# ディジタル信号処理 第2回

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> [name=YamashitaMa]
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> [time=Tue, Jun 14, 2022 1:47 PM]

## 信号処理

入力信号 関数x(t)
↓
システム h???
↓
出力信号 y(t)

あるいは u(x, y),
u(x, y, t)

## サンプリング（標本化）

<font color="darkred" size="4">**サンプリング(標本化)**</font>
* 時間的に変化するアナログ時間信号を A/D 変換器を用いてある一定時間間隔でディジタル信号に変換することをサンプリング（標本化）

* 抜き出す周期をT~s~とする。
抜き出す時間は..., -2T~s~, -T, 0, T~s~, 2T~s~...

<font size="4" color="darkred">**サンプリング周期(サンプリング間隔)**</font>
* サンプリングの時間間隔をサンプリング周期 （サンプリング間隔）と言います。また、サンプリング周期の逆数をサンプリング周波数と呼び、データを取り込む速さを表します。
* T~s~ 単位は秒(s)

<font size="4" color="darkred">**サンプリング周波数(サンプリングレート)**</font>
* 人の声などのアナログの音声信号をデジタル信号へ変換する際に、1秒間に標本をとる（標本化：サンプリングともいう）頻度のこと. 単位はHz(ヘルツ)。
* F~s~ = 1/T~s~ 単位はヘルツ(Hz)あるいはcycle per second(cps) sample per second(sps)

<font color=darkred size=4>**サンプリング角周波数**</font>
* サンプリング角周波数
Ω~s~ = 2πF~s~ 単位は[rad/s]


## 演習

* CDのサンプリングレートは44.1[khz]です。サンプリング周期はいくつか。74分42秒の音楽が入ったCDではサンプリングで抜き出されたサンプルの個数は何個か。

44.1kHz = 44100Hz（1秒間に44100個サンプルをとる。）
74分42秒で197656200Hz = **197656.2kHz**

* 図のサンプリングを行った時の、

* サンプリング周期
1/8
* サンプリング周波数
8Hz

## 信号の正規化表現
* ディジタル信号処理ではサンプリング間隔T~s~を意識せず、サンプル化したあとだけ扱うと便利なことがある。そこで正規化表現x[・]を次のように導入する。

x[n] = x(nT~s~)

今度は（左辺のxは）x: Z → R(整数から実数への関数)

原信号x(t) = 2sin(2Πt)とし、T~s~ = 1/8秒でサンプリング正規化すると。

## 演習

周波数5Hzの正弦波x(t) = sin(2Π * 5 * t)を4Hzsの周波数でサンプリングした。この時

* x(t)とx(n/4)を図示せよ。

x(t) = sin(2Π * 4 * t)

* x[n]を求めよ。

実は4Hzの周波数でサンプリングすると、5Hzの正弦波x~1~(t) = sin(2Π * 5 * t)と1Hzの正弦波x~2~(t) = sin(2Π * 1 * t)は区別がつかない。

高い周波数の正弦波は（低い周波数の正弦波と混じっている時）サンプリングした信号から元の信号を復元することができない。

## サンプリング定理
* サンプリング(標本化)定理によれば、一般にアナログ信号x(t)が含んで入る周波数成分の最高周波数をf~max~とすると、1/2 * fmax より小さい周期Tでx(t)をサンプリングすれば、得られたサンプル信号より、もとのx(t)を完全に復元可能

限界の周期 1/2 * fmax のことをナイキストレート、ナイキスト間隔とよぶ。

## 信号の量子化

これまで扱ってきた信号x(t)やx[n]は各時間で、実数の値をとることができた。コンピュータで扱うためには有数のビット数で表せる、有限個の値で信号値を表現する必要がある。

有限な個数の値で信号値を代表させる操作を量子化という。

## 量子化操作
量子化の幅はΔ = (x~max~ - x~min~)/Lとなる。

## 量子化関数

## 演習問題
信号のダイナミックレンジx~max~ - x~min~ = 10の信号を量子化誤差の大きさ0.25以内で量子化したい。この時

(1)代表値（量子化値）の個数はいくつか。
Δ = 0.5
Δ = (x~max~ - x~min~)/L　より、
0.5 = 10 / L
L = 20
(2)量子化値を符号化するには、何ビット必要か。

## デシベル(dB)

* 電気・電子工学では電圧の値をデシベル(dB)を用いて書き表す。

-G = 20log~10~(y/x)
* 振幅がnbitの場合、ダイナミックレンジは

-DR~dB~ = 20log~10~(2^n^)
-DR~dB~ = 6.02n

* ちなみに、人間は120dBのダイナミックレンジと20~20000Hzの周波数を知覚する能力があるとされる。

## ディジタル録音によるSNR

* リニアPCM録音のダイナミックレンジ
* デシベル表記
* 16bitのCDは、約98dBのSNRである。