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# 學測數學
>[color=#00D912]memorizing required

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## 部分選擇題解法
- 先假設為錯 --> 舉反例 --> 舉不出來，則證明是對的
## 寫題技巧：由簡單到難
- 一題單選 --> 一題選填 --> 一題單選 --> 一題選填 -->....
## 多項式函數
### 記熟定義
#### 1. 奇函數 $f(-x)=-f(x)$，對稱（0,0）
$Ex: f(x)=sin(x)$
#### 2. 偶函數 $f(-x)=f(x)$，對稱y軸
$Ex:f(x)=cos(x)$
#### 3. 複數域：虛數域or實數域
### 拉格朗日轉牛頓插質 p40-例1
利用：
1. $f(a), f(b), f(c)$
2. 餘式定理

相關性質
### 成雙定理
#### 虛根 $f(X) \in R(X)$
#### 無理數 $f(X) \in Q(X)$
### 堪根定理
f(X)=0
$if$ $f(a) \cdot f(b)<0$ 則之間有奇數個實根
$else if$ $f(a) \cdot f(b)>0$ 則之間有偶數個實根

Method：列表
|x|f(x)|±|
|-|-|-|
|3|4+7-5|+|
|2|4-2-3|-|
|1|...|...|

則***x=2~3有奇數個實根***，並比對其為幾次函數、幾個虛根求有幾個根

### 高次函數的解
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$
$\alpha \beta \gamma=- \dfrac{d}{a}$
$\alpha \beta +\beta \gamma+ \alpha \gamma=\dfrac{c}{a}$

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## 大數近似值求法
>[color=#53e0a7] 組合計數：
>$(1.01)^{99}=C_0^{99}*0.01^0...$

>[color=#EF0401] （p75)
>最後的 n+logb：a<log b<a+1，取a
>Log：
>$(\dfrac{5}{6})^{100})$化為小數？
Step 1
$100 \log (5/6)=-7.91$
Step 2
$7.91=-8+0.09$ (此算法for小數）
Step 3
$\log1 < 0.09 < \log2$
Step 4
由上得此數為 $1*10^-8$
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## 排列組合算法選用
|$\downarrow m個箱子\ n件物品\rightarrow$|同|異|
|-|-|-|
|同|分成幾種堆|$C_p^nC_q^{n-p}$|
|異|$H_n^m$|$m^n$|

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## 數列
### 等比級數性質
$=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$
### 等差級數性質
$a_n=a_m+(n-m)d$
$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

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## 數據分析
### σ, μ, var
$σ=\sqrt{\dfrac{1}{n}\Sigma(x_i-μ)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{n}\Sigma x_i^2-μ^2}$
當$X為μ時，可得f(X)_{min}，即為σ^2$
### 資料的線性變化
$有X: x_1, x_2, x_3, ....，做y=ax+b的線性變換$
$σ_y=|a|σ_x$
### 相關係數
#### 零相關：水平線、垂直線、對稱圖形
#### 大小：集中於一條直線 $->大$
#### $r(x,y)=r(y,x)=r(x, 2y-1)=-r(x, -2y-1)=r(-x,-y)$
### 回歸直線
$y-μ_Y=a(x-μ_X)$
$a=\dfrac{\Sigma(x_i-μ_X)(y_i-μ_Y)}{\Sigma(x_i-μ_X)^2}=\dfrac{\Sigma x_iy_i-nμ_Xμ_Y}{\Sigma x_i^2-nμ_X^2}=r\dfrac{σ_Y}{σ_X}$
可換成y=ax+b的形式，並用推出b
### 資料的標準化
一組數據只有一個變數$\dfrac{x_i-μ_X}{σ_x}=z_i$
兩組數據 X, Y標準化後，
$μ_X=μ_Y=0，σ_X=σ_Y=1$
$斜率=相關係數=\dfrac{1}{n}\Sigma \hat x \cdot \hat y$

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## 三角函數
cos 和角中間正負對換
$\cos2\theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2\theta$
$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \theta}{2}}$
**$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$**
**$\sin3\theta=-4 sin^3\theta+3\sin\theta$**
$\sin\theta=\cos (\theta-90°)$
$\dfrac{a}{\sin A}=2R（外接圓半徑）$
外接圓半徑(∆外接一個圓） $R=\dfrac{abc}{4∆}=\dfrac{a}{2\sin A}$
內切圓半徑（圓在∆裡面）$r=\dfrac{∆}{s}$
p212: 平行四邊形、中線定理

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## Circle
- $ax+by$的斜率為$- \dfrac{a}{b}$
- A, B為直徑的兩端點：$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$
- 圓內接四邊形的充分必要條件：對角互補
- 圓上與某點距離為整數點：注意切線和交線可以從兩邊接觸，所以是$dist_{min}$和$dist_{max}$中間（含）整數數量的兩倍
- (p247)用對稱點設一直線，代點（圓心）到直線距離公式得斜率（有兩個：分別是兩條點與圓的切線）
- 性質：$有log_a b$，$b>0$
- (p250)利用兩個反射點得其反射線斜率
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## 線性規劃
ax+by+c
if a>0 $=>$ 右正左負
if b>0 $=>$ 上正下負
## 向量
### 分點公式：
$\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB} , a+b=1$
### 二階行列式
$\left|\begin{array}{cccc}
a&b \\
c &d
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a & b+ka \\
c & d+kc
\end{array}\right|$
### 菱形的性質
1. 菱形具備有平行四邊形的所有性質
2. 菱形是線對稱圖形，兩條對角線為其對稱軸
3. 菱形的對角線互相垂直平分
4. 四邊均相等的四邊形必為菱形
### 正射影
（用電腦）
### 克拉瑪方程組
（用電腦）
### 柯西不等式
1. 求min and max：因要使其形成有限區間，所以應把目標函數放平方項
2. 等號成立時：$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$

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## 矩陣
### 轉移矩陣

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## 二次曲線