# 現代投資理論簡介

Author : Xin

## 前提假設

對於任何一個投資標的都具有「報酬」和「風險」。通常來說，會使用此標的的期望報酬率(通常寫作 $\mu$ )和報酬率的標準差(通常寫作 $\sigma$ )來分別衡量其「報酬」和「風險」。

- 如果觀察到的報酬率 $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n$ 為獨立且同分布，根據大數法則，當 $n$ 足夠大時$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu_i\to\mathbb{E}[\mu_1] = \mu $$ 因此可以使用觀察到的報酬率之平均來估計期望報酬率。
- 為何會使用報酬率的標準差來代表風險？常見的模型基本上假設股票的報酬率服從常態分布，例如著名的Black–Scholes model。而在現實中，雖然個別股票的報酬率常常並非服從常態分布，但是市場的報酬率通常會近似於常態分布。
在常態分布中，標準差代表著數據集中於期望值附近的程度。

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|:--:|
| 常態分布 $\mathcal{N}(0 , \sigma^2)$ 示意圖 [(圖片出處)](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg) |

對於常態分布而言：
- 約68%數值分布在距離平均值一個標準差之內的範圍。
- 約95%數值分布在距離平均值兩個標準差之內的範圍。

也就是說，當標準差越小時，數據就會越集中於平均值附近的區域。相反的，當標準差越大時，數據就會越分散在整條數線上。若未來的股票報酬率是從常態分布中隨機抽取一點，則：
- 標準差越小時(也就是數據越集中於平均值時)，報酬率接近平均值的機率也越高。
- 標準差越大時(也就是數據越分散時)，報酬率接近平均值的機率也越低。

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|:--:|
| 不同標準差下的常態分布 $\mathcal{N}(0 , \sigma^2)$|

因此，當標準差小時，有高機率股票的表現會和平均值相差不遠；而當標準差大時，股票的表現可能波動的範圍較大，因此較不穩定。

在之後的討論中，為了簡化模型，必須假設下列前提：
1. 投資人做決策時只取決於投資組合一定時間內的報酬率之期望值和標準差。
2. 所有投資人對同一個投資組合報酬率之期望值和標準差的看法應相同。
3. 市場是無摩擦的。簡單來說，任意標的物都可以用任意價格，以及任意數量(正或負都可，負的數量代表放空標的物)交易。此外，交易一律不需交易成本，也不用考慮稅金和法律監管等。

當然，大家都知道這些前提是不現實的。但是若沒有這些假設，我們便無法簡單得出一個簡潔的結論，甚至可能根本得不出任何有意義的成果。
> George Box : *All models are wrong, but some are useful*.

## Mean-Variance Analysis

### 簡介

目標很簡單：找出適當的投資組合來盡可能地提高報酬同時降低風險。
首先考慮下列例子，假設市場上有兩支股票如下：
| 股票 | 報酬 | 風險 |
| -------- | -------- | -------- |
| $A$ | $\mu_A$ = 10% | $\sigma_A$ = 20% |
| $B$ | $\mu_B$ = 10% | $\sigma_B$ = 20% |

乍看之下這兩支股票沒什麼區別，全買A和全買B都沒差。但其實並非如此，考慮分別買50% A和50% B的投資組合，也就是
$$ X = 0.5A + 0.5B$$此時報酬依然為
$$\mu_X = \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[0.5A + 0.5B] = 0.5\mathbb{E}[A] + 0.5\mathbb{E}[B] = 10\%$$ 但是
\begin{align*}
\operatorname{Var}[X] &= \operatorname{Var}[0.5A + 0.5B] = 0.25\operatorname{Var}[A] + 0.25\operatorname{Var}[B] + 0.5\operatorname{Cov}(A,B)\\
&= 0.25\sigma_A^2 + 0.25\sigma_B^2 + 0.5\operatorname{Cov}(A,B)\\
&= 0.25\times 0.04 + 0.25\times 0.04 + 0.5\operatorname{Cov}(A,B)\\
& = 0.02 + 0.5\operatorname{Cov}(A,B)
\end{align*} 當 $A$ 和 $B$ 互相獨立時，
$$
\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}[X]} = \sqrt{0.02} \simeq 14\%
$$ 因此 $X$ 將風險從分別20%降低至大約14%卻依然維持著相同的報酬。當$A$ 和 $B$ 為正相關時，上述值會增加，但還是能降低風險。

接著考慮下列例子，同樣假設市場上有兩支股票如下：
| 股票 | 報酬 | 風險 |
| -------- | -------- | -------- |
| $A$ | $\mu_A$ = 10% | $\sigma_A$ = 15% |
| $B$ | $\mu_B$ = 10% | $\sigma_B$ = 20% |

這次 $A$ 和 $B$ 的風險不同了，你可能會想那我應該全買在風險比較小的 $A$ 上。但結論並非如此，假設投資比例 $p$ 在 $A$ 上、比例 $1-p$ 在 $B$ 上，同時假設 $A$ 和 $B$ 互相獨立(若不獨立則計算變異數時會多出共變異數，下面為了計算方便而假設獨立)。
$$
X = pA + (1-p)B
$$ 此時
$$\mu_X = \mathbb{E}[X] = p\mathbb{E}[A] + (1-p)\mathbb{E}[B] = p\mu_A + (1-p)\mu_B = 10\%
$$ \begin{align*}
\operatorname{Var}[X] &= \operatorname{Var}[pA + (1-p)B] = p^2\operatorname{Var}[A] + (1-p)^2\operatorname{Var}[B]\\
&= p^2\sigma_A^2 + (1-p)^2\sigma_B^2
\end{align*} 若要最小化風險，由微分求出
$$
0 = \frac{d}{d p}\left(p^2\sigma_A^2 + (1-p)^2\sigma_B^2\right) = 2p\sigma_A^2 - 2(1-p)\sigma_B^2\Longrightarrow p = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2} = 0.64
$$ 因此
$$
\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}[X]} = \sqrt{0.64^2\times 0.15^2 + 0.36^2\times 0.2^2} = 12\%
$$
- **上述兩個例子體現出了多角化投資的重要性，可以有效降低風險**。

你可能會想要問，如果兩支股票的報酬率和風險都不同的情形該如何？最後考慮下列例子，同樣假設市場上有兩支股票如下：
| 股票 | 報酬 | 風險 |
| -------- | -------- | -------- |
| $A$ | $\mu_A$ = 8% | $\sigma_A$ = 15% |
| $B$ | $\mu_B$ = 12% | $\sigma_B$ = 20% |

此時若要降低風險就會降低報酬，而若要增加報酬就會增加風險，因此要選擇怎樣的投資比例就取決於投資者對於報酬和風險之間的權衡。

### Efficient Frontier

該如何權衡報酬和風險呢？簡單思考後可自然得出下列原則
- **對於具有相同風險的投資組合，應當選擇其中報酬最大的**。
- **對於具有相同報酬的投資組合，應當選擇其中風險最小的**。

由上述兩個原則可以篩選出適當的投資組合，稱為效率前沿(Efficient Frontier)，讓我們用下列圖片說明：

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|:--:|
| 報酬-風險投資組合示意圖，其中粉色區域代表可行的投資組合的集合|

上圖中由點 $V$ (最小風險的投資組合)出發的紅色線段即為效率前沿，點 $B$ 落在效率前沿上，它代表了甚麼呢？
- 首先，若我們考慮圖中風險為 $x$ 的所有投資組合，根據原則我們應當選擇其中報酬最大的，也就是點 $B$ 而非點 $A$。
- 接著，若我們考慮圖中報酬為 $y$ 的所有投資組合，根據原則我們應當選擇其中風險最小的，還是點 $B$ 而非點 $C$。

因此效率前沿上的點就是遵守上述原則的投資組合所構成的集合，因此投資人應當從效率前沿選出符合自己風險偏好的投資組合。

>[!Note] Two-Fund Separation
>任意選取效率前沿上的兩個點，任何效率前沿上的點都可以用這兩個點的加權平均來表示。

- 舉例來說，假設一共有五個股票 $A,B,C,D,E$ 可作為投資標的。
給定效率前沿上的兩個點 $X$ 和 $Y$。$X$ 投資組合對 $A,B,C,D,E$ 的權重各為$$x_1 = 0.2 ~,~ x_2 = 0.3 ~,~ x_3 = 0.1 ~,~ x_4 = 0.1 ~,~ x_5 = 0.3$$ 而 $Y$ 投資組合對 $A,B,C,D,E$ 的權重各為$$x_1 = 0.2 ~,~ x_2 = 0.2 ~,~ x_3 = 0.2 ~,~ x_4 = 0.2 ~,~ x_5 = 0.2$$ 此時對於任意效率前沿上的點 $Z$ 都存在 $p$ 使得
$$
Z = pX + (1 - p)Y
$$ 也就是說，$Z$ 投資組合對 $A,B,C,D,E$ 的權重各為
\begin{align*}
x_1 = 0.2p +& 0.2(1-p) ~,~ x_2 = 0.3p + 0.2(1-p) ~,~ x_3 = 0.1p + 0.2(1-p)\\
&x_4 = 0.1p + 0.2(1-p) ~,~ x_5 = 0.3p + 0.2(1-p)
\end{align*}

當我們將利率固定為 $r_f$ 的無風險資產納入考量後，效率前沿也會隨之發生變化，因為它是在報酬率為 $r_f$ 的情況下風險最低的投資組合(風險為零)，同時也是風險為零時報酬率最大的投資組合。根據原則，無風險資產應該落在效率前沿上。
根據Two-Fund Separation，對於效率前沿上的風險資產和無風險資產，它們的加權平均可以構成整個效率前沿，這大大簡化了問題。

- 對於 $X$ 和利率為 $r_f$ 的無風險資產 $R_f$，投資組合 $Y = pX + (1-p)R_f$ 的報酬和風險各為
\begin{align*}
&\mu_Y = \mathbb{E}[Y] = p\mathbb{E}[X] + (1-p)r = p\mu_X + (1-p)r_f\\
&\sigma_Y = \sqrt{\operatorname{Var}[Y]} = \sqrt{\operatorname{Var}[pX]} = |p|\sigma_X
\end{align*} 假設 $p \geqslant 0$，由 $\sigma_Y = p\sigma_X$ 可知 $p = \sigma_Y / \sigma_X$，將此式帶入 $\mu_Y$ 的公式後得到
$$
\mu_Y = \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\mu_X + \left(1-\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)r_f = r_f + \frac{\mu_X - r_f}{\sigma_X}\sigma_Y
$$ 這會是一條通過無風險資產和 $X$ 的一條斜率為 $\frac{\mu_X - r_f}{\sigma_X}$、截距為 $r_f$ 的直線，如下圖中上方紅色直線。而當 $p < 0$ 時則會是下方藍色直線。

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|:--:|
| 風險資產加無風險資產所形成的投資組合 |

- 現在我們知道新的效率前沿會是一條由無風險資產出發的直線，那麼直線的另一端點該如何選擇呢？在橫軸為風險、縱軸為報酬的座標下，我們會希望投資組合越靠近左上角越好(也就是低風險高報酬)，因此選擇的端點應該使整條直線越靠近左上角越好。
由此可得知，新的效率前沿為無風險資產到原本的效率前沿的切點(Tangency Portfolio)所構成的直線，這條直線稱為CML (Capital Market Line)，如下圖中 $r_f$ 和T點 (Tangency Portfolio) 所構成的直線。
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|:--:|
| 注意到 $r_f$ 和T點(切點)構成的直線相較A點和B點來說更靠近左上角|

- 對於CML和Tangency Portfolio也可以有以下的理解方式：
- 基本上，在座標中越左上角的點代表它的「效率更好」，也就是說，同樣承受一單位的風險能夠換取最大的報酬。數學上來說基本上就是Sharpe ratio的概念。Sharpe ratio的定義為
$$
S_X = \frac{\mathbb{E}[X - R_f]}{\sqrt{\operatorname{Var}(X - R_f)}}
$$ 其中 $X$ 為投資組合報酬、$R_f$ 為無風險資產報酬。簡單來說Sharpe ratio代表著每單位的風險能夠換來多少的風險溢酬(也就是扣掉無風險收益後的報酬)。
- 自然的，目標就是最大化Sharpe ratio。假設無風險利率固定為 $r_f$，此時 $X$ 的Sharpe ratio為
$$
S_X = \frac{\mu_X - r_f}{\sigma_X}
$$ 這實際上代表了無風險利率和投資組合 $X$ 所連成的直線斜率，也就是坐標系中連接 $(0 , r_f)$ 和 $(\sigma_X , \mu_X)$ 兩點的直線斜率。因此，若要在效率前沿上選擇Sharpe ratio最大的投資組合，事實上等同於選擇使斜率最大化的點(最「左上角」的點)。

### Tangency Portfolio and Capital Market Line

Capital Market Line顧名思義就是市場會選擇的投資組合。由上述推導可知CML為新的效率前沿，因此所有理性的投資人都會在這條線上根據自身的風險偏好選擇投資組合，這也是它得名的緣由。假設T點為Tangency Portfolio，$\mu_T , \sigma_T$ 分別為T點的報酬和風險。簡單可看出CML的直線方程式為
$$
\mu = r_f + \frac{\mu_T - r_f}{\sigma_T}\sigma
$$ 如果想要快速找出CML，就必須快速找出Tangency Portfolio。Tangency Portfolio有以下特性來幫助我們識別它：
- 假設市場上有利率為 $r_f$ 的無風險資產 $R_f$ 和 $X_1 , ... , X_n$ 這些投資標的。令 $\mu_1,...,\mu_n$ 代表 $X_1,...,X_n$ 的期望報酬率，那麼Tangency Portfolio $(T)$ 必須滿足
$$
\frac{\mu_{1} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_1 , T)} = \frac{\mu_{2} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_2 , T)}
=\cdots = \frac{\mu_{n} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_n , T)}
$$ 這是為何呢？若是上述等式不成立，例如
$$
\frac{\mu_{1} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_1 , T)} > \frac{\mu_{2} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_2 , T)}
$$ 此時可以將 $T$ 投資組合做下列操作：增加 $X_1$ 的權重而降低 $X_2$ 的權重。這樣得出的新的投資組合會比 $T$ 更加的「左上角」，因此與 $T$ 是Tangency Portfolio相互矛盾。根據反證法，上述等式必須成立。
讓我們說明的更詳細點，假設 $T$ 投資組合為
$$
T = \alpha_1X_1 + \alpha_2X_2 + \cdots + \alpha_n X_n
$$ 則
\begin{align*}
\operatorname{Var}[T] &= \operatorname{Var}[\alpha_1X_1 + \alpha_2X_2 + \cdots + \alpha_n X_n]\\
&= \alpha_1\operatorname{Cov}(X_1 , T) + \alpha_2\operatorname{Cov}(X_2 , T) + \cdots + \alpha_n\operatorname{Cov}(X_n , T)
\end{align*} 由於
$$
\frac{\mu_{1} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_1 , T)} > \frac{\mu_{2} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_2 , T)}
$$ $X_1$ 帶來的風險和風險溢酬比 $X_2$ 的更有效率，因此提高 $\alpha_1$ 並降低 $\alpha_2$ 後是更好的投資組合。

- 舉例來說，假設三支股票 $A,B,C$ 和無風險資產的報酬如下
$$\mu_A = 0.15 ~,~ \mu_B = 0.17 ~,~ \mu_C = 0.17 ~,~ r_f = 0.06$$ 共變異數如下
| Cov | $A$ | $B$ | $C$ |
| -------- | -------- | -------- | -------- |
| $A$ | 0.02 | 0.01 | 0 |
| $B$ | 0.01 | 0.02 | 0.01 |
| $C$ | 0 | 0.01 | 0.02 |

我們將要利用上面介紹的方法快速找出Tangency Portfolio。
- 假設Tangency Portfolio為 $T = \alpha_1A + \alpha_2B + \alpha_3C$。
- 令 $T$ 和 $A , B , C$ 的共變異數都等於他們分別的風險溢酬，也就是
$$\begin{cases}
\operatorname{Cov}(A , T) = 0.02\alpha_1 + 0.01\alpha_2 + 0\alpha_3 = \mu_A - r_f = 0.09\\
\operatorname{Cov}(B , T) = 0.01\alpha_1 + 0.02\alpha_2 + 0.01\alpha_3 = \mu_B - r_f = 0.11\\
\operatorname{Cov}(C , T) = 0\alpha_1 + 0.01\alpha_2 + 0.02\alpha_3 = \mu_C - r_f = 0.11
\end{cases}$$ 解聯立方程式可得 $\alpha_1 = 40 ~,~ \alpha_2 = 10 ~,~ \alpha_3 = 50$。
- 等比例縮放 $\alpha_1 ~,~ \alpha_2 ~,~ \alpha_3$ 使得他們之和為一，也就是 $\alpha_1 = 0.4 ~,~ \alpha_2 = 0.1 ~,~ \alpha_3 = 0.5$

### Beta 係數
假設市場上有利率為 $r_f$ 的無風險資產和 $X_1 , ... , X_n$ 這些投資標的。令 $\mu_1,...,\mu_n$ 代表 $X_1,...,X_n$ 的期望報酬率且 $T = \alpha_1X_1 + \alpha_2X_2 + \cdots + \alpha_n X_n$。

根據上述提到的性質，我們有
$$
\frac{\mu_{1} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_1 , T)} = \frac{\mu_{2} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_2 , T)}
=\cdots = \frac{\mu_{n} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_n , T)}
$$ 令上述比值為 $c$，此時由 $\alpha_1 + \cdots + \alpha_n = 1$ 可得
\begin{align*}\frac{\mu_{T} - r_f}{\operatorname{Var}[T]} &= \frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu_{i} - r_f}{\sum_{i=1}^n\alpha_i\operatorname{Cov}(X_i , T)} = \frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu_{i} - r_f}{\frac{1}{c}\sum_{i=1}^n\alpha_i(\mu_i - r_f)}\\
&= c\times\frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu_{i} - r_f}{\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu_i - r_f} = c
\end{align*} 也就是說，
$$
\frac{\mu_{T} - r_f}{\operatorname{Var}[T]} = \frac{\mu_{1} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_1 , T)} = \frac{\mu_{2} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_2 , T)}
=\cdots = \frac{\mu_{n} - r_f}{\operatorname{Cov}(X_n , T)}
$$ 所以對於股票 $X_i$，我們有
$$
\mu_i - r_f = \underbrace{\frac{\operatorname{Cov}(X_i , T)}{\operatorname{Var}[T]}}_{\beta_i}(\mu_T - r_f)
$$ 因此得出
$$
\mu_i - r_f = \beta_i(\mu_T - r_f) \quad 或者\quad \mu_i = r_f + \beta_i(\mu_T - r_f)
$$ 類似的，對於投資組合 $X = \sum_{i=1}^n \alpha_iX_i$，我們也有
$$
\mu_X - r_f = \beta(\mu_T - r_f) \quad 或者\quad \mu_X = r_f + \beta(\mu_T - r_f)
$$ 其中 $\beta = \sum_{i=1}^n\alpha_i\beta_i$。
- 右邊的係數一般被稱作是Beta，或者寫作數學符號 $\beta$。原因是在回歸分析中通常使用符號 $\beta$ 作為係數，如下列簡單線性回歸式
$$Y_t = \alpha + \beta X_t + \varepsilon_t$$ 利用最小平方法所求出的斜率 $\beta$ 正好為 $\frac{\operatorname{Cov}(X , Y)}{\operatorname{Var}[X]}$。
- 因此求出 $\beta$ 的其中一個方式就是將 $X$ 和 $T$ 做簡單線性回歸。

### 追蹤投資標的

在市場中常常需要利用小部份股票形成的投資組合來追蹤特定標的，以節省交易成本。例如基金管理人可能會被要求追蹤指數如台灣加權指數、S&P 500，不可能真的按照全市場所有股票的權重交易，這樣交易成本太大。
- 可以將上述公式改寫為
$$\mu_X = r_f + \beta(\mu_T - r_f)
\Longrightarrow\mu_X = \beta\mu_T + (1-\beta)r_f
$$ 代表「分別投資 $\beta$ 、 $1-\beta$ 比例的Tangency Portfolio和無風險資產」所得的投資組合之預期報酬率為 $\mu_X$。
- 假設追蹤目標為 $X$。當 $T$ 為Tangency Portfolio、$R_f$ 為無風險資產時，一個簡單的追蹤投資組合為 $\beta_iT + (1-\beta_i)R_f$ 。此投資組合的預期報酬率與 $X$ 的預期報酬率相等：
$$
\mathbb{E}[\beta~T + (1-\beta)R_f] = \beta\mu_T + (1-\beta)r_f = \mu_X = \mathbb{E}[X]
$$

## Capital Asset Pricing Model (CAPM)

### Market Portfolio

簡單來說，Market Portfolio就是由市場中所有投資標的構成的投資組合，其中每個投資標的的權重為其佔市場總市值的比重。
- 舉例來說，假設市場上只有三支股票 $A$、$B$、$C$，股價分別為30、50、100而流通股數分別為10000、5000、4500。
- 此時 $A$ , $B$ , $C$ 的總市值分別為：
$$
30\times 10000 = 300000 ~,~ 50\times 5000 = 250000 ~,~ 100\times 4500 = 450000
$$
- 因此，市場總市值為 $300000+250000+450000 = 1000000$。所以Market Portfolio為
$$
\frac{300000}{1000000}A + \frac{250000}{1000000}B + \frac{450000}{1000000}C = 0.3A + 0.25B + 0.45C
$$

值得注意的是，世界上並不是只有股票市場能夠投資，還有其他市場如債券、房地產等等。因此嚴格來說Market Portfolio也必須涵蓋這些非股票的資產。
- 顯然，要考慮且計算世界上所有資產的權重並不實際。某些資產甚至沒有公開交易的平台，因此也無從得知他們的市值。
- 因此現實中常常使用指數如S&P 500作為妥協。當然，S&P 500只包含了500支市值較高的美國股票，並不涵蓋美國的所有股票，更不涵蓋其他國家的股票

### 模型結論

一句話總結CAPM的結論：**Market Portfolio其實就是Tangency Portfolio**。
:::spoiler 論證概要
- 考慮以下情境：市場上有無風險資產和三支股票 $A$、$B$、$C$，股價分別為30、50、100而流通股數分別為10000、5000、4500。
- 假設市場上只有兩位投資人Alice和Bob。根據Mean-Variance Analysis，Alice和Bob都會根據自身風險偏好來選擇Capital Market Line上的投資組合，也就是分別持有一定比例的Tangency Portfolio和無風險資產。
- Tangency Portfolio必須包含 $A$、$B$、$C$ ，否則不失一般性可以假設Tangency Portfolio不包含 $A$，此時Alice和Bob都不持有 $A$ 股票，那麼 $A$ 股票的供給(300000)和需求(0)並不相等，因而導致矛盾。
- 如果市場總需求與總供給相等，且Alice和Bob都持有Tangency Portfolio，那麼Alice在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例相同。
- 也就是說，如果Alice持有5000股的 $A$，則Alice持有2500股的 $B$ 和2250股的 $C$。
- Bob則持有剩下的股權，也就是5000股的 $A$，2500股的 $B$ 和2250股的 $C$。
- 此時Alice和Bob所持有的股票(Tangency Portfolio)總市值皆為500000，其中 $A$、$B$、$C$ 股票權重各為
$$\frac{30\times 5000}{500000} = 0.3 ~,~ \frac{50\times 2500}{500000} = 0.25 ~,~ \frac{100\times 2250}{500000} = 0.45$$ 正好為先前例子所計算出的Market Portfolio，因此Market Portfolio就是Tangency Portfolio。

此時問題回到為何Alice在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例相同？讓我們假設Alice在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例並不相同，例如Alice持有 $A$ 的50%股權、$B$ 的25%股權。
- 此時Alice持有5000股的 $A$，1250股的 $B$。此時Alice的股票投資在 $A$ 的權重和 $B$ 的權重的比值為
$$
\frac{30\times 5000}{50\times 1250} = \frac{150000}{62500} = 2.4
$$
- 根據市場總需求與總供給相等，可知Bob持有 $A$ 的50%股權、$B$ 的75%股權。
此時Bob持有5000股的 $A$，3750股的 $B$。Bob的股票投資在 $A$ 的權重和 $B$ 的比值為
$$
\frac{30\times 5000}{50\times 3750}=\frac{150000}{187500} = 0.8
$$
- 由於Alice和Bob投資在 $A$ 的權重和 $B$ 的權重的比值並不相等，他們的投資組合不可能同時落在Capital Market Line上，這導致了矛盾。

- 若市場上有三個投資人Alice、Bob、Cody，可以先將Alice和Bob視為同一人，並將他們持有的股票合併計算。此時回到了上述討論中只有兩個投資人的情況，因此Cody在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例相同。
- 將Cody的股權扣掉後，考慮Alice和Bob的股權，根據上述討論Alice在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例相同，且Bob在 $A$、$B$、$C$ 所佔的股權比例也相同
- 因此，根據類似的計算可得出，Market Portfolio其實就是Tangency Portfolio。
- 對於更多人的情況亦可以用類似的方法論證。
:::

這告訴了我們下列幾件事：
- 在此之前若要找出Tangency Portfolio必須計算所有股票之間的共變異數並解聯立方程式，而現在這些都不必要，只需要選擇Market Portfolio即可。
- 最佳投資組合由Market Portfolio和無風險資產所構成，由投資者的風險偏好來決定這兩者的投資權重。
- 對於任意投資組合 $X$ 和Market Portfolio $M$ ，由Mean-Variance Analysis可知
$$
\mu_X = r_f + \beta(\mu_M - r_f) \quad,\quad \beta = \frac{\operatorname{Cov}(X , M)}{\operatorname{Var}(M)}$$ 在上式中跟 $X$ 有關的項只有 $\operatorname{Cov}(X , M)$，因此 $X$ 的報酬率取決於與其與市場的共變異數。
- $\beta$ 也被叫做系統性風險係數，其涵義可以有下列理解方式：平均而言，當市場波動1%時，選定的投資組合會波動 $\beta$ %。也就是說，$\beta$ 值代表了這個投資組合對市場波動的敏感程度。可以分為下列三種情形：
1. $\beta > 0$ ： 投資組合與市場同方向波動，也就是說，當市場是多頭時投資組合也是多頭；而當市場是空頭時投資組合也是空頭。常見股票都屬於此類。
2. $\beta = 0$ ： 投資組合並不跟隨市場而波動，無風險資產就是屬於此類。
3. $\beta < 0$ ： 投資組合與市場反方向波動，也就是說，當市場是多頭時投資組合是空頭；而當市場是空頭時投資組合是多頭。可以利用此類型的投資組合來進行避險操作。
- 考慮 $\beta > 0$ 的情況，此時 $\beta$ 的大小代表甚麼？
- 當 $\beta$ 較大時，代表其跟隨市場的波動幅度較大。當市場處於多頭時，較大的 $\beta$ 值會帶來更大的漲幅，但當市場處於空頭時，較大的 $\beta$ 值也會帶來更大的跌幅。
- 當 $\beta$ 較小時，代表其跟隨市場的波動幅度較小。當市場處於多頭時，雖然較小的 $\beta$ 值會帶來較小的漲幅，但當市場處於空頭時，較小的 $\beta$ 值會帶來較小的跌幅。

讓我們考慮下列實際的例子。考慮2020年1月至2024年11月的BRKb和S&P 500每月報酬率，並做回歸求出 $\beta$ 值。
||
|:--:|
| BRKb和S&P 500每月報酬率的回歸直線，斜率約為0.87。|

回歸所求得的估計值 $\hat{\beta}$ 為 0.87，且根據計算無風險利率平均為2.45%，BRKb和S&P 500平均每月報酬率各為1.47%和1.22%。如果以S&P 500作為Market Portfolio，而 $X$ 代表 BRKb。帶入公式可得BRKb的預期年報酬率約為
$$
\mu_X = 2.45\% + 0.87(14.64\% - 2.45\%) \simeq 13\%
$$ 而BRKb的真實平均年報酬率約為17.64%。

## CAPM正確嗎？

根據實際試驗，對於較低Beta值的股票，其實際報酬率往往會比CAPM所預測的高不少，而對於較高Beta值的股票，其實際報酬率往往會比CAPM所預測的低不少。
- 上述現象自然令人懷疑CAPM在現實中是否真的成立？又該如何驗證呢？

### CAPM可以被驗證嗎？
CAPM預測了股票預期報酬率和其Beta值之間的關聯，但是
- 由於對任意股票並無法觀察到其真實期望報酬率和Beta值，僅能從歷史數據和大數法則的假設前提下，當作觀察值會逼近於真實值。因此CAPM對觀察值不一定會成立。

另一方面，由於現實中無從得知Market Portfolio為何，因此不得不使用替代品如S&P 500等等。Roll(1977)提出以下論證說明，因無法實際觀察到Market Portfolio，而無從驗證CAPM正確性：
- 注意到無論CAPM是否成立，Tangency Portfolio都存在。因此之前證明的那些公式對於Tangency Portfolio仍然適用。
1. 假設CAPM不成立，但我們所選擇的Market Portfolio的替代品恰恰好是Tangency Portfolio。那麼觀察到的理論結果仍然成立，在此情況下將錯誤的推論出CAPM成立。
1. 假設CAPM成立，但使用的Market Portfolio的替代品並非是Tangency Portfolio。那麼觀察到的理論結果並不成立，在此情況下將錯誤的推論出CAPM不成立。

上述論證也說明了在實際應用中重要的一點：
- 無論CAPM成立與否(也就是無論Market Portfolio是不是Tangency Portfolio)，只要選擇的替代品為Tangency Portfolio，那麼結論仍然成立。

因此，在實際應用時重要的並非是CAPM成立與否，而是選擇的替代如S&P 500等是否為Tangency Portfolio。

### 歷史數據

假設將所有股票的Beta值都利用回歸估計出來，令 $\hat{\mu}_j$ 代表第 $j$ 個股票的平均報酬率、$\hat{\beta}_j$ 代表第 $j$ 個股票的Beta估計值。

- 根據CAPM，當我們將報酬率和Beta值做下列回歸式時$$\hat{\mu}_j = \alpha_0 + \alpha_1\hat{\beta}_j + \varepsilon_j $$ 所求出的係數應為 $\alpha_0 = r_f ~,~ \alpha_1 = \mu_M - r_f$。
||
|:--:|
| 2020年至2024年S&P500成分股報酬率和Beta的回歸直線，截距和斜率分別約為-0.001和0.0126 |
- 股票的預期報酬率應只取決於無風險利率和其Beta值，而不受股票的其他特徵如市值、股價淨值比、本益比等等影響。

然而，[1]利用[2]從1928-2009年的數據統計，將NYSE、NASDAQ、AMEX的股票依照規模分為十組(利用十分位數)，對每組都考慮組內市值加權的投資組合，這樣就得到了十個投資組合。
| 規模 | 平均年化報酬 (%)| Beta |
|:--:|:--:|:--:|
|Smallest| 19.16 | 1.59 |
|2| 16.79 | 1.47 |
|3| 16.45 | 1.38 |
|4| 15.80 | 1.30 |
|5| 15.06 | 1.22 |
|6| 14.88 | 1.21 |
|7| 14.47 | 1.17 |
|8| 13.34 | 1.07 |
|9| 12.78 | 1.03 |
|Largest| 10.93 | 0.91 |

根據上表，可以看出：
- 規模大小和報酬率之間有顯著的關聯。規模較小的投資組合的報酬率表現超越規模較大的。

由於規模小的公司的Beta值較大，這似乎解釋了為何規模較小的投資組合的報酬率表現好？
然而，Eugene Fama和Kenneth R. French在[3]中提出了下列數據來回應此論點：
| | 平均年化報酬 (%)|Beta較小者(%)|Beta較大者(%)|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|全體| 15 | 16.1 | 13.7 |
|規模較小| 18.2 | 20.5 | 17 |
規模較大| 10.7 | 12.1 | 6.7 |

在表中可以看出
1. 無論規模，Beta較小者表現都比Beta較大者來的好。
2. 無論Beta大小，規模較小者之報酬率都超越規模較大者。

除了規模之外，股票特徵如股價淨值比(P/B)也與報酬率有顯著的關聯。同樣的，[1]利用[2]從1928-2009年的數據統計，將NYSE、NASDAQ、AMEX的股票依照P/B分為十組(利用十分位數)，對每組都考慮組內市值加權的投資組合。
| P/B | 平均年化報酬 (%)| Beta|
|:--:|:--:|:--:|
|Lowest| 17.35 | 1.37 |
|2| 16.09 | 1.18 |
|3| 15.52 | 1.12 |
|4| 13.37 | 1.05 |
|5| 13.29 | 1.03 |
|6| 13.00 | 0.97 |
|7| 11.59 | 0.98 |
|8| 11.70 | 0.90 |
|9| 11.80 | 0.89 |
|Highest| 10.87 | 1.02 |

根據上表，可以看出：
- P/B和報酬率之間有顯著的關聯。P/B較小的投資組合的報酬率表現超越P/B較大的。

Eugene Fama和Kenneth R. French在[3]也提出了下列數據：
| | 平均年化報酬 (%)|P/B較低者(%)|P/B較高者(%)|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|全體| 14.8 | 19.6 | 7.7 |
|規模較小| 17.6 | 23.0 | 8.4 |
|規模較大| 10.7 | 14.2 | 11.2 |

在表中可以看出
1. 無論規模，P/B較低者表現都比P/B較高者來的好。
2. P/B的差異帶來的效果對規模較小者較顯著。

綜合上述討論，我們得出
- CAPM並無法很好的解釋報酬率與Beta之間的關聯。
- 在特定時間區段中，投資規模較小且P/B較低者似乎是個好選擇。

### 如何解釋？

一種簡單的解釋便是，CAPM完全就是錯誤的，投資人並非只依靠期望報酬和風險來做決策。
- 大眾普遍認為規模較小的公司在不景氣的環境中更可能倒閉，而規模較大的公司抗住經濟下滑風險。一般人在不景氣時可能會失業，急需將股票變現來維持生計。因此儘管期望報酬率較低，仍傾向於投資規模較大的公司。
- 規模、P/B較小的股票常被認為前景不看好，而規模、P/B較小的股票常被認為為來將會持續成長。因此，就算Beta值或報酬率分布根本就相同，投資人仍然會傾向於規模、P/B較大的股票。這為規模、P/B較小的股票帶來了超額報酬。

### 近年數據

數據顯示，近年來規模和P/B的效果似乎已經逐漸消失。同樣利用[2]從2010-2023年的數據統計，將NYSE、NASDAQ、AMEX的股票依照規模和P/B各分為十組(利用十分位數)，對每組都考慮組內市值加權的投資組合。
| 規模 | 平均年化報酬 (%)|| P/B | 平均年化報酬 (%) |
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
|Smallest| 10.24 ||Lowest| 17.94 |
|2| 12.26 ||2| 15.74 |
|3| 13.07 ||3| 14.29 |
|4| 12.03 ||4| 11.99 |
|5| 13.53 ||5| 11.97 |
|6| 13.04 ||6| 12.94 |
|7| 13.20 ||7| 8.84 |
|8| 14.57 ||8| 12.89 |
|9| 13.81 ||9| 13.60 |
|Largest| 14.44 ||Highest| 10.5 |

如何解釋此種轉變？
- 一種可能的解釋為：因眾多研究指出了規模和P/B對報酬率的影響，投資者現在更願意關注規模較小、P/B較低的股票，使得他們帶來的超額報酬逐漸消失。

## 參考資料

[1]. David Hillier, Mark Grinblatt and Sheridan Titman - Financial Markets and Corporate Strategy, 2nd edition.
[2]. [Kenneth R. French’s web page](https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html#Research)
[3]. ‘The cross-section of expected asset returns’, by Eugene Fama and Kenneth
R. French.