# 四面體中二面角的餘弦定理
###### tags: `高中數學`

:::spoiler {state="open"} 本文架構
[toc]
:::

## 0. 閱讀內文前的注意事項
:::danger
如果你的chrome有安裝 Latex 的擴充功能 ( TeX All the Things )，請先關閉它，否則下面有些數學式會失效。
:::

## 1. 摘要
本文先簡單回顧三角形的餘弦定理，隨後提出四面體中兩面角的公式，此公式的形式與三角形中的餘弦定理相似，並且給出兩個不同面相切入的證明。

## 2. 三角形中，角度的餘弦定理
<center>

</center>

#### ++**定理**++ (餘弦定理)
:::success

<font color=black>

$\Delta ABC$ 中，若 $\overline{BC}=a, \overline{CA}=b, \overline{AB}=c$，則
\begin{equation}
\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
\end{equation}
</font>
:::

## 3. 四面體中，二面角的餘弦定理
<center>

</center>

++**符號**++
:::info
<font color=black>

$a\Delta ABC$ 表示 $\Delta ABC$ 的面積。
</font>
:::

$\newcommand{\v}{\overrightarrow}$

#### ++**定理**++ (四面體中二面角的餘弦定理)
:::success
<font color=black>

如上圖所示，四面體$ABCD$ 中，若 $\Delta BCD$ 與 $\Delta ACD$ 的兩面角為 $\theta$，則
\begin{align}
\cos \theta
&= \frac
{|\v{CA} \times\v{CD}|^2 + |\v{CB} \times \v{CD}|^2 -
|\v{AB} \times \v{CD}|^2}
{2 \times |\v{CA} \times\v{CD}| \times |\v{CB} \times \v{CD}|} \\
&= \frac
{(a\Delta BCD)^2 + (a\Delta ACD)^2 -
(\frac{1}{2}|\v{AB}\times\v{CD}|)^2}
{2 \times a\Delta BCD \times a\Delta ACD} .
\end{align}
</font>
> 註1：$\frac{1}{2}|\v{AB}\times\v{CD}|$ 為 $\v{AB}$ 和 $\v{CD}$ 所圍成的三角形面積。
> 註2：第一、二式之間的轉換，只是面積與外積長之間的轉換並做一些約分即可。
:::

#### ++**證明**++ **<法一：用向量切入>**
<div style="float:left;width:60%;">

由兩平面夾角和法向量夾角之間的關係，且搭配內積公式，可知
\begin{equation}
\cos \theta =
\frac
{(\v{CA} \times \v{CD}) \cdot (\v{CB} \times \v{CD})}
{|\v{CA} \times\v{CD}| \, |\v{CB} \times \v{CD}|}.
\end{equation}
</div>
<div style="float:right;width:30%;">
<img src="https://i.imgur.com/N3455Yp.png">
</div>
<div style="clear:both;"></div>

++Claim++ $\small{ (\v{CA} \times \v{CD}) \cdot (\v{CB} \times \v{CD}) = \displaystyle \frac{1}{2}(|\v{CA} \times\v{CD}|^2+|\v{CB} \times \v{CD}|^2 -|\v{AB} \times \v{CD}|^2) }$

> $\small{(\v{CA}\times\v{CD})\cdot(\v{CB}\times\v{CD})}$
> $\small{=(\v{CA}\times\v{CD})\cdot((\v{CA}+\v{AB})\times\v{CD})}$
> $\small{=(\v{CA}\times\v{CD})\cdot((\v{CA}\times\v{CD})+(\v{AB}\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2+(\v{CA}\times\v{CD})\cdot(\v{AB}\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2+((\v{CB}+\v{BA})\times\v{CD})\cdot(\v{AB}\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2-|\v{AB}\times\v{CD}|^2+(\v{CB}\times\v{CD})\cdot(\v{AB}\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2-|\v{AB}\times\v{CD}|^2+(\v{CB}\times\v{CD})\cdot((\v{AC}+\v{CB})\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2-|\v{AB}\times\v{CD}|^2+|\v{CB}\times\v{CD}|^2+(\v{CB}\times\v{CD})\cdot(\v{AC}\times\v{CD})}$
> $\small{=|\v{CA}\times\v{CD}|^2-|\v{AB}\times\v{CD}|^2+|\v{CB}\times\v{CD}|^2-(\v{CB}\times\v{CD})\cdot(\v{CA}\times\v{CD})}$
> $\small{\Rightarrow} \ 2\,(\v{CA}\times\v{CD})\cdot(\v{CB}\times\v{CD})=|\v{CA} \times\v{CD}|^2+|\v{CB} \times \v{CD}|^2 -|\v{AB} \times \v{CD}|^2$ --- Claim 成立

因此，我們可以得到
\begin{equation}
\cos \theta
= \frac
{(\v{CA} \times \v{CD}) \cdot (\v{CB} \times \v{CD})}
{|\v{CA} \times\v{CD}| \, |\v{CB} \times \v{CD}|}
= \frac
{|\v{CA} \times\v{CD}|^2 + |\v{CB} \times \v{CD}|^2 -
|\v{AB} \times \v{CD}|^2}
{2 \times |\v{CA} \times\v{CD}| \times |\v{CB} \times \v{CD}|}.
\end{equation}

<div style="float:right;">

$\square\square$
</div>
<div style="clear:both;"></div>

#### ++**證明**++ **<法二：用三角形的餘弦定理切入>**

<div style="float:left;width:65%;">

設 $A$ 到 $\overline{CD}$ 的垂足點為 $F$，$B$ 到 $\overline{CD}$ 的垂足點為 $G$。

令 $E$ 滿足 $\overline{EA}$ 平行 $\overline{CD}$ 且 $\overline{EG}$ 垂直 $\overline{CD}$。

此時 $\overline{BG}$ 和 $\overline{EG}$ 的夾角及為兩面角 $\theta$。

設 $\overline{BG}=h_1, \overline{AF}=\overline{EG}=h_2, \overline{BE}=k$。
</div>
<div style="float:right;width:35%;">
<img src="https://i.imgur.com/KuwnbDV.png">
</div>
<div style="clear:both;"></div>

由三角形的餘弦公式和簡單的擴分，可得
\begin{equation}
\cos \theta
= \frac{h_1^2 + h_2^2 - k^2}{2h_1h_2}
= \frac
{(\frac{1}{2}\ell h_1)^2 + (\frac{1}{2}\ell h_2)^2 -
(\frac{1}{2}\ell k)^2}
{2(\frac{1}{2}\ell h_1)(\frac{1}{2}\ell h_2)}
\end{equation}

++Claim++ $\small{|\v{AB} \times \v{CD}|} = \ell \times k$
> $\small{|\v{AB} \times \v{CD}|}$
> $\small{=|(\v{AE}+\v{EB}) \times \v{CD}|}$
> $\small{=|\v{AE}\times \v{CD} + \v{EB} \times \v{CD}|}$
> $\small{=|\quad\,\,\, \v{0} \quad\,\,\, + \v{EB} \times \v{CD}|} \qquad$ (註：$\small{\v{AE}}$ 和 $\small{\v{CD}}$ 平行)
> $\small{=|\v{EB}| |\v{CD}|}\sin 90^\circ$
> $\small{=} \, k \times \ell$ --- Claim 成立

因此，我們可以得到
\begin{equation}
\cos \theta
= \frac
{(\frac{1}{2}\ell h_1)^2 + (\frac{1}{2}\ell h_2)^2 -
(\frac{1}{2}\ell k)^2}
{2(\frac{1}{2}\ell h_1)(\frac{1}{2}\ell h_2)}
= \frac
{(a\Delta BCD)^2 + (a\Delta ACD)^2 -
(\frac{1}{2}|\v{AB}\times\v{CD}|)^2}
{2 \times a\Delta BCD \times a\Delta ACD}
\end{equation}

<div style="float:right;">

$\square\square$
</div>
<div style="clear:both;"></div>