5%BA%A6) in $\mathbb R$，所以我們可以令 $\left\{ b_n \right\}$ 為 $\mathbb Q$ 裡的一個 sequence 使得 $b_n \to b \text{ as } n \to \infty$

簡記 $\lim_{n\to \infty}$ 為 $\lim$，此時則有
$$\begin{aligned}
\ln(a^b)
&= \ln(a^{\lim b_n}) \\
&= \ln(\lim{a^{b_n}}) & (\text{???}) \\
&= \lim\ln(a^{b_n}) & (\ln \text{ is conti}) \\
&= \lim b_n \ln a & (b_n \in \mathbb Q) \\
&= b \ln a
\end{aligned}$$

就結束了。

## 基礎的 $\exp$

有了 $\ln$ 為可逆的事實，就可以定義 $\exp = \ln^{-1}$.

然後，我們定義自然常數 $e = \exp(1)$，所以 $e$ 是唯一的正數使得

$$\int_{1}^{e}{1\over t}dt = 1$$

### 性質 1: ${d\exp x\over dx} = \exp x,\text{ thus }\exp \in C^\infty(\mathbb R)$

用 chain rule 轉化成對 $\ln$ 的微分問題，再用已知的公式。

$${d\exp x\over dx} = {d\ln^{-1} x\over dx} = \frac{1}{\frac{d\ln}{dx}\left(\exp x\right)} = \frac{1}{\frac{1}{\exp x}} = \exp x$$

### 性質 2: $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b),\quad \forall a,\,b \in \mathbb R$

有趣的是，這次我們用兩邊微分的技巧的話會發現做不出來。Instead, observe

$$\begin{aligned}
\ln(\exp(a+b))
&= a+b \\
&= \ln(\exp a) + \ln(\exp b) \\
&= \ln(\exp(a)\exp(b))
\end{aligned}$$

兩邊再把 $\ln$ 拔掉即可得（or 因為 $\ln$ is 1-1）

### 性質 3: $\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

首先倒過來做，先上車後補票地假設極限存在，則有

$$LHS = \lim_{h\to 0}\left(1 + h \right)^{1 \over h}$$

然後

$$\begin{aligned}
\ln(LHS)
&= \ln\left(\lim_{h\to 0}\left(1 + h \right)^{1 \over h}\right) \\
&= \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h} \\
&= \frac{d\ln}{dx}(1) = 1.
\end{aligned}$$

所以極限確實存在，並有 $\ln(LHS)=1$ 。因此根據定義，則 $LHS = e$

### 性質 4: $e^x = \exp(x),\quad \forall x\in \mathbb R$

因為 $\ln$ 1-1, 我們只要證明 $\ln(e^x) = \ln\exp(x)$。

然 $$\ln\exp(x) = x$$ by definition, $$\ln(e^x) = x\ln(e) = x$$ by $\ln$ 的性質 3.

這個性質告訴我們我們可以 get rid of $\exp$ 符號而轉用 $e^x$。