c.資料科學 - 線性代數

# c.資料科學 - 線性代數 ###### tags: `Data Sicnce From Scratch` ## 1.向量 Vector * **向量(vector)** > **#向量:即是一個"浮點數列表"** ```python=+ from typing import List Vector = List[float] height_weight_age = [70,170,40] #向量:[英吋,磅,年齡] grades = [95,80,75,62] #向量:[第一次考試成績,第二次...,...] ``` # * **兩個向量相加 - add** ```python=+ def add(v:Vector, w:Vector) -> Vector: """相應元素相加""" assert len(v) == len(w),"兩個向量必須具有相同的維度" #用zip把兩個向量壓合起來，並利用解析式列表把相應元素相加起來 #就可以輕易達到向量相加的效果 return [v_i + w_i for v_i,w_i in zip(v,w)] assert add([1,2,3],[4,5,6]) == [5,7,9] print("[1,2,3] + [4,5,6] =",add([1,2,3],[4,5,6])) ``` > ```[1,2,3] + [4,5,6] = [5, 7, 9]``` # * **兩個向量相減 - subtract** ```python=+ def subtract(v:Vector , w:Vector) -> Vector: """相應元素相減""" assert len(v) == len(w),"兩個向量必須具有相同的維度" return [v_i - w_i for v_i,w_i in zip(v,w)] assert subtract([5,7,9],[4,5,6]) == [1,2,3] print("[5,7,9] - [4,5,6] =",subtract([5,7,9],[4,5,6])) ``` > ```[5,7,9] - [4,5,6] = [1, 2, 3]``` ## * **向量列表內所有向量相加 - vector_sum** ```python=+ """針對向量列表，把其中所有的向量相加起來，也就是說最後要創建出一個新向量""" def vector_sum(vectors:List[Vector]) -> Vector: """所有相應元素相加""" #先檢查一下 vectors 這個向量列表不是空的 assert vectors,"列表中沒有向量" #檢查 vectors 列表中的向量全部具有相同的維度 num_elements = len(vectors[0]) assert all(len(v) == num_elements for v in vectors),"向量維度不一致!" #所有 vector[i] 相加起來,就是結果的第i個元素值 return [sum(vector[i] for vector in vectors) for i in range(num_elements)] assert vector_sum([[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]]) == [16,20] print("[1+3+5+7, 2+4+6+8] =",vector_sum([[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]])) ``` > ```[1+3+5+7, 2+4+6+8] = [16, 20]``` ## * **向量共同乘以一個純量 - scalar_multiply** ```python=+ """讓所有向量乘以一個純量""" def scalar_multiply(c:float ,v:Vector) -> Vector: """每一個元素都乘以c""" return [c * v_i for v_i in v] assert scalar_multiply(2,[1,2,3]) == [2,4,6] print("2 * [1,2,3] =",scalar_multiply(2,[1,2,3])) ``` > ```2 * [1,2,3] = [2, 4, 6]``` ## * **計算向量列表內所有向量(維度相同)各元素的平均值 - vector_mean** ```python=+ def vector_mean(vectors : List[Vector]) -> Vector: """計算每個元素的平均值""" n = len(vectors) return scalar_multiply(1/n , vector_sum(vectors)) assert vector_mean([[1,2],[3,4],[5,6]]) == [3,4] print("[(1+3+5)/3, (2+4+6)/3] =",vector_mean([[1,2],[3,4],[5,6]])) ``` > ```[(1+3+5)/3, (2+4+6)/3] = [3.0, 4.0]``` ## * **兩個向量的點積 - dot** ```python=+ """計算兩個向量的點積""" def dot(v:Vector, w:Vector) -> float: """計算 v_1 * w_1 + ... + v_n * w_n""" assert len(v) == len(w),"兩個向量必須具有相同的維度" return sum(v_i * w_i for v_i,w_i in zip(v,w)) assert dot([1,2,3],[4,5,6]) == 32 print("(1*4) + (2*5) + (3*6) =",dot([1,2,3],[4,5,6])) ``` > ```(1*4) + (2*5) + (3*6) = 32``` ## * **單一向量的平方和 - sum_of_squares** ```python=+ """透過點積運算，可以輕鬆計算出向量元素的平方和""" def sum_of_squares(v:Vector) -> float: """送回 v_1 * v_1 + ... + v_n * v_n""" return dot(v,v) assert sum_of_squares([1,2,3]) == 14 print("1*1 + 2*2 + 3*3 =",sum_of_squares([1,2,3])) ``` > ```1*1 + 2*2 + 3*3 = 14``` ## * **單一向量的長度(大小) - magnitude** ```python=+ import math def magnitude(v:Vector) -> float: """送回 v 的長度(或大小)""" #a^2 = 根號(b^2 + c^2) return math.sqrt(sum_of_squares(v)) #sqrt是一個計算平方根的函式 assert magnitude([3,4]) == 5 print("sqrt(3*3 + 4*4) =",magnitude([3,4])) ``` > ```sqrt(3*3 + 4*4) = 5.0``` ## * **計算兩個向量間的距離 - distance** ```python=+ def squared_distance(v:Vector,w:Vector) -> float: """計算 (v_1 - w_1) ** 2 + ... + (v_2 - w_2) ** 2""" return sum_of_squares(subtract(v,w)) def distance(v:Vector, w:Vector) -> float: """計算v和w之間的距離""" return math.sqrt(squared_distance(v,w)) ``` ## * **(續)計算兩個向量間的距離 - distance** ```python=+ """如果寫成下面的樣子會比較好""" def distance(v:Vector ,w:Vector) -> float: """等價的作法""" return magnitude(subtract(v,w)) ``` ## 2.矩陣 Matrix * **矩陣(matrix)** > **#矩陣：由多個"向量"所組成** ```python=+ #這又是另一個型別別名 Matrix = List[List[float]] #通常用列表的列表(list of list)來表示 A = [[1,2,3],[4,5,6]] B = [[1,2],[3,4],[5,6]] ``` ## * **矩陣的形狀 - shape** ```python=+ from typing import Tuple def shape(A:Matrix) -> Tuple[int,int]: """送回A的 (橫行數量,縱列數量)""" num_rows = len(A) num_cols = len(A[0]) if A else 0 #第一橫行的元素數量 return num_rows,num_cols assert shape([[1,2,3],[4,5,6]]) == (2,3) #2橫行，3縱列 print(shape([[1,2,3],[4,5,6]])) ``` > ```(2, 3)``` ## * **取得矩陣內特定向量 - get_row、get_column** ```python=+ def get_row(A:Matrix, i:int) -> Vector: """送回 A 的第i行 (結果是一個 Vector 向量)""" return A[i] def get_column(A:Matrix, j:int) -> Vector: """送回A的第j列 (結果是一個 Vector 向量)""" return [A_i[j] for A_i in A] ``` ## * **生成矩陣 - make_matrix** ```python=+ """根據矩陣形狀，再加上一個能生成矩陣元素的函式，來創造出一個矩陣""" from typing import Callable def make_matrix(num_rows : int, num_cols : int, entry_fn : Callable[[int,int],float]) -> Matrix: """ 送回第一個 num_rows x num_cols 的矩陣其中第(i,j)項就是 entry_fn(i,j) """ return [[entry_fn(i,j) #只要給定i，就建立一個長度為j的列表 for j in range(num_cols)] #[entry_fn(i,0),...] for i in range(num_rows)] #針對每個i都建立一個列表 ``` ## * **(續)生成矩陣 - make_matrix** ```python=+ """有了這個函式，你就可以輕易建立一個5*5的單位矩陣(對角元素都是1，其餘元素都是0)""" def identity_matrix(n :int) -> Matrix: """送回一個 n * n 的單位矩陣""" return make_matrix(n,n, lambda i,j : 1 if i == j else 0) assert identity_matrix(5) == [[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0], [0,0,0,1,0], [0,0,0,0,1]] print("identity_matrix(5) =",identity_matrix(5)) ``` > ```identity_matrix(5) = [[1, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]]``` ## > **#矩陣非常重要，理由有好幾個...不告訴你，請自行體會~=OwO=~** ## 時間戳記 > [name=ZEOxO][time=Sat, Nov 28 2020 15:10 PM][color=#907bf7]