# 奈米矽晶發光與理解方式
> 致謝
我在理解奈米矽晶期間得到了許多人的幫助，我想向他們表示衷心的感謝。
>- 首先，我要感謝國立中央大學物理系粘正勳教授。感謝他的指導和鼓勵，他的寶貴建議對我在專題研究中的思考和實驗設計有著重要的影響，也激勵著我不斷學習和成長。
>- 我也要感謝專題的其他成員，其中我要特別感謝甘同學在實驗設置與理解並撰寫完整報告方面的卓越工作。
感謝
## 內文
#### 定性分析
##### *Heisenberg Uncertainty Principle* :
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$$

圖片Ref: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/uncer.html

這邊非常好理解，以定性來看，當：
$$ \Delta x \downarrow$$ $$ \Delta p \uparrow$$
我們又知道：
$$ E = K.E. = \frac{p^2}{2m} \uparrow $$
此時，
$$ E \uparrow = h\nu\uparrow $$
頻率增加，代表波長下降 ( $\lambda \downarrow$ )。

由此，我們將 $\Delta x$ 作為奈米矽晶大小 ( scale ) 的表現。當 $\Delta x$ 愈小，紫外光射進奈米矽晶後，折射及反射出的光，將會波長下降。意思是說，當蝕刻出奈米矽晶的 scale 愈小，那麼在相同的紫外光照射下，會產生藍移的現象。

> *要會硬用，才會應用。畢竟做科學沒有每天在成功的，或是我們可以說99%的時候是不成功的。*

#### 定量分析
這邊的話引入 Particle in box 的概念：
> 紫外光打入奈米矽晶，在內部產生共振。

首先先看圖：
<div style="text-align:center">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/InfiniteSquareWellAnimation.gif" alt="圖片描述">
</div>

Ref：From Wikipidia，https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box
再來看一下，運用駐波的概念：
$$ \frac{n \lambda}{2} = l \Rightarrow \lambda_n = \frac{2l}{n}\\(n=1,2,3,...) $$
同時，
$$ E = K.E. = \frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}=\frac{h^2}{2m\lambda^2} $$
得出：
$$ E_n=\frac{h^2}{2m}(\frac{n}{2l})^2 =n^2\frac{h^2}{8ml^2}\propto\frac{1}{l^2}\\(n=1,2,3,...)$$

##### 補充 Quantization :
敘述:
> 其實就是解這張圖

<div style="text-align:center">
<img src="https://i.stack.imgur.com/gMjZ8.png" alt="圖片描述">
</div>

Ref: https://i.stack.imgur.com/gMjZ8.png
其中，$$V(x)=\begin{cases}
\infty,\quad &x \leq 0 , x\geq L \\
0, &0<x<L
\end{cases}$$

*$B.C.$ when $x=0\:and\:x=L$, the wave function = 0
The valid solution for integer values of n such that $kL=n\pi$. The wave function is now,
$$ \psi_n(x)=Asin(\frac{n\pi x}{L})$$
Normalize the wave function,*
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n(x)^* \psi_n(x) \, dx=1$$
> *Note that $\psi_n(x)^*$ is the complex conjugate of $\psi_n(x)$*

*Then we calculate,
$$ \Rightarrow A^2 \int_{0}^{L}sin^2(\frac{n \pi x}{L})=1$$
So, the wave function become,
$$ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(\frac{n \pi x}{L})\\=Asin\:kx+Bcos\:kx$$
and
$$ \frac{{d^2 \psi}}{{dx^2}}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi=-k^2\psi$$
We get the "Quantized wave number" easily.*

*Here's the conclusion that we calculate above*
Quantized wave number : $k_n=\frac{n\pi}{L}=\sqrt{\frac{2mE_n}{\hbar^2}}$
Quantized Energy : $E_n=n^2\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$ $(n=1,2,3,...)$

如此一來，以上方的$E_n$公式，我們就能簡單知道：將$E_n$中的$L$視為奈米矽晶的大小( scale )，當奈米矽晶較小，$E \uparrow = h\nu\uparrow$，當然是產生藍移現象。或是直接靠直覺，當井愈窄，能量就愈高；反之，當井愈寬，能量就愈低。

> *奈米矽晶的大小關係和發出的光可以用 PL 的方式來知道。另外，我的想法是以統計的方式算出大小 ( nm ) 與 PL 做出的的波長範圍與光強度的關係，應該就可以推出一個簡單的 Empirical equation。*

> 簡單來說就是直接暴力拆解

#### $\color{lime}{小記}$
> 其實這篇主要是希望以近代物理、物理化學與數學的角度來微量化結果，也是我自己的一些心得。畢竟如果一直講奈米矽晶會發光是因為表面能態模型 (SPR) ，與量子侷限效應(Quantum confinement effect)，其實就只是講一些觀測到的或是一些性質，感覺就像在背東西，稍嫌可惜。

#### Reference:
1. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/uncer.html
2. https://kivenckl.github.io/post/9a79e44d.html

> *人生就是在玩一場體驗自己的遊戲!*
2022/9 完成此手稿，2023/5/24 完成此手稿電子化