# ZK 2016 Haupttermin B ## Teil 1 #### Ohne Hilfsmittel (25%) Aufgabe 1: Welchen Flächeninhalt hat das abgebildete Dreieck? --- Lsg= D ![](https://i.imgur.com/rHrd8ar.png) Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu Berechnen benutzt man die Formel A=$\frac{1}{2}$·a·b :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/marcel_maybaum_dsbarcelona_com/EaxH7ZGyAGtDldjq1SaSeKQBdNKa62R7q3jRQcXpE6RG3Q) ::: --- Aufgabe 2: Welche Zahl löst die Gleichung -5·(x+3)=15x+5 ? --- ![](https://i.imgur.com/gVFCjLc.png) A= -4 ==B= -1== C= 1 D= 4 E= 5 :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/marcel_maybaum_dsbarcelona_com/EXZd-dJ5SQVPq1zQK31roUQBzLnmjek8D8W7IYCG3jhoxQ) ::: --- Aufgabe 3: Welcher der folgenden Körper ist ein Prisma? --- ==Lsg= C== Prismen haben zwei zueinander parallele und kongruente Deckungsflächen. Die Grundflächen können beliebig viele Ecken haben. ![](https://i.imgur.com/9A2A2fB.jpg) :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/marcel_maybaum_dsbarcelona_com/Ed_MOt1n7CFPhHsT7iFoyvEB2rcuLZZQj0NJL4wrW0sDPA) ::: --- Aufgabe 4 --- Tom greift mit geschlossenen Augen in einen Beutel mit gleich großen Kugeln. Auf jeder Kugel steht ein anderer Buchstabe des gesamten Alphabets. Er möchte mit diesen Kugeln bzw. Buchstaben der Reihe nach seinen Namen schreiben. ==Er legt die Kugel jedes Mal wieder zurück.== Mit welcher Wahrscheinlichkeit schafft er das? :8ball: A= ![](https://i.imgur.com/CZRaxtu.png) B= ![](https://i.imgur.com/H5RR1Cm.png) C= ![](https://i.imgur.com/58XYp51.png) D= ![](https://i.imgur.com/dLvF6Eb.png) E= ![](https://i.imgur.com/ogTfTZ8.png) ++TOM++ hat drei Buchstaben also man muss die drei Buchstaben von den 26 finden. Im ersten Zug muss er ++T++ ziehen also $\frac{1}{26}$ dann legt er die Kugel wieder zurück und macht das gleiche mit der ++O++ und ++M++. ==Lsg= E== :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/marcel_maybaum_dsbarcelona_com/EfT3ag-utCtKvCd4MI89c_gBss82Qz1sGuJt1BP5pgjwgw) ::: ---- Aufgabe 5: Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt des abgebildeten Spielfeldes einschließlich der Halbkreise (in $m^{2}$)? --- ==A= 6000+900•π== ![](https://i.imgur.com/jN7Mdr3.png) Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen muss man die Kanten **a** und **b** miteinander multiplizieren. Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen muss man die Formel π•$r^{2}$ :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqTMHBx0mXQ6krFW1?e=luV9wZ) ::: --- Aufgabe 6 --- a) Lsg= 5,974•$10^{24}$kg b) Lsg= $x^{3}$•(1+$x^{-5}$) a) In der wissenschaftliche Schreibweise will man, dass die erste Ziffer einer sehr großen Zahl die Vorkommerstelle ist. Die Zehnerpotenz schreibt man als Faktor dahinter. Der Exponent dieser Potenz ist der Anzahl um die das Komma verschoben wurde. :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/Eaf1krfm7atEjyHIX8IzJxQBuaBvUpOq9xb-5JY4ZzLTLA) ::: b) Umformen in ein Produkt, mit 2 Faktoren bedeutet so viel wie faktorisieren oder auch ausklammern. Man benötigt auch die ++1 Potenzregel++: **a^m^ • a^n^ = a^m+n^** **a^m^ : a^n^ = $\frac{a^n}{a^m}$= a^m-n^** :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/Documents/Microsoft%20Teams%20Chat%20Files/RPReplay_Final1611428841.MP4) ::: Aufgabe 7 --- Lsg= 10•$2^{-x}$ Es handelt sich bei der exponentiellen Abnahme um einen Prozess, bei dem der Anfangsbestand immer halbiert wird. ![](https://i.imgur.com/5sFJY06.png) :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/EfcnCIz_9AdAvIc0U4aHN5YBTNarahYFg5UJypnu1R4D4A) ::: Aufgabe 8 --- a) ![](https://i.imgur.com/NBNx6om.png) Man muss identifizieren können, dass es sich um eine lineare Gleichung handelt. :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/ET3o6hd8BwdGo8-61iouStoBoy7lLcrxn1cXFwEBqJ7UBg) ::: b) Lsg= P(-10|-24) Q(12|20) Man muss die gegebenen Werte einfach in die Gleichung einsetzten. :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/:v:/g/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/EXJqpyn_d0lAtJO9DdrLzdIBKx73qF817W9exrayXFLasQ) ::: c) Lsg= y= -$\frac{1}{2}$x+3 Lineare Gleichungen sehen immer so aus: ==y=m•x+t== Hierbei ist **m** die Steigung und **t** der Punkt wo der Graph die y-Achse schneidet. :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/Documents/Microsoft%20Teams%20Chat%20Files/video-20210123-193940-c25a5ef0.mp4) ::: Aufgabe 9 --- Lsg= 2,67 Ein Rechteck hat 4 90° Winkel und es enthält 2 rechwinklige Dreiecke, dass heißt, dass man den Satz des Pythagoras nutzen muss (da es nur um Seiten geht). ==a^2^ + b^2^ = c^2^== Man benötigt auch die **2. Binomische- Formel** um (d-3)^2^ zu berechen. **2. Binomische-Formel**: ==(a-b)^2^ = a^2^-2ab+b== ![](https://i.imgur.com/W4MhC7r.jpg) :::info [Lösungsvideo](https://deutscheschulebarcelona-my.sharepoint.com/personal/luca_acosta_dsbarcelona_com/Documents/Microsoft%20Teams%20Chat%20Files/video-20210123-204049-fe18fd78.mp4) ::: --- ## Teil 2 #### mit Hilfsmittel (75%) ## Aufgabe 1.1 Gehen Sie davon aus, dass die Bevölkerung von China und Indien jeweils exponentiell wächst. Die Tabelle zeigt die Entwicklung der Bevölkerungszahlen von China und Indien (in Milliarden) im angegebenen Zeitraum. ![image alt](https://i.imgur.com/k5UX4fx.png) **a)** Im Zeitraum 1950-2000 betrug die durchschnittliche jährliche Zunahme für China 1,7%, für Indien 2,1%. Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Zunahme für China und für Indien im Zeitraum 2000-2013 (in Prozent). Interpretieren Sie die vier jährlichen Zunahmen. lsg: Hier für muss man sich die Zahlen der Jahren 2000 und 2013 anschauen und die Zeit die zwischen den beiden Jahren vergangen ist für beide Jahren. ( In dem Fall 13 Jahre) Dies muss man dann in eine Formel einsetzen. > * China: $\sqrt[13]{\frac{1350}{1280}}=1,0041=1,004$ 0,4% > * Indien: $\sqrt[13]{\frac{1252}{1042}}=1,014=1,014%$ > 1,4% :::info [Lösungsvideo für A ](https://web.microsoftstream.com/video/a9a77dd6-bafa-4a49-985b-9edc1781f31d) ::: **b)** Die Bevölkerungszahl Chinas nahm von 2013 bis 2014 um 3,51 Millionen zu. Die Bevölkerungszahl Indiens nahm im gleichen Zeitraum um 8,51 Millionen zu. Für China wird folgende Gleichung für das Bevölkerungswachstum ab 2013 angenommen: f(x) = 1,350- 1,0026. Erklären Sie den Wachstumsfaktor 1,0026. Geben Sie die Gleichung für das Bevölkerungswachstum in Indien an. Nehmen Sie an, dass sich die Wachstumsraten nicht ändern. Berechnen Sie, in welchem Jahr Indien mehr Einwohner als China haben wird. Lsg: Hier ist der Wachstumsfaktor gefragt. Hier muss man sich jetzt den Wachstum der Bevölkerung der Länder von 2013-2014 genauer anschauen. Die Bevölkerungszahl nahmen dort um 3,51/8,51 Millionen zu. Wie bei der bisherigen Aufgabe muss man wieder Zahlen in eine Formel einsetzen. Bei dieser Aufgabe muss man die Zunahme durch die Anzahl der Bevölkerung der jeweiligen Länder im Jahre 2013 machen. Sobald dies ausgerechnet wurde erhält man den Wachstumsfaktor. > * China: $\frac{3,51}{1350}$=$2,610^{-3}$ > * Indien: $\frac{8,51}{1252}$=$6,810^{-3}$ * China: f(x)= 1350·$1,0026^{x}$ * Indien: f(x)= 1252·$1,0068^{x}$ Nun müssen wir noch herausfinden in welchen Jahr indien mehr Einwohner haben wird als China bei gleichen Wachstumsfaktor. Hier für hab ich eine Gleichung gleichgesetzt: $\frac{1350}{1252}$=$\frac{1,0026}{1,0068}$$^{x}$ Um nun das Jahr herauszufinden müssen man das X berechen. Da er aber im Exponenten steht muss man Log von $\frac{1,0026}{1,0068}$·($\frac{1350}{1252}$) ausrechenen um das X zu isolieren. X= 18,028 Jetzt noch das Ergebnis zu 2013 addieren=2013+18,028≈2031 Im Jahre 2031 wird Indien mehr Einwohner als China haben. :::info [Lösungsvideo für B](https://web.microsoftstream.com/video/9a8b090e-a8d6-4484-b3f1-937f7f4d315e) ::: ## Aufgabe 1.2 Ein kegelförmiger Sandhaufen soll abtransportiert werden. Der Kegel hat eine Höhe von 2 m. Der Umfang der Grundfläche beträgt 22 m. Für Sand gilt: 1 cm? wiegt 1,69. **a)** Ein Lastwagen kann höchstens 3,5 t Sand transportieren. Ermitteln Sie, wie viele Fahrten mindestens notwendig sind. **b)** Damit der Sand bis zum Abtransport nicht nass wird, soll er mit einer Folie abgedeckt werden. · Berechnen Sie die Mantelfläche des kegelförmigen Sandhaufens. · Die Mantelfläche soll aus einer rechteckigen Folie hergestellt werden. Berechnen Sie, wie lang und wie breit das Rechteck mindestens sein muss. ![](https://i.imgur.com/NcS0snz.png) Lsg:Hier ist das Volumen gesucht. V=$\frac{1}{3}$·G·h U=2π·r G=π·r$^{2}$ 1cm$^{3}$=1,6g U=22m=2π·r |:2π $\frac{22m}{2π}$=r 3,5m=r G=π·r$^{2}$ G=π·3,5m$^{2}$ G=38,5m$^{2}$ V=$\frac{1}{3}$·38,5m·2m=25.67m$^{3}$ Das Ergebnis in cm$^{3}$ umwandeln. 25.67m$^{3}$·1000=2567000cm$^{3}$ 2567000cm$^{3}$·1,6g=4107000g $\frac{4107000g}{1000000}$=41.072T $\frac{41.072T}{3,5T}$≈11.73 Es sind ca. 12 Fahrten nötig. Nun wird die Mantelfläche gesucht. M=π·r·s s$^{2}$=h$^{2}$+r$^{2}$ s$^{2}$=2m$^{2}$+3,5m$^{2}$ s$^{2}$=16.25m$^{2}$ |√ s=$\sqrt16.25m$$^{2}$ s=4.03m M=π·3.5m·4.03m=44.31m$^{2}$ Kommen wir nun zu der letzten Aufgabe ![](https://i.imgur.com/pklKAV9.jpg) ![](https://i.imgur.com/ewg26aA.jpg) 2·4.03m=8.06m Das Rechteck muss mindestens eine Länge und Breite von 8.06m haben :::info [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/0ecd25d7-5338-45bb-8870-9609915b2410) ::: ## Aufgabe 1.3 Das Baumdiagramm gehört zu einem Spiel, bei dem zwei Glücksräder gedreht werden. Das eine Glücksrad hat einen schwarzen (S) und weißen (W) Sektor, das andere einen roten (R ), einen grünen (G) und einen blauen (B) Sektor. * Erklären Sie, dass gilt: P(G)=45%. * Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(S), P(W), P(R ) und P(B). * Zeichnen Sie die Glücksräder. ![](https://i.imgur.com/Kf0V3Vn.png) Lsg: Als erstes soll man erklären warum für P(G)=45% gilt. P(G)= P(S,G)+P(W,G) P(G)=0,18%+0,27%=0,45%=45% Bestimmung folgende Wahrscheinlichkeiten: P( S ),P( W) ,P( R ),P( B ) Nun eine Gleichung aufstellen um entweder P(S) oder P(W) herauszufinden. P(S)·(G)=P(S,G) P(S)·0,45=0,18 |:0,45 P(S)=0,4% P(W)=1-P(S)=1-0.4=0,6 P(W)=0,6% P(W)=P(W,R)+P(W,G)+P(W,B) 0,6=0,09+0,27+P(W,B) P(W,B)=0,09%+0,27%=0,24% P(W,B)=P(W)·P(B) 0,24=0,6·P(B) |:0,6 P(B)=0,4% P( R )= 1-P(B)-P(G) P( R )= 1-0,4-0,45=0,15 P( R )= 0,15% Schließlich muss man die Glücksräder zeichen. ![](https://i.imgur.com/PAJjmuc.jpg) P(W)=0,6%=60% P(S)=0,4%=40% Ein Kreis hat 360° Dreisatz anwenden um herauszufinden wie viel ° 40% entsprechen P(S)≙ 360° ≙ 100% X≙40% 40·360:100=144 P(S)=0,4%=40%≙144° 360°-144°=216° P(W)=0,6%=60%≙216° ![](https://i.imgur.com/runnhs0.jpg) P( R )=15%P(G)=45% P(B)=40%≙144° P(G)≙ 360° ≙ 100% X≙ 45% 45·360°:100=162° P(G)=45%≙162° 162°+144°=306° P( R )=15%≙360°-306°=54% :::info [Lösungsvideo](https://web.microsoftstream.com/video/39544510-d22a-4c73-b6c3-e6d5bbf37b39) ::: Aufgabe 2.1: --- Eine Firma stellt die Rahmen für ihre Fahrräder aus Aluminiumrohren her. Dabei hat der Teilrahmen ABCD die Form eines Trapezes. Es gilt: ++AB++=++BE++=580 mm, ++BC++ =590 mm. ![](https://i.imgur.com/OewAFh2.png) **a)** Berechnen Sie die Höhe h und die Länge von ++BF++. Berechnen Sie die Länge der Streben ++AD++ und ++CD++ des Teilrahmens. Du musst den Sinus, den Cosinus und den Tangens benutzen um die verschieden Längen zu berechnen. Mit dieser Formel :arrow_down: :::info sin (a) =$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ | | cos (a) =$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ | | tan (a) =$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ ::: + ++**Lösung**++ h= 564,22mm AD= 622mm CD= 145mm :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/u/s!Aoi70XPW85rQqTksM1CAZDwwXblW?e=Sa25QB) ::: **b)** Für ein Geländefahrrad wird zusätzlich eine Strebe zwischen C und E eingebaut. Berechnen Sie die Länge dieser Strebe. + ++**Lösung**++ Lsg= 1047mm Rechenweg: :::info [Lösungsvideo(Teil 1)](https://1drv.ms/u/s!Aoi70XPW85rQqTqJVTEM2td-DzxB?e=EnCdSy) ::: :::info [Lösungsvideo(Teil 2)](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqTuvm9gQXMoh09HQ?e=kgcWcq) ::: **c)** Ermitteln Sie das Gewicht des Rahmens. Verwenden Sie dazu folgende Angaben: - Gesamtlänge aller Teilstücke des Rahmens $I^{gesamt}$ = 4090 mm - Außendurchmesser der Rohre $d^{a}$= 50 mm, Innendurchmesser der Rohre $d^{¡}$= 44 mm - Dichte von Aluminium: ![](https://i.imgur.com/tQ0I8P6.png) + ++**Lösung**++ Lsg= 4,89kg Der Rahmen hat die Form eines Zylinders. :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqTxxmeA-u3C5wmDX?e=psPgRb) ::: Aufgabe 2.2 --- **a)** Nina und Maike veranstalten ein Fahrradrennen. Da Maike kein Rennrad besitzt, darf sie um 10:30 Uhr starten, d.h. 10 Minuten früher als Nina. Maike fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 24 km/h, Nina mit 30 km/h. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Gleichung, um welche Uhrzeit Nina Maike erreicht hat. ++Lösungsweg:++ Maike: y=24x Nina: y=30x+b von Nina ist folgender Punkt bekannt:($\frac{1}{6}$/0) ++einsetzen:++ 0=30·$\frac{1}{6}$+b 0=5+b b=-5 => y=30x-5 ++Sie treffen sich:++ 24x=30x-5 5=6x $\frac{5}{6}$=x => $\frac{5}{6}$ sind 50 Minuten. Sie treffen sich um 11:20Uhr **++Lösung:++** 11:20Uhr :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqT0c_goAU5YyXzH5?e=aBPjG0) ::: **b)** Nina fährt in einer Wohngegend mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h, obwohl nur eine Geschwindigkeit von 30 km/h erlaubt ist. Unerwartet fährt ein Auto aus einer Garage auf die Straße. Ihr Abstand zu diesem Auto beträgt 30m. Nina bremst. Der Anhaltsweg wird wie folgt berechnet:![](https://i.imgur.com/q6u2AMb.png) ++v++ ist die Maßzahl der in km/h gemessenen Geschwindigkeit und w(v) ist die Maßzahl des in Metern gemessenen Anhaltewegs. + Ermitteln Sie, ob sie noch rechtzeitig vor dem Auto anhalten kann. + Bestimmen Sie, um wieviel Prozent ihr Anhalteweg länger ist als bei erlaubter Geschwindigkeit. :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqT0c_goAU5YyXzH5?e=nxLUJL) ::: ++Lösungsweg:++ **c)** Nina möchte an ihrem 16. Geburtstag am 1.6.2016 an einem Radrennen teilnehmen. Sie hat davon gehört, dass es einen Biorhythmus für den Körper gibt. Diesen Biorhythmus kann man durch eine Sinusfunktion f mit f(x)=sin(b-x) ermitteln. Dabei ist x die Zeit inTagen seit der Geburt. Die Periodendauer beträgt 23 Tage. Der größte Wert für den Biorhythmus ist 1 und bedeutet, dass man optimal fit ist. + Zeigen Sie, dass von Ninas Geburt bis zu ihrem 16. Geburtstag 5844 Tage vergangen sind. + Berechnen Sie den Wert für Ninas Biorhythmus an ihrem 16. Geburtstag. + Bestimmen Sie, wie viele Tage nach ihrem 16. Geburtstag Nina zum ersten Mal wieder optimal fit ist. ++Lösungsweg:++ 16 Jahre + 4 Schalttage Dauer= 16*365+3= 5844 Tage Dauer einer Periode: 23d => b=$\frac{2Π}{T}$ = $\frac{2Π}{23}$ => f(x) = sin($\frac{2Π}{23}$*x) f(5844) = 0,519 = 0,52 Ihr 16 Geburtstag ist $\frac{5844}{23}$ =254 $\frac{2}{23}$ Perioden nach ihrem Geburtstag. Also ist sie am 2. Tag nach Anfang einer Periode. Ihre Hochphase hat sich nach 5,75 Tagen. Je nach dem, wann sie geboren ist, sind das dann 3 oder 4 Tage nach dem 16. Geburtstag. :::info [Lösungsvideo](https://1drv.ms/v/s!Aoi70XPW85rQqT7DTNI2ykmihH0h?e=5uXzny) :::