- [ ] <h1> <b>ZK 2016 - Haupttermin A </b> </h1> <h1> Teil 1 </h1> <!-- Aufgabe 1 !--> <h2> <i> Aufgabe 1 </i> </h2> <p> Bei der ersten Aufgabe soll man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen. Dafür kann man folgende Formel gebrauchen: <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15oh5.png" /> <br> Diese Formel kann auch entschlossen werden, wenn man überlegt, dass zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke ein Rechteck formen. <br> <img src = "https://www.mathe-lexikon.at/media/advanced_pictures/RechteckDiagonale.jpg" width = 225/> Da <i>a</i> 4cm und <i>b</i> 3cm lang ist, lautet die Lösung: <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ym2.png" /> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/EWnNQwiHnhxGlyhDcl_6kuYBFLQ9t6c11Dpwv47NtpDRYw?e=RNRouQ) ::: </p> <hr> <!-- Aufgabe 2 !--> <h2> <i>Aufgabe 2</i> </h2> <p> In der zweiten Aufgabe soll man folgende Gleichung auflösen: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qnu.png" />. Im ersten Schritt kann man die Klammer auflösen. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qof.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qoh.png" /> </p> <p> Als nächtes addiert man <i>5x</i>, um alle <i>x</i> auf einer Seite der Gleichung zu haben. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qov.png" /> <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpe.png" /> </p> <p> Danach subtrahiert man <i>5</i>. <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpi.png" /> <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpk.png" /> </p> <p> Zuletzt dividiert man durch 20, um herauszufinden, wieviel jedes <i>x</i> wert ist. <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpr.png" /> <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpu.png" />- :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/ER6aFxOaX4dAuxgh1eTYlNcB6BU262xqNsQ-jNMwNIF3kw?e=niI0t7) ::: </p> <hr> <!-- Aufgabe 3 !--> <h2> <i>Aufgabe 3</i> </h2> <p> Die dritte Aufgabe fragt ein Prisma zu identifizieren. Von den fünf gegebenen Bildern ist Bild C, da es zwei parallele kongruente Seitenflächen besitzt. <br> <img src = "https://www.mathe-online.at/materialien/isabell.wolf/files/Lernpfad_Koerper/Prisma.png" /> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/EYTfVL_iOfBAh6ck89nfUL8B4-GEewcAMY7qsLjQ-RN7rg?e=IZpo6K) ::: </p> <hr> <!-- Aufagabe 4 !--> <h2> <i>Aufgabe 4</i> </h2> <p> Die vierte Aufgabe erwartet, dass man die Warscheinlichkeit von Toms zügen berechnet. Dazu überlegt man, dass Tom in der richtigen Reihenfolge die Buchstaben seines Namens ziehen muss und dabei immer wieder die Kugeln zurücklegt. D.h., dass er <u>drei Mal</u> <b>einen</b> spezifischen Buchstaben aus <b>26</b> ziehen soll. Daher ist die Warscheinlichkeit: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15qpx.png" /> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/ESgWpWt55J5Ii-y3zz6t6lIBcBFphrzTHXi7LO9hrnLCLA?e=Wcivje) ::: </p> <hr> <!--Aufgabe 5 !--> <h2> <i>Aufgabe 5</i> </h2> <p> Die fünfte Aufgabe erfordert, dass man die gesamte Fläche eines Spielfeldes berechnet. Gegeben sind die Maße des Rechteck zwichen den Halbkreisen. Das Feld ist so gebaut, dass der Radius der Kreise die Hälfte der Länge der Seiten von dem Rechteck sind, also 30 Meter.<br> Zur Berechnung des gesamten Feldes kann man den Flächeninhalt des Rechtecks und der Halbkreise addieren. Diese Formeln sind dazu nötig: <br> <img src ="https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ufr.png" /> <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ufx.png" /> <br> Erstmals kann man <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ug4.png"/> berechnen. Da <i>a</i> 60 Meter und <i>b</i> 100 Meter beträgt, ist <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15z92.png" /> Jetzt kann man den Flächeninhalt des Kreises berechnen, indem man die erste Formel verwendet. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15zba.png" /> Wenn man beide Formeln addiert kommt entsteht dieses Resultat: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15zb9.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15z97.png" /> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/Ea9ocWlu4kNJjI4ruBRtkogBmy6mXYsB4NGfkWE5vvCz2Q?e=vBMRaP) ::: </p> <hr> <!-- Aufgabe 6 !--> <h2> <i>Aufgabe 6</i> </h2> <p> Zur Vollendung der 6 Aufgabe soll man im Teil a) eine Zahl in Zenerpotenz schreiben. Hierzu kann man die Ziffern hinter der ersten Ziffer Zählen und diese in einem <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15vql.png" /> verfassen. Die Restlichen Ziffern ungleich Null schreibt man hinter die <i>5</i> mit einem Komma. Das Resultat sieht so aus: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15xz7.png" /><br> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/EfLAZ0OwEVdIrqZXcsTx0VcBRWLT4fUPBgXcAwb5fJ4PVg?e=4b5oAa) ::: Im zweiten Teil <i>b)</i> erwartet man die Umformung der Summe <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15xzq.png" /> in ein Produkt mit zwei Faktoren und dessen erster Faktor <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15xzz.png" /> ist. <br> Der erste Schritt wäre aus <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15y8s.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15y8z.png" /> zu machen. Also sähe dies folgendermaßen aus: <br> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15y9b.png" /> Jetzt können wir mit <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15y9t.png" /> erweitern, da es das gleiche wie <i>1</i> ist. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ya6.png" /> Zunächts vereinfachen wir den Term indem wir <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15yah.png" /> und <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15y9t.png" /> multiplizieren. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15yam.png" /> Zuletzt klammern wir <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15yao.png" /> aus. Und das Resultat ist: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15yat.png" /><br> :::info [Erklärvideo] ::: </p> <hr> <!-- Aufgabe 7!--> <h2> <i>Aufgabe 7</i> </h2> <p> In Aufgabe 7 soll man erklären wieso es sich in einer Tabelle um eine exponetielle Abnahme Handelt. Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, weil sich in jedem Schritt die Funktionswerte halbieren.<br> Danach soll man die Funktion dazu erstellen. Erstmals muss man die Formel zu einer exponentiellen Funktion kennen: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ygj.png"/> Der Anfangswert ist durch die Tabelle schon gegeben, da da bei <i> x = 0 y = 10 </i> gilt, daher ist der Anfangswert <i>10</i>. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ygo.png"/> Wir haben auch schon bemerkt, dass sich diue Funktionswerte halbieren, also glit <i>a = 0,5</i>. Die Formel sieht also so aus: <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/15ygq.png" /> </p> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/EesWl2UB8rVIu1bCleZUvZgBcUmmoICgOzaUOGbPNUADlg?e=DPZyrO) ::: <hr> <h2> <i>Aufgabe 8</i> </h2> <p> a)<br> Man kann die Gerade zeichnen indem man den y-Achsenabschnitt -4 nimmt und für jeden Kasten nach rechts 2 Kasten hoch rechnet. <img src = "https://www.geogebra.org/resource/uUwkhAhc/4O6ZKREtxSDaWhpw/material-uUwkhAhc.png" /> b)<br> Für die Koordinaten soll man die Werte für x bzw. y einsetzen. <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gay.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gb4.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gb7.png" /> <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gb9.png"/> Also lauten die Punte <i>P(-10|24)</i> und <i>Q(12|20)</i>. c)<br> Um eine Gleichung anzugeben müssen wir und an die Formel <img src = "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gbe.png"/> halten. Da der Graph orthogol zu g sein soll, müssen wir das Gegenteil des m-Wertes von g formen. Das Gegenteil von <i>2</i> ist <img src = https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gbl.png />. Jetzt soll man noch bestimmen, dass der y-Achsenabschnitt (0|3) ist. Dafür kann man den Graphen um 3 in y-Achsen-Richtung verschieben. Die Formel heißt <img src= "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16gbq.png" />. </p> :::info [Erklärvideo]() ::: <hr> <!-- Aufgabe 9 !--> <h2> <i>Aufgabe 9</i> </h2> <img src= "https://www.kapiert.de/media/image/EF2ED518/59CBBE28/D4C21FB2/29379B24.png" height = 200/> <p> In der Aufgabe 9 wird uns erklärt, dass <i>c = 5cm</i> beträgt und die Strecke <i>a</i>, die wir bestimmen sollen, die Hypothenuse <i>b - 3cm</i> ist. Daher können wir mit Hilfe von Pythagora's Formel alles gleichstellen und nach <i>b</i> auflösen. <img src=https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16kdp.png/> <img src= "https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16kdt.png"/> <img src=https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16ke3.png/> <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16kng.png/> <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16kni.png/> <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16knj.png/><br> <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16knk.png/> Jetzt nehmen wir das Resultat <i>-3cm</i>, damit es a ergibt. <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16knm.png /> <img src= https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/16knn.png /> </p> :::info [Erklärvideo](https://deutscheschulebarcelona.sharepoint.com/:v:/s/VideosMatheZK2021/EVbO5T8xHX5Nlcu3aCPtDXgBmdUBt-JRJRAoQu40OiEOMw?e=zTmkMo) ::: <hr> <h1> Teil 2 </h1> <hr> ## <i> Aufgabe 1 <i> a) In dieser Aufgabe müssen wir die Länge der Distanz des Flugzeugs an Punkt F1 und dem Punkt A berechnen. ![](https://i.imgur.com/w0SBnn0.jpg) Gegeben sind die Höhe des Punktes F1 (h=2570m) und die Größe des Winkels α (α=18,6 Grad). Nun verwenden wir die Definition des Sinus: ![](https://i.imgur.com/2wNd2Kg.jpg) Wir kennen α (18,6 Grad) und die Gegenkathete (h=2570m). Nun geben wir die Werte ein und stellen nach der Hypothenuse um (die Hypothenuse ist die Strecke F1A). Hypothenuse= 2570m : sin(18,6 Grad) Gibt man das in den Taschenrechner ein, kommt m heraus Zur Veranschaulichung gerne das Video schauen Vor dem Video: Bitte beachtet folgende Fehler: - Winkel α= 18,6 Grad UND Gegenwinkel für Aufgabe unwichtig [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/4afbd89c-9a2b-4d79-8408-72160c2cc701) b) In dieser Aufgabe müssen wir die Länge der Distanz des Flugzeugs zwischen Positionen F1 und F2 berechnen. ![](https://i.imgur.com/Cgn4zGk.jpg) Gegeben sind die Höhe des Punktes F1 (h=2570m), die Länge der Strecke F1A (=8057m)(siehe Teilaufgabe a), die Höhe des Punktes F2 (h=2570m-420m=2150m), die Größe des Winkels β (=44,8 Grad) Zunächst wenden wir wieder die Definition des Sinus an. ![](https://i.imgur.com/pZFQcV6.jpg) Wir verwenden dafür den Winkel β und geben die Höhe des Punktes F1 (2150m) für die Gegenkathete an und nehmen den Wert des Winkels β (=44,8 Grad) für den Sinus an. Jetzt stellen wir die Gleichung nach der Hypothenuse um und bekommen 3051m heraus. Nun kennen wir die Länge der Strecke F2A. Jetzt kennen wir die Längen zweier Seiten eines Dreiecks (wer sich das Dreieck nicht vorstellen kann, kann sich das Video anschauen;). Um zum Schluss die tatsächlich gesuchte Seite zu berechnen verwenden wir den Satz des Pythagoras ![](https://i.imgur.com/4gd8C2e.jpg) Da wir die Seite b des Dreiecks suchen, müssen wir nach ihr umstellen und erhalten die Formel: ![](https://i.imgur.com/t9jNvOA.jpg) Nun müssen wir nurnoch die Länge der Seiten c (=8057m) und a (=3051m) in die Formel einsetzen und erhalten m [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/db7267f5-7e8b-43e1-8116-308eb631bbaa) ## <i> Aufgabe 2 <i> a) In dieser Aufgabe müssen wir den Graphen zeichnen und die Definitions- und Wertemenge angeben. ![](https://i.imgur.com/1x4azBm.jpg) Mit der Definitionsmenge werden alle Zahlen angegeben, die sich sinnvoll einsetzen lassen. Allgemeine Regeln: - Nenner darf nicht 0 sein - Zahl unter einer Wurzel >0 Da x im Nenner steht darf x nicht 0 sein Also: ![](https://i.imgur.com/lVG4G7u.jpg) Mit der Wertemenge werden alle Funktionswerte angegeben, die vorkommen können. Die Asymtote des Graphen an der y-Achse beim Punkt y=8 können die Werte niemals über einschließlich 8 liegen Also: ![](https://i.imgur.com/eNGHzra.jpg) [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/3adfdc21-a712-4f53-8d6f-dade2202081a) b) In dieser Aufgabe müssen wir den Durchmesser der Geraden an der höchsten Stelle des Kübels mit der Höhe von 60cm berechnen (10cm entsprechen einer Längeneinheit) Zunächst suchen wir also den Schnittpunkt der Funktion an der Gerade y=6. Nun setzten wir die Funktion mit y=6 gleich um dann nach x aufzulösen: ![](https://i.imgur.com/oXzcoOT.jpg) Das Ergebniss (beide Ergebnisse sind gleich) muss jetzt nurnoch mal zwei genommen werden (wir haben gerade nähmlich nur den Radius berechnet, brauchen aber den Durchmesser= 2mal der Radius) und schliesslich mit der Längeneinheit, also 10cm, multipliziert werden. ![](https://i.imgur.com/nwKDO11.jpg) [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/33bad8d5-557b-4416-984e-f6ffcfedfd8d) c) In dieser Aufgabe müssen wir die Höhe des Kegels berechnen. Dazukönnen wir dem Punkt berechnen, an dem sich die Spitze des Kegels befindet, der kopfüber in den Kübel gesteckt wurde. Da der Kegel genau den selben Durchmesser hat, wie der Kübel an der Öffnung oben, können wir den Punkt ![](https://i.imgur.com/VzN2cPr.jpg) verwenden. Wir müssen die Punkte in die Steigung m der Mantellinie des Kegels einsetzten und nach b (die Verschiebung an der y-Achse) auflösen. ![](https://i.imgur.com/Ba4NJNn.jpg) Nun haben wir den Abstand der Spitze des Kegels zum Boden (2 Längeneinheiten = 20cm). Wir wissen, dass der Kübel 60cm hoch ist. Also müssen wir die Höhe des Kübels mit dem Abstand der Spitze zum Boden subtrahieren um die Höhe des Kegels zu berechnen Höhe des Kübels = 60cm - 20cm = 40cm [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/c5e4e353-e204-42a7-b08b-648fee071a24) d) In dieser Aufgabe müssen wir die Gleichung - [ ] ![](https://i.imgur.com/0aU480A.jpg) so umformen, dass der Durchmesser des Kübels 40cm beträgt. Das bedeutet, dass x = 2 oder -2 sein muss. Nun suchen wir uns den Punkt P, der x = 2 oder - 2 erfüllt. Der Punkt wäre dann P(2|6) Diese Werte müssen jetzt nur noch in die oben genannte Funktionsgleichung g(x) einsetzten und nach a auflösen ![](https://i.imgur.com/Bzuu1iZ.jpg) Die Funktionsgleichung ist also: ![](https://i.imgur.com/bG1mwI4.jpg) - [ ] [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/428b406d-eab2-42b2-959c-992c9f07d552) <hr> ## <i> Aufgabe 2.1 </i> ![](https://i.imgur.com/5bexyGC.jpg) [Logarithmus: Erklärungen und Beispiele](https://www.mathebibel.de/logarithmus) <br> ![](https://i.imgur.com/Igp1q2C.jpg) [Information zu Sinusfunktionen](http://stemue-web.de/LH_Sinusfunktion.pdf) <br> ![](https://i.imgur.com/QmO9SDN.jpg)