# ZK 2017 - Nachtermin A
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## Teil ohne Hilfsmittel (25%)

#### 1. 

Um diese Aufgabe lösen zu können muss man die ganzen Werte(also das ganze Geld was sie im Flohmarkt erhalten haben)addieren. Danach muss man das Ergebnis durch 4 teilen, weil das Geld durch 4 Personen geteilt wird. Als Endergebnis ergibt sich das Geld, dass jeder von den 4 Freunden gewonnen hat.
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#### 2.
Der Satz des Pythagoras muss erfüllt werden. a^2^+b^2^=c^2^ ,somit 3^2^+4^2^=5^2^ ✅
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/282d6d5f-c376-47f9-afcc-387db59df405)
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#### 3. 

Um diese Aufgabe zu lösen, muss man herausfinden zu wie viel der Volumen vergrößert wird. Dafür muss man wissen wie viel mal die Grundfläche und die Höhe vervielfacht wurde, so dass man durch Multiplikation der beiden das Volumen erhält. Gegeben wurde die Höhe(verdreifacht) und der Durchmesser(verdoppelt). Um die Grundfläche zu wissen muss man den Durchmesser verdoppeln, also ist die Grundfläche vervierfacht. Zuletzt muss man ==**Grundfläche**•**Höhe**== ausrechnen und man bekommt das Ergebnis.
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#### 4.
Um diese Aufgabe zu lösen, brauchen wir die ==**1.Binomische Formel**==.
(a+b)^2^=a^2^+2ab+b^2^ (auf dem Foto steht ^3^ , welches falsch ist, das richtige ist ^2^)
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](https://)
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/b56b4295-9123-4252-ae2a-0087e9aaf5c0)
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#### 5. 
Um diese Aufgabe zu lösen, muss man die verschiedenen Diagramme angucken und das passene zum Graph finden. Dafür kann man z.B die Kugeln mit einer 1 geteilt durch die gesamten Kugeln teilen, so dass sich die Warscheinlichkeit zur 1 ergibt.
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#### 6.
Um die Funktionsgleichung zu finden stellen wir die Werte ++negativ++.

Die Gleichung lautet:
f(x)=(-x^3^)
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/d2d8d646-60e3-496a-aa7c-c8b226b0b7d6)
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#### 7. 
Man muss ==$\sqrt[3]{8^4}$== lösen. Dafür muss man das Exponent aus der Wurzel rausholen, so dass es so aussieht:($\sqrt[3]{8}$)^4^. Danach zieht man die Wurzel in der Klammer und man erhält eine 2, also 2^4^. Zuletzt muss man 2^4^ ausrechnen, wobei 16 das Endergebnis ist.
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#### 8.
Um den Flächeninhalt auszurechnen Teilen wir die Form in einem Trapez und in einem Rechteck. Beide Ergebnisse werden addiert und so kriegt man das Endergebnis.
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/e2aa2807-aedc-454c-a2f5-6aaa6ed5bbc3)
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#### 9.
Für diese Aufgabe braucht man das Seitenverhältnis beider Dreiecke und den Satz des Pythagoras
==++Seitenverhältnis:++==
Man muss das Seitenverhältnis machen um **b** zu erhalten. :arrow_down:
==++Satz des Pythagoras:++==
Zunächst muss man den Satz des Pythagoras anwenden und dies ist :arrow_down:
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**a^2^+b^2^=c^2^**
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Man setzt die Werte des rechten Dreiecks ein und rechnet die Gleichung aus.
Als Ergebnis erhält man **10**.

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[Lösungsvideo zu 1,3,5,7,9](https://web.microsoftstream.com/video/4517e27f-1e93-484d-b73c-0b319c9d0556)
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## Teil mit Hilfsmittel (75%)
#### 1.1

**a)**
Für diese Aufgabe brauchen wir den **Kosinussatz**. In einen rechtwinkligen Dreieck können wir den Satz des Pythagoras benutzen, doch bei allgemeinen Dreiecken ist dieser nicht sehr hilfreich... Deshalb brauchen wir den sogenannten Kosinusstaz.
Ein allgemeines Dreieck sieht so aus:
Der ==Kosinussatz== lautet:
Dieser kann auch so aussehen, abhängig davon welche Seiten und Winkel in der Aufgabe gegeben sind:
Da wir aber bei dieser Aufgabe einen Winkel berechnen müssen, müssen wir zuerst den Kosinussatz nach Alpha umformen.
Jetzt können wir die Formel schon anwenden!
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[Lösungsvideo zu](https://web.microsoftstream.com/video/aa8ffd0d-0bb9-4746-be0c-cddbf2b09bf3)
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**b)**
Bei dieser Aufgabe brauchen wir wieder den **Kosinussatz**. Da wir die Diagonale f suchen, brauchen wir zuerst den Winkel Beta. In einem Parallelogramm ergänzen sich nebeneinanderliegende Winkel zu 180º. Deshalb benutzen wir diese Formel, um Beta auszurechnen: 180º - Alpha = Beta.
Unserer Dreieck sieht so aus:
Jetzt formen wir den Kosinusstaz um:
Nun können wir die neue Formel anwenden und die Aufgabe lösen!
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/a88b9f83-a75c-4f87-a697-8a05333fc91b)
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**c)**
In dieser Aufgabe müssen wir den Verhältnis des Volumens des Prismas und der Pyramide berechnen.
In jedem Viereck befindet sich ein anderes Viereck, das durch die Mittelpunkte der einzelnen Seiten gebildet wird. Dieser sieht wie ein Parallelogramm aus.
Die Blaue Fläche ist halb so groß wie die schwarze.
Dies kann man so beweisen:
Das Volumen wird folgendermaßen berechnet: ==**Grundfläche • Höhe**==.
Volumen Prisma: G • h
Eine Pyramide hat 1/3 mal so großen Volumen wie ein Prisma mit der gleichen Grundfläche.
Volumen Pyramide: 1/3 • G • h

Wir wissen also, dass die Pyramide 1/3-Mal so großen Volumen bezüglich zum Prisma hat und dass sie eine halb so große Grundfläche hat.
Es gilt also:
Volumen Pyramide: 1/2 • 1/3 • G • h

Das Verhältnis berechnen wir so:
Insgesamt hat die Pyramide ein Volumen, der 1/6-Mal so Groß wie das Volumen des Prismas ist.
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/f1a6d03e-fc52-4e6e-adb5-85cf40ac0ae5)
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#### 1.2

**a)**
Bei dieser Aufgabe müssen wir zwei Eigenschaften des Graphen erkennen.
Da der Graph durch den I. und III. Quadranten verläuft und eine Spiegelung mit einer Drehung von 180º aufweist, kann man sagen, dass dieser eine Punktsymmetrie hat.
==Punktsymmetrische Funktionen können so aussehen:==
Als zweite Eigenschaft können wir sagen, dass die Funktion des Graphes einen ungeraden und negativen Exponenten hat.

Wir müssen auch a und b rechnerisch bestimmen.
Wir suchen uns also zwei beliebige Punkte aus:
P( 1 | 4 ) und Q( 2 | 2 )

Den Punkt P setzen wir jetzt in unsere Funktion f(x)= ax^b ein.
4 = a • 1^b
4 = a

Jetzt haben wir einen neue Formel, und zwar: f(x)= 4 • x^b

Nun setzen wir den Punkt Q ein.
2 = 4 • 2^b | :4
0,5 = 2^b | logarithmieren
log 0,5 (2) = -1
b = -1

Der ==**Logarithmus**== funktioniert so:
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/b124337f-890c-4404-9016-71ce797f5475)
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**b)**
Bei dieser Aufgabe müssen die Schnittpunkte zwischen einer Hyperbel mit y = 4/x und eine Geraden mit y = mx + 2 berechnen, was schon im Video erklärt wurde.
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/0e9a3082-c81b-4759-b656-243f0a38ae1d)
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Wir müssen auch die Werte für m angeben, für welche es zwei Schnittpunkte gibt.
Die gegebene Formel lautet so:
Wenn die Lösung in der Wurzel positiv ist, dann hat diese 2 Lösungen, also zwei Schnittpunkte.
Wir setzen nun die Formel in der Wurzel gleich Null und lösen nach m aus.
Wenn wir also für m -1/4 einsetzen, ergibt die Lösung in der Wurzel 0. Wir müssen also für m Werte, die größer als -1/4 sind, einsetzen.
=> m > -1/4
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/20ecaebf-164f-48f5-9494-7c8fd36f5b3d)
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#### 1.3

Bei dieser Aufgabe benötigen wir ein **Wahrscheinlichkeitsschema**, welcher folgendermaßen funktioniert:
Wenn wir wissen, wie so ein Schema funktioniert, können wir unsere Aufgabe lösen. (Im Video wird die Aufgabe mit den entsprechenden Werten gelöst.)
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/4eeede02-0fef-4297-be0c-68e43bc6c0d6)
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#### 2.1

**a)**
Bei dieser Aufgabe muss man in die gegebenen ==Formel : K(x) = Ko • b^x==, die angegebenen Werte ( b= 0,999922 und Ko= 100%= 1) einsetzen und enthält somit K(1000m) = 100 • 0,999922^1000
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/5ad4660d-ca7d-4d2a-b85c-dd7764db8c18)
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**b)**
Bei dieser Aufgabe suchen wir, wann die Expotentialfunktion den Wert 50% hat also 0,5 und deswegen müssen wir hier **Logarithmieren**. Wir nehmen also den Logarithmus 0,999922 von 0,5 und erhalten somit x= 8,9 km
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/43cb88c9-8f8b-483d-b0e6-f4d3e60c87a8)
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**c)**
Bei dieser Aufgabe gehen wir exakt gleich vor wie in b). Wir Logarithmen mit unseren gegebenen Werten ( K(x)= 0,02 und dem Logarithmus von 0,999922) und erhalten x= 50152m , 50km
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/e58d4d8b-b0c8-454e-8081-868df74a337e)
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**d)**
Bei dieser Aufgabe berechnen wir den ==**Abnahmefaktor b**== für den Nebel aus. Wir haben die Werte der maximalen Sichtweite von 2km und aus c) haben wir Ko = 0,02 = 2%. Mit dem gegebenen Werten benutzen wir die Formel : x wurzel aus Kx durch K0 und stezen die Werte ein. Somit erhalten wir b= 0,99804
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/b5051997-328e-4c26-8a1b-9c64e6e2dd81)
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#### 2.2

**a)**
Bei dieser Aufgabe solltest du wissen, dass jede Tangente an einem Kreis auf dem Radius senkrecht steht. Da das verwendete Dreieck rechtwinklig ist, verwenden wir den ==Satz des Pythagoras: a^2^+b^2^=c^2^==. Also bei unserem Beispiel wäre das: R^2^+s^2^=(R+h)^2^. Der Satz des Pythagoras zeigt das Verhältnis zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Summe der quadrierten Katheten a und b ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse c.


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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/4fbf6442-c1f9-4518-be67-e6f7fa747255)
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**b)**
Bei dieser Aufgabe berechnen wir erstmal die maximale Sichtweite, indem wir in die gegebenen Formel (formel s= wurzel aus 2Rh + h^2) unsere gegebene Werte ( R= 6370 km und h= 1,70m + 100m = 101,7m = 0,1017 km ) einsetzen und somit s=35,9954km erhalten.
Jetzt setzen wir unsere Werte ( R= 6370 km und h= 1,70m + 100m = 101,7m = 0,1017 km ) in die gegebenen **Näherungsformel**: ( formel s= wurzel aus 2R • wurzel aus h) ein und erhalten s=35,9952km.
Da man in der Aufgabe wissen will, ob die Abweichung der Ergebnisse kleiner als ein Meter ist, subtrahiert man die beiden Endergebnisse und enthält 0,0002km = 2m.
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/5bf1cbc4-f882-4cc7-bea9-b92726f50e73)
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**c)**
Bei dieser Aufgabe wollen wir berechnen wie weit das Schiff von Marie entfernt ist. Dafür müssen wir erstmal das Schiff auf der Oberfläche ausrechnen und dann die Höhe des Schiffes.
Für das Schiff auf der Wasseroberfläche setzen wir unsere gegebenen Werte (R= 6270km und h= 0,0017km = 1,70m) in die gegebenen Formel ( formel s = wurzel aus 2 Rh plus h^2) ein und erhalten s=4,6538km.
Für die Höhe des Schiffes setzen wir unsere gegebenen Werte (R= 6270km und h= 0,5km = 50m) in die gegebenen Formel ( formel s = wurzel aus 2 Rh plus h^2) ein und erhalten s=25,2389km.
Um die gesamte Strecke zu erhalten addierten wir s1 und s2 zusammen und erhalten somit s=29,8927km.
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[Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/f548d99a-9454-43fd-a4b2-c7ef3e2e3d14)
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