# **Note1**
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## 前言
隨著元件的scaling，也就是不斷的有週期性的微縮，各種submicron前不須審慎考慮的議題逐漸浮現，power consumption : $CV_{dd}^2+IV_{dd}$，$V_{dd}$無法下降太多，導致功耗壓不下來等問題出現，矽奈米元件及物理這門課就是在了解當scaling產生的新問題的原因。

## 複習半物簡易模型
最重要的兩個基本觀念(公式)

我們令semiconductor端，離surface最遠的地方電位為零。
下標s代表surface
$${V_g={V_{FB}}+V_{ox}+{\phi_s}} ...1$$

$$n_s = N_c\cdot e^{-\frac{q\phi_s}{kT}} ...2$$

建立在這兩個情況下，討論各種$V_g$時，表面電位、表面電荷、$V_{ox}$的值大小
$${}$$

### 1. flatband voltage condition

${V_g=V_{FB}}$

${V_{FB}}$取決於oxide兩端Si doping concentration的差異
$${}$$

<font color="#f00"></font>
### 2. accumulation condition
當$V_{g}$與${V_{FB}}$的關係使得band bending至major carrier濃度上升(相對flat band)應該就是所謂的accmulation。

此時的$\phi_s$將會很小，以物理的角度來看，此時半導體因為carrier concentration level很高，可以將它視為導體，而導體上的電位差相對insulator是很小的，所以此時公式右端的$V_{ox}$將會主導電位差。$${V_g-{V_{FB}}=V_{ox}+{\phi_s}}$$

從公式的部分來說明上述現象的話要先知道$V_{ox}$與${\phi_s}$的表示式
$$V_{ox}=-\frac{Q_s}{C_{ox}} ,\ Q_s=-Q_g$$

這個公式的來由是Gauss' law而非Q=CV，$Q_s$的單位是$\frac{C}{cm^2}$，$\rho的單位是\frac{C}{cm^3}$，差了一個$T_{ox}$。

由公式2可以發現$Q_s$跟$\phi_s$為指數關係，又$V_{ox}$跟$Q_s$成正比，所以$\phi_s$上升的比例會遠小於$V_{ox}$(也就是敏感很多)
$$n_s = N_c\cdot e^{-\frac{q\phi_s}{kT}}$$

### depletion
此時的$Q_s$小於
$${}$$

### threshold condition
$${}$$

### inversion
但是這個簡易的分析有一些明顯的問題
$${}$$

## Gauss' law
電場跟電荷之間的轉換要想到他
電力線與電荷之間的關係
- [ ] 推島gauss's
$$ {\frac{d\varepsilon}{dx}=\frac{\rho}{\epsilon_s }}$$
## Poisson's equation
藉由知道charge density就可以得知potential distribution
$$\frac{dV^2}{dx^2}=-\frac{d\varepsilon}{dx}=-\frac{\rho}{\epsilon_s}$$
# 補充資訊
#### 了解當今半導體技術程度的一個好網站
International Technology Roadmap for Semiconductors(ITRS)：
[國際半導體技術發展藍圖](https://en.wikipedia.org/wiki/International_Technology_Roadmap_for_Semiconductors)，一個邀請各大公司有名人士預估未來半導體發展的一個東東，會有設定半導體在各種不同應用場合在未來的某個時間該有的參數值。
https://hackmd.io/@Yangylang/rJwyfMxga

### 泰勒展開by ChatGPT

泰勒展開是一種將函數表示為無窮級數的方法，通常用於近似複雜的函數。

函數 $f(x)$ 的泰勒展開可寫為：

$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots
$$

其中：
- $f(a)$ 是函數在點 $a$ 的值。
- $f'(a)$ 是函數在點 $a$ 的一次導數。
- $f''(a)$ 是函數在點 $a$ 的二次導數。
- $f'''(a)$ 是函數在點 $a$ 的三次導數。

泰勒展開的更多項可以通過繼續添加高次導數項來擴展。

泰勒展開可以用來近似函數在某一點 $a$ 附近的行為，使得複雜的函數可以更容易地處理和分析。

在實際應用中，通常僅考慮有限項，因為無窮級數無法精確表示所有函數。