# 群的基本性質、定義

紀錄一些容易忘記的基本定義跟一些有用的定理。

請參考https://oi-wiki.org/math/algebra/group-theory/#%E6%9C%89%E9%99%90%E7%94%9F%E6%88%90-abel-%E7%BE%A4

## 群的定義

$G$ 是群，如果inverse and identity存在，且其上的binary operator是well-define的，並且associative

$H\le G$是$G$的子群，如果$H\subseteq G$而且用一樣的binary operator，H也是群。

Especially, trivial subgroup 特指 $\left\{e\right\} \le G$，而不是 $G$ ，儘管 $G$ 本身其實也是一個很 trivial 的子群。

## Theorem (子群判別法）

$H \le G \iff \forall g,\, h\in H, g^{-1}h\in H$

## 特殊的群

1. 如果 $A$ 是有限集合，則 $Sym_A$ 是對稱群，包含所有 $A\to A$ 的置換。當然， $Ord(Sym_A) = |A|!$

2. 如果 $G$ 是某個對稱群的子群，則 $G$ 稱為置換群。所以對稱群本身也是置換群。

## Cayley Theorem

Statement: 每個有限 $G$ 都同構於 $Sym(G)$ 的一個子群。

這說明了了解置換群的結構你就多或少了解了世上所有有限群(e.g. [二面體群](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E9%AB%94%E7%BE%A4)、[模群](https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group)、[魔群](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%AD%94%E7%BE%A4)、27級line群、新生家長群)的結構。

證明可以這麼想：根據群的性質，$g$乘某個元素的操作改變了他的位置，則$gG$相當於把$G$的元素做大風吹，而且是1-e, onto的大風吹。此時就可以說$g$對應到了置換 $\phi_g \in Sym(G)$,
定義為 $\phi_g(h) = gh$

## free, faith, transitive actions. Definition

1. 我們說群 $G$ 作用在集合 $X$ 上 by $\alpha : G \times X \to X$ 如果：

$$\alpha(e,x) = x \text {, and that } \alpha(g_1,\alpha(g_2,x)) = \alpha(g_1 * g_2,x)$$

即，$e$ 作用事實上是沒有作用，而一個東西被 $g_2$ 作用再被 $g_1$ 作用，跟一個東西被 $(g_1 g_2)$ 作用有一樣的結果。

如果 context 只有一種作用，可以把 $\alpha(g,x)$ 簡記為 $g\cdot x$. ($\cdot$ 表示作用操作，是為了跟 $G$ 的運算區分開)。

2. (a)我們說作用 $\alpha$ acts on $G$ faithfully 如果：

$$\forall g \in G \left((\forall x \in X, g\cdot x = x)\Rightarrow g=1\right)$$

2. (b)我們說作用 $\alpha$ acts on $G$ freely 如果：

$$\forall g \in G \left((\exists x \in X, g\cdot x = x)\Rightarrow g=1\right)$$

可以用函數的1-1去想他。
注意 faithfulness 跟 freedom 的定義只差一個符號，而且 freedom 可以推得 faithfulness.

3. orbit of $G$ through x 是所有 $g\in G$ 作用在 $x$ 所形成的集合。
稱之 $G\cdot x = \left\{ g\cdot x : g\in G \right\}$

並且所有軌道 $G\cdot x$ 所成之集合為
$$\left\vert\frac{G}{X}\right\vert = \left\{ G\cdot x : x \in X \right\}$$

4. The stabilizer (subgroup) of $x\in X$ is
$$\text{Stab}(x) = \left\{ g\in G : g\cdot x = x \right\}$$

5. The action $\alpha$ is transitive if :
$$\forall x,\, y\in X, \exists g\in G \text{ s.t. } y=gx$$

6. $X^g = \left\{x\in X: g\cdot x = x\right\}$ is the set of fixed points of $g$.

注意到 $X^g$ 跟 $\text{Stab}(x)$ 定義的異同之處。

## 一些好題目


Ans. No. Since the identity $0\in\mathbb Z$ acts on $A$ as $0\cdot A = A^0 = I \neq A$.




## 中心化子、中心及正規化子 Definition

The centralizer of $G$ is $\left\{g\in G: \forall h\in G,\,gh = hg \right\}$

The center of the set $S$ in $G$ is $\left\{g\in G: \forall s\in S,\,gs = sg \right\}$

The normalizer of the set $S$ in $G$ $G$ is $\left\{g\in G: gSg^{-1} = S\right\}$

他們都是群，而且 $$Z(G) \le C_G(S) \le N_G(S) \le G$$

所有等號等號成立於 $G$ 是 Abelian 時。

這個不等式當然可以靠基本定義就推導出來，難的是記住它的長相。

因此這邊闡述一個關於這個不等式的 mnemonic。可以這樣想：
$$S_2 \subset S_1 \text{ implies that } C_G(S_1) \subset C_G(S_2)$$
這就說明了 the centralizer $Z(G) = N_G(G)$, 其實是 center 的一個特例，並且
$$Z(G) \subset N_G(S) \quad\forall S\subset G$$
並且，因為 center 的中文意思是「中間」，理所當然待在不等式的中間，因此 $C_G(S) \le N_G(S)$