# 1.2 體公理與序公理

我們對實數運算並不陌生，早在第0章就已經用過一部分的運算規則。
本節正式將這些規則公理化，濃縮成體公理和序公理，以作為後續推導的立足點。

## 體公理

實數的四則運算規則根植於體公理，分成加法公理、乘法公理及分配律三個部分。

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**定義1.2.1（加法公理）**
<font color=red>加法公理（Axioms for addition）</font>賦予$\mathbb{R}$加法運算$+$；
該運算將兩個實數$x,y$對應到恰一個實數$x+y$，稱為$x$與$y$的和（sum）。

此外，加法遵守下列規則。
1. 交換律：對任意的實數$x,y$而言，$x+y = y+x$。
2. 結合律：對任意的實數$x,y,z$而言，$(x+y)+z = x+(y+z)$。
3. 單位元素（Identity element）：實數系統包含$0$，與每個實數$x$相加均等於$x$。
4. 反元素（Inverse element）：對任意的實數$x$而言，存在與$x$相加等於$0$的實數$-x$。
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第四個條件中的$-x$稱為$x$的相反數（opposite）。基於結合律，$(x+y)+z$和$x+(y+z)$都能沒有歧義地寫成$x+y+z$；又以$nx$表示$n$個$x$相加的和。

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**定義1.2.2（乘法公理）**
<font color=red>乘法公理（Axioms for multiplication）</font>賦予$\mathbb{R}$乘法運算$\times$。
該運算將兩個實數$x,y$對應到恰一個實數$x\times y$，稱為$x$與$y$的積（product）。

此外，乘法遵守下列規則。
1. 交換律：對任意的實數$x,y$而言，$x\times y = y\times x$。
2. 結合律：對任意的實數$x,y,z$而言，$(x\times y)\times z = x\times (y\times z)$。
3. 單位元素：實數系統包含不等於$0$的$1$，與每個實數$x$相乘均等於$x$。
4. 反元素：對任意不為$0$的實數$x$而言，存在與$x$相乘等於$1$的實數$1/x$。
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第四個條件中的$1/x$稱為$x$的倒數（reciprocal）。跟加法同理，$(x\times y)\times z$和$x\times (y\times z)$皆可以寫成$x\times y\times z$，而$x^n$表示$n$個$x$相乘的積；當$x$不為$0$時，定義$x^0=1$、$x^{-1}=1/x$。

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**定義1.2.3（分配律）**
下列規則稱為<font color=red>分配律</font>：
對任意的實數$x,y,z$而言，$(x+y)\times z = (x\times z)+(y\times z)$。
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基於「先乘除後加減」的原則，$(x\times z)+(y\times z)$中的括號可以不寫；我們也習慣省略乘號，直接用$xy$表示$x$與$y$的積。因為乘法遵守交換律，所以分配律的式子也能寫作$z(x+y) = zx+zy$。

接下來，我們示範如何從體公理導出一些重要的實數運算性質。

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**命題1.2.4（消去律）**
加法與乘法皆遵守消去律（cancellation law）。

具體而言，下列性質對任意的實數$x,y,z$均成立：
1. 若$x+y = x+z$，則$y=z$。
2. 若$x\neq 0$且$xy = xz$，則$y=z$。
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以下僅證明加法的消去律，乘法消去律留給讀者練習。

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**證明**
任意給定實數$x,y,z$，假設$x+y = x+z$。
基於第四條加法公理，$x$的相反數$-x$存在。
將假設的等式兩側同時加上$-x$，得$-x+(x+y) = -x+(x+z)$；又
\begin{align}
-x + (x+y) \overset{(\text{i})}{=} (-x+x) + y \overset{(\text{ii})}{=} 0+y \overset{(\text{iii})}{=} y\\[6pt]
-x + (x+z) \overset{(\text{i})}{=} (-x+x) + z \overset{(\text{ii})}{=} 0+z \overset{(\text{iii})}{=} z
\end{align} 因此，$y=z$。
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等式$(\text{i})$用到了加法的結合律，等式$(\text{ii})$和等式$(\text{iii})$則分別源自加法反元素及加法單位元素的規則。
在後續的證明中，讀者應嘗試辨認每一步推論分別使用了哪一條體公理。

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**命題1.2.5**
下列性質對任意的實數$x,y$均成立：
1. 若$x+y = x$，則$y=0$。
2. 若$x+y = 0$，則$y = -x$。
3. $0x = 0$。
4. $x = -(-x)$。
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**證明**
任意給定實數$x,y$。

1. 將命題1.2.4(1)中的$z$取為$0$便可得知。
2. 這也是命題1.2.4(1)的直接推論，取$z = -x$即可。
3. 因為$0x+0x = (0+0)x = 0x$，所以由命題1.2.5(1)得知$0x=0$。
4. 因為$-x+x = 0$，所以根據命題1.2.5(2)，$x = -(-x)$。
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命題1.2.5(1)顯示$0$的唯一性；1.2.5(2)則保證每個實數$x$的相反數均唯一，因此能以$-x$表示。
同理，$1$也唯一，每個非零實數都恰有一個倒數，並且在$x\neq 0$的情況下$x = 1/(1/x)$。
常將$y+(-x)$簡記成$y-x$，而$y(1/x)$記為$y/x$。

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**命題1.2.6**
下列性質對任意的實數$x,y$均成立：
1. $(-x)y = -(xy) = x(-y)$
2. $(-x)(-y) = xy$
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**證明**
任意給定實數$x,y$。

1. 根據命題1.2.5(2)，只要確認$xy+(-x)y = 0$便可得知第一個等式；誠然，
$$xy+(-x)y = (x+(-x))y = 0y = 0$$ 第二個等式的證法亦同。

2. 運用前一個結果：$(-x)(-y) = -(x(-y)) = -(-(xy))$。
因為$-(-(xy)) = xy$，所以$(-x)(-y) = xy$。
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## 序公理

序公理是不等式運算規則的核心。

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**定義1.2.7（序公理）**
<font color=red>序公理</font>賦予$\mathbb{R}$大小關係$<$，遵循下列規則（$x,y,z$為任意的實數）：
1. $x<y$、$x=y$、$y<x$三種關係恰有一者成立。
2. 若$x<y$且$y<z$，則$x<z$。
3. 若$x<y$，則$x+z < y+z$。
4. 若$0<x$且$0<y$，則$0<xy$。

$x<y$讀作「$x$小於$y$」，也經常寫成$y>x$，讀作「$y$大於$x$」。

大於$0$的實數稱為正（positive）實數，小於$0$者稱為負（negative）實數；
非負（nonnegative）實數則是大於或等於$0$的實數。
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為了方便，用$x\leq y$表示「$x<y$或$x=y$」，$x\geq y$亦同。此外，多個不等式還可以合併，比方說「$x<y$且$y<z$」能記成$x<y<z$；但合併的不等式不宜同時出現大於及小於符號。

序公理可以推得所有不等式的運算性質，在此僅列舉精華。
以下證明不會明確援引序公理，讀者應能自行辨認。

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**命題1.2.8**
下列性質對任意的實數$x,y,z$均成立：
1. 若$x<0$，則$-x>0$；若$x>0$，則$-x<0$。
2. 若$x<y$且$z>0$，則$xz < yz$。
3. 若$x<y$且$z<0$，則$xz > yz$。
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**證明**
任意給定實數$x,y,z$。

1. 若$x<0$，則$x+(-x) < 0+(-x)$；故$0 < -x$，即$-x > 0$。
透過相同的論證，可知若$x>0$，則$-x < 0$。

2. 若$x<y$且$z>0$，則$0<y-x$且$0<z$；故$0<(y-x)z$。
再將不等式$0<(y-x)z$的兩側加上$xz$，便可獲得$xz < yz$。

3. 假設$x<y$且$z<0$；此時$-z > 0$。
由前一個結果得知$x(-z) < y(-z)$，即$-(xz) < -(yz)$。
那麼將不等式$-(xz) < -(yz)$的兩側加上$xz+yz$，就會出現$xz > yz$。
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**命題1.2.9**
下列性質對任意的實數$x,y$均成立：
1. $x^2 \geq 0$，等號成立的時機為$x=0$；特別地，$1>0$。
2. 若$x>0$，則$1/x > 0$。
3. 若$0<x<y$，則$0 < 1/y < 1/x$。
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**證明**
任意給定實數$x,y$。

1. 當$x>0$時，$x^2 > 0$；當$x=0$時，基於命題1.2.5(3)，$x^2 = 0$。
至於在$x<0$的情況下，因為$-x>0$，所以$(-x)^2 > 0$；於是$x^2 > 0$。
因此$x^2 \geq 0$，且等號成立的時機為$x=0$。特別地，由$1\neq 0$得知$1^2 > 0$；故$1>0$。

2. 假設$x>0$。若$1/x = 0$，則$x(1/x) = x0 = 0$；故$1=0$。
若$1/x < 0$，則由$x>0$推得$x(1/x) < x0$，即$1<0$。
然而前面已知$1>0$，因此上述兩種情況都不合，於是$1/x > 0$。

3. 若$0<x<y$，則$x,y$皆大於$0$；根據前一個結果，$1/x$和$1/y$也都大於$0$。
故$(1/x)(1/y) > 0$；那麼將不等式$0<x<y$的每一側同乘以$(1/x)(1/y)$即可得證。
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注意到不只實數系統，有理數系統$\mathbb{Q}$也滿足所有的體公理和序公理。
滿足這些公理的代數結構稱為有序體（ordered field）。

## 習題

以下習題中的$x,y,z,w$都是實數。

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**習題1.2.1**
證明下列實數的運算性質：
1. 方程式$x+z = y$恰有一解$z$。
2. 當$x\neq 0$時，方程式$xz = y$恰有一解$z$。
3. $1/0$不存在，即$0$沒有倒數。
4. 若$xy = 0$，則$x=0$或$y=0$。
5. $(-1)x = -x$。
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**習題1.2.2**
證明下列的不等式運算性質：
1. 若$x\leq y$且$y\leq x$，則$x=y$。
2. 若$x<y$且$z<w$，則$x+z < y+w$：故兩個正實數的和為正實數。
3. 若$0<x<y$且$0<z<w$，則$xz<yw$。
4. 若$xy>0$，則$x,y$皆為正實數或皆為負實數；反之亦然。
5. $x^2+y^2 \geq 0$，等號成立的時機為$x=y=0$；故方程式$x^2+1=0$無實數解。
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**習題1.2.3**
假設$y,w$皆不為$0$。證明下列分數（fraction）的運算規則：
1. $x/y+z/w = (xw+yz)/(yw)$
2. $x/y-z/w = (xw-yz)/(yw)$
3. $(x/y)\times (z/w) = (xz)/(yw)$
4. 當$z\neq 0$時，$(x/y)/(z/w) = (xw)/(yz)$
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**習題1.2.4**
假設$y,w$皆大於$0$。證明：若$x/y < z/w$，則
$$\frac{x}{y} < \frac{x+z}{y+w} < \frac{z}{w}$$ 特別地，當$x<z$時，存在無窮多個滿足$x<t<z$的實數$t$。
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**習題1.2.5**
證明下列敘述：
1. 若$x\geq 0$且$x$小於所有的正實數，則$x=0$。
2. 若$x\leq y+\varepsilon$對任意的正實數$\varepsilon$均成立，則$x\leq y$。
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