生物藥劑口服篇：用AUC能不能推出藥物吸收量？
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我們要幹嘛？
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~~標題有寫(不是)~~
一個口服藥物吃進去，身體會先在消化系統吸收它，再排除掉。所以你可能會想問：這個藥被吸收進去多少了？
這篇就來推導特定條件下(什麼條件之後會講)能算出藥物吸收量的Wagner-Nelson method...

定義
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* $C(t)$：時間為 $t$ 時的藥物濃度。
* AUC：曲線下面積(Area Under Curve)，指的是藥物濃度-時間圖裡面濃度曲線的面積，定義為$\int_{}C(t)dt$。如果你有特別要求是要特定時間範圍內的AUC(像$t_1$到$t_2$之間)，用定積分表示是這樣：$\int_{t_1}^{t_2}C(t)dt$，**因為我很懶**，所以我把這表示成$[AUC]^{t_2}_{t_1}$。
* $k$：身體排除藥物的速率常數。
* $k_a$：身體吸收藥物的速率常數。
* $F$：你吃進去的藥有多少比例是真的有被吸收進去的。
* $D$：被你吃進去的藥物量。
* $V$：藥物在你體內的分布體積。
* $CL$：清除率，定義是$kV$。

假設
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* 吸收跟排除都符合**線性、一階次**的藥物動力學。
很廢我懂，因為這科**完全沒可能**要你硬算非線性藥動(M-M方程，它其實是一階次的推廣版本，特定條件下它會變成一階次)，也不會出現一階次以上的排除或吸收ㄏㄏ，但嚴謹一點，還是寫一下。

藥物吸收量怎麼定義出來的？
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我們先把排除的部分丟在廁所不理它，因為吸收量只跟吸收過程有關，你身體怎麼把藥物排除的不太影響你身體怎麼吸收它。
所以我們來單看吸收的部分：
$\overbrace{\frac{dC}{dt}}^{藥物在消化道的濃度變化}=-k_a\overbrace{C}^{藥物在消化道的濃度}$
藥物在消化道的濃度變化，就是吸收速度！
覺不覺得跟一階排除的式子很像？它其實就是另一種一階「排除」，只是一般的一階排除把藥從器官或血液裡排到體外，這裡是把藥從消化道排到血液裡去。
一般的一階排除裡，你計算有多少的藥已經被你排掉了，會用到這個式子：
$\overbrace{D}^{你一開始吃了多少藥}-\overbrace{De^{-kt}}^{
現在血液裡還有多少藥}=你排掉的藥量$
然後：
$D-De^{-kt}=D\overbrace{(1-e^{-kt})}^{你排掉的藥物比例}$
現在把它類比到吸收的情況：
$\overbrace{D}^{你一開始吃了多少藥}-\overbrace{De^{-k_at}}^{
現在消化道裡還有多少藥}=你吸收的藥量$
所以$1-e^{-k_at}$就是你吸收的藥物，佔你吃的藥物的比例！

啊？所以已經知道吸收比例了，那Wagner-Nelson method是在？
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$1-e^{-k_at}$
你仔細看著上面這個西八老罵，你會發現如果你手上沒有 $k_a$ 的值，完全是沒辦法算吸收比例出來。
所以Wagner-Nelson method就是在解決這問題。前面屁話這麼多，AUC終於要派上用場了...

Wagner-Nelson method是啥？
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這個方法告訴你，只要你有$C(t)$、$[AUC]^{t}_{0}$、$[AUC]^{\infty}_{0}$跟$k$，你就能推出口服藥物的吸收比例了！
聽起來很魔幻，但最魔幻的是它的式子：
$吸收比例=\frac{C(t)+k[AUC]^{t}_{0}}{k[AUC]^{\infty}_{0}}$
這三小沒看懂...
沒事的，馬上證明給你看那一坨大的會是吸收比例。

Wagner-Nelson method的證明：暴力破解法
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我們知道吸收比例是$1-e^{-k_at}$
所以我們要證明$1-e^{-k_at}=\frac{C(t)+k[AUC]^{t}_{0}}{k[AUC]^{\infty}_{0}}$。
第一步，要先知道 $C(t)$、$[AUC]^{t}_{0}$、$[AUC]^{\infty}_{0}$ 這三個基八人是啥？
於是召喚Bateman function！(這東西原本是用來解流體力學的微分方程，但畢竟生物藥劑也都是微分方程嘛，總會有用到的地方)
$C(t)=\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(e^{-kt}-e^{-k_at})$
現在濃度知道了，換AUC。
$[AUC]^{t}_{0}=\int_{0}^{t}C(t)dt=\int_{0}^{t}\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(e^{-kt}-e^{-k_at})dt=\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{e^{-k_at}}{k_a}-\frac{e^{-kt}}{k})\vert^t_0$
而這會等於
$\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{e^{-k_at}}{k_a}-\frac{e^{-kt}}{k})-\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{1}{k_a}-\frac{1}{k})$
化簡一下：
$\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}}{k_ak})-\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{k-k_a}{k_ak})=\frac{FD}{V(k_a-k)}(\frac{ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}}{k})+\frac{FD}{Vk}$
所以
$[AUC]^{t}_{0}=\frac{FD}{V(k_a-k)}(\frac{ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}}{k})+\frac{FD}{Vk}$
$[AUC]^{\infty}_{0}=\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(\frac{e^{-k_at}}{k_a}-\frac{e^{-kt}}{k})\vert^\infty_0=\frac{FD}{Vk}$
**最可怕的來了**，把所有的東西都代進去吸收比例的公式...
$\frac{C(t)+k[AUC]^{t}_{0}}{k[AUC]^{\infty}_{0}}=\frac{\frac{FDk_a}{V(k_a-k)}(e^{-kt}-e^{-k_at})+\frac{FD}{V(k_a-k)}({ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}})+\frac{FD}{V}}{\frac{FD}{V}}$
這一坨分子分母同除$\frac{FD}{V}$，再化簡一下會等於：
$1+\frac{k_a}{(k_a-k)}(e^{-kt}-e^{-k_at})+\frac{1}{(k_a-k)}({ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}})$
你發現了什麼？好多東西可以消掉欸...
$1+\frac{k_ae^{-kt}-k_ae^{-k_at}+ke^{-k_at}-k_ae^{-kt}}{(k_a-k)}=1+\frac{(k-k_a)e^{-k_at}}{k_a-k}$
你只需要把分母那邊的$k_a-k$消掉...
$1+\frac{(k-k_a)e^{-k_at}}{k_a-k}=1-e^{-k_at}$

**啊？哇操，這傢伙就是吸收比例沒錯！**

Wagner-Nelson method的證明：比較直觀的方法(推薦你看)
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看完上面你應該入土了，我也是出殯完了，所以這裡介紹個沒那麼死人的證明方法，從物理意義出發。
我們知道藥物吸收比例是$\frac{被吸收的藥量}{你吃進去的藥量}$，所以先從被吸收的藥量下手...
$被吸收的藥量=還在你血中的藥量+已經被排掉的藥量$
還在你血中的藥量是啥？就是$C(t)$乘上$V$啦哈哈
已經被排掉的藥量是啥？我們知道$CL=\frac{時間 t 的時候被排出去的藥量}{[AUC]^{t}_{0}}$，那它就是$CL*[AUC]^{t}_{0}$
你吃進去的藥量是啥？它等於時間無限大時被排掉的藥量，所以其實就等於$CL*[AUC]^{\infty}_{0}$
所以$吸收比例=\frac{被吸收的藥量}{你吃進去的藥量}=\frac{C(t)V+CL[AUC]^{t}_{0}}{CL[AUC]^{\infty}_{0}}$
上面有說$CL=kV$，於是式子變成：
$\frac{C(t)V+kV[AUC]^{t}_{0}}{kV[AUC]^{\infty}_{0}}$
上下同除$V$：
$\frac{C(t)+k[AUC]^{t}_{0}}{k[AUC]^{\infty}_{0}}$

**啊？它就是Wagner-Nelson method的那串式子...**

結論
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回到標題問的東西：用AUC能不能推出藥物吸收量？
答案是非常可以，但直接算$\frac{[AUC]^{t}_{0}}{[AUC]^{\infty}_{0}}$只會得到**被排除藥量佔你吃進去藥量的比例**，還要再加上**血中藥量佔你吃進去藥量的比例**($\frac{C(t)}{k[AUC]^{\infty}_{0}}$)才是藥物吸收量，畢竟**你吸收進去的藥量不會被馬上全排掉，有些還在血裡面！**

感謝你看到這裡，~~希望你看完暴力破解法不要打我~~