形式冪級數

目錄

• 形式冪級數
  • 形式冪級數
    • 基本定義
    • 合成有結合律

形式冪級數

基本定義

交換環

$R$ 上的形式冪級數（formal power series）就是

$R$ 上的無窮序列

$A=(a_0,a_1,\dots )$。
我們形式上將它寫成

$$A(x)=\sum _{k\ge 0}{a}_k{x}^k$$
其中

$a_k$ 稱為係數（coefficients），而

$x^k$ 為不定元（indeterminate）

$x$ 的形式冪。

要注意這個寫法只是「形式」上寫成冪級數，我們只不過是把序列類比成冪級數的形式來操作，但並不在乎這個級數是否收斂。

對於形式冪級數

$A(x)=\sum _k{a}_k{x}^k$，我們稱

$a_0$ 為

$A(x)$ 的常數項。
如果有整數

$m$ 使得對於

$k>m$ 都有

$a_k=0$，則

$A(x)$ 就稱為多項式（polynomial）。

交換環

$R$ 上的所有形式冪級數構成另一個交換環，記為

$R[[x]]$，並配備有下列加法與乘法運算：

• $(\sum _k{a}_k{x}^k)+(\sum _k{b}_k{x}^k):=\sum _k(a_k+b_k)x^k$,
• $(\sum _k{a}_k{x}^k)\cdot (\sum _k{b}_k{x}^k):=\sum _k(\sum _{j=0}^k{a}_j{b}_{k-j})x^k$,

後面的乘法有時被稱為柯西乘積（Cauchy product）或離散捲積（discrete convolution）。

對於形式冪級數

$A(x)=\sum _k{a}_k{x}^k$ 與

$B(x)=\sum _k{b}_k{x}^k$，它們的合成

$A(B(x))$ 或

$(A\circ B)(x)$ 定義為

$$A(B(x)):=\sum _{k\ge 0}{a}_k(B(x){)}^k.$$
當

$b_0=0$ 或

$A(x)$ 是多項式時，這個合成是定義良好的。

令

$[x^n]$ 為係數提取算子（coefficient extraction operator）並定義為

$$[x^n](\sum _{k\ge 0}{a}_k{x}^k):=a_n.$$

合成有結合律

這整段都是為了證明結合律……

下面的符號定義不是常見的寫法，是這篇筆記為了推論方便而自創的。

對於形式冪級數

$A(x)=\sum _n{a}_n{x}^n$，我們令

$$A_k^m:=[x^k](A(x){)}^m,$$
也就是說

$A_k^m=\sum _{n_1+\cdots +n_m=k}\prod _{i=1}^m{a}_{n_i}$。

按照乘法的定義，我們有

$(A\cdot B{)}_n^1=\sum _k{A}_k^1{B}_{n-k}^1$。
而由於

$R[[x]]$ 是一個交換環，我們進一步有

$$\begin{array}{rl}(A\cdot B{)}_n^m& =\sum _k{A}_k^m{B}_{n-k}^m,\\ A_n^{m_1+m_2}& =\sum _k{A}_k^{m_1}{A}_{n-k}^{m_2}.\end{array}$$

另一方面根據合成的定義，我們有

$(A\circ B{)}_n^1=\sum _k{A}_k^1{B}_n^k$。
更進一步，我們有以下的定理：

對於形式冪級數

$A(x)=\sum _k{a}_k{x}^k$ 與

$B(x)=\sum _k{b}_k{x}^k$，我們有

$$(A\circ B{)}_n^m=\sum _k{A}_k^m{B}_n^k.$$

在

$m$ 上做歸納法：

$$\begin{array}{rl}& (A\circ B{)}_n^{m+1}\\ & =((A\circ B{)}^m\cdot (A\circ B){)}_n^1\\ & =\sum _{\ell }(A\circ B{)}_{\ell }^m(A\circ B{)}_{n-\ell }^1\\ & =\sum _{\ell }(\sum _i{A}_i^m{B}_{\ell }^i)(\sum _j{A}_j^1{B}_{n-\ell }^j)\\ & =\sum _{\ell }\sum _i\sum _j{A}_i^m{A}_j^1{B}_{\ell }^i{B}_{n-\ell }^j\\ & =\sum _i\sum _j{A}_i^m{A}_j^1(\sum _{\ell }{B}_{\ell }^i{B}_{n-\ell }^j)\\ & =\sum _i\sum _j{A}_i^m{A}_j^1{B}_n^{i+j}\\ & =\sum _k(\sum _{i+j=k}{A}_i^m{A}_j^1)B_n^k\\ & =\sum _k{A}_k^{m+1}{B}_n^k.\end{array}$$

形式冪級數的合成運算有結合律。

令

$A(x)$,

$B(x)$,

$C(x)$ 為形式冪級數。
則我們有

$$\begin{array}{rl}((A\circ B)\circ C{)}_k^m& =\sum _i(A\circ B{)}_i^m{C}_k^i\\ & =\sum _i\sum _j{A}_j^m{B}_i^j{C}_k^i\\ & =\sum _j{A}_j^m(B\circ C{)}_k^j\\ & =(A\circ (B\circ C){)}_k^m.\end{array}$$
特別地，有

$((A\circ B)\circ C{)}_k^1=(A\circ (B\circ C){)}_k^1$。
於是比較係數後可得

$(A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C)$。

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Work In Progress…

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