# 0.2 函數

如同集合，函數也是在數學中無所不在的概念；本節簡單介紹函數的基本術語、運算及反函數。

## 基本術語

函數是集合之間的一種對應關係。

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**定義0.2.1（函數）**
從集合$A$至集合$B$的<font color=red>函數（function）</font>將每個$A$中的元素對應到恰一個$B$中的元素；
其中，$A$稱為函數的定義域（domain），而$B$稱為對應域（codomain）。

若函數$f$將元素$x$對應到元素$y$，則稱$y$為$f$在$x$的函數值（function value），記$y=f(x)$。

若函數$f$與函數$g$具有相同的定義域$D$，而且對任意$D$中的元素$x$而言$$f(x)=g(x)$$ 則稱$f$與$g$相等，記作$f=g$。
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刻畫一個函數須指出其定義域，以及定義域中每個元素的對應值；當函數$f$的定義域為$D$時，稱$f$「定義於$D$上」。函數又稱作映射（mapping），可以想像成一台機器：定義域中的元素是原料，經由函數處理後會得到唯一的產品，即對應域中的元素。

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**範例0.2.2**
蒐集五個人的身高體重數據：

| 身高（公分） | $152$ | $161$ | $164$ | $170$ | $175$ |
| :-------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 體重（公斤） | $45$ | $53$ | $53$ | $69$ | $78$ |

令$A=\{152,161,164,170,175\}$，$B=\{45,53,69,78\}$。

因為每個身高數值均對應到恰一個體重數值，所以可以根據表格定義從$A$至$B$的函數$f$：
$$f(152)=45,\quad f(161)=53,\quad f(164)=53,\quad f(170)=69,\quad f(175)=78$$ 然而，由於$53$公斤的體重對應到不只一個身高數值，無法依照表格定義從$B$至$A$的函數。

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**定義0.2.3（像 & 原像）**
令$f$為從集合$A$至集合$B$的函數，而$S,T$分別是$A,B$的子集合。

集合$\{f(x):x\in S\}$稱為$S$在$f$之下的<font color=red>像（image）</font>，記作$f(S)$；
集合$\{x\in A:f(x)\in T\}$稱為$T$在$f$之下的<font color=red>原像（inverse image）</font>，記作$f^{-1}(T)$。

當$x\in A$時，將$f(\{x\})$簡記成$f(x)$，稱其為$x$在$f$之下的像；
當$y\in B$時，$f^{-1}(\{y\})$簡記成$f^{-1}(y)$，稱為$y$在$f$之下的原像。

特別地，$f(A)$又稱作$f$的值域（range）。
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根據定義，$f$的值域包含於對應域；當兩者相等時，稱$f$為映成（onto）函數。另外，$f^{-1}(y)$可能是空集合，此時沒有元素對應到$y$；不過只要$y$是$f$值域中的元素，$f^{-1}(y)$就會非空。

在微積分中我們經常考慮實函數（real function），其定義域與值域皆為實數集合的子集合。
為了方便，之後都會用$\mathbb{R}$表示實數集合。

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**範例0.2.4**
下列函數均為實函數。前五個實函數的定義域都是$\mathbb{R}$，最後一個則定義於非負整數集合上。
1. 恆等函數（Identity function）：$f(x)=x$
2. 常數函數（Constant function）：$f(x)=c$
3. 線性函數（Linear function）：$f(x)=ax+b$
4. 冪函數（Power function）：$f(x)=x^n$
5. 多項式函數（Polynomial function）：$f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$
6. 階乘函數（Factorial function）：$f(k)=k!$，其中$k!=1\times \cdots\times k$、$0!=1$

在此$n$為固定的非負整數，而$a,b,c$以及所有的$c_i$均為固定實數。
每個方程式均反映了定義域中元素的對應方式。
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注意到恆等函數、常數函數、線性函數和冪函數都是多項式函數的特例。

有時會把函數的定義域拆解成數個子集合，分別描述各個子集合中元素的對應規則。
這種分段定義的函數稱為分段函數（piecewise function）。

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**範例0.2.5**
下列函數是一個定義於$\mathbb{R}$上的分段函數：
$$f(x) = \begin{cases}
x, &x\geq 0\\
0, &x<0
\end{cases}$$ 這個函數的值域為$\{x:x\geq 0\}$，而$f^{-1}(0) = \{x:x\leq 0\}$。
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## 函數的運算

基於實函數的函數值是實數，我們能夠自然地對實函數做四則運算。

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**定義0.2.6（實函數的四則運算）**
給定具有相同定義域$D$的實函數$f,g$，函數<font color=red>$f+g$</font>、<font color=red>$f-g$</font>、<font color=red>$fg$</font>、<font color=red>$f/g$</font>的定義分別如下：
\begin{alignat}{2}
(f+g)(x) &= f(x)+g(x),\quad &&其中\ x\in D\\
(f-g)(x) &= f(x)-g(x),\quad &&其中\ x\in D\\
(fg)(x) &= f(x)g(x),\quad &&其中\ x\in D\\
(f/g)(x) &= f(x)/g(x),\quad &&其中\ x\in D\ 且\ g(x)\neq 0
\end{alignat} $f+g$、$f-g$和$fg$的定義域皆為$D$，而$f/g$的定義域則是$D\setminus \{x: g(x)=0\}$。
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除此之外，函數還能進行合成。

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**定義0.2.7（合成函數）**
令$f,g$為函數，假設$g$的值域包含於$f$的定義域。

<font color=red>合成函數（Composite function）</font>$f\circ g$定義於$g$的定義域上，滿足
$$(f\circ g)(x) = f(g(x))$$ 其中$x$為$g$定義域中的元素。
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為了確保$f(g(x))$有意義，須假設$g$的值域包含於$f$的定義域。注意到函數的合成不僅限於實函數，但函數做四則運算的前提是值域中的元素能加減乘除。

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**範例0.2.8**
考慮兩個定義於$\mathbb{R}$上的函數：$f(x)=x+1$、$g(x)=x^2$。那麼
$$(f\circ g)(x) = x^2+1,\quad (g\circ f)(x) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$$ 這兩個合成函數的定義域均為$\mathbb{R}$。
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範例0.2.8顯示$f\circ g$未必等於$g\circ f$，這說明了函數合成不遵守交換律。

不過，函數合成仍然遵守結合律。

:::danger
**命題0.2.9**
對任意的函數$f,g,h$而言，只要$(f\circ g)\circ h$和$f\circ (g\circ h)$皆有意義，兩者便會相等。
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:::success
**證明**
任意給定函數$f,g,h$，假設$(f\circ g)\circ h$和$f\circ (g\circ h)$皆有意義。

$(f\circ g)\circ h$的定義域為$h$的定義域，而$f\circ (g\circ h)$的定義域為$g\circ h$的定義域；
因為$g\circ h$的定義域就是$h$的定義域，所以$(f\circ g)\circ h$與$f\circ (g\circ h)$具有相同的定義域。

又對任意$h$定義域中的元素$x$而言，
$$((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g\circ h)(x)) = (f\circ (g\circ h))(x)$$ 因此根據定義，$(f\circ g)\circ h$與$f\circ (g\circ h)$相等。
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特別留意「$f\circ (g\circ h)$有意義」不保證「$(f\circ g)\circ h$有意義」。比方說，考慮下列函數$f,g,h$：
* $f$把$0$對應到$0$；
* $g$把$1$對應到$0$，把$2$對應到$1$；
* $h$把每個實數都對應到$1$。

那麼$f\circ (g\circ h)$是把所有實數對應到$0$的函數，但$(f\circ g)\circ h$無意義。
因此，命題0.2.9中合成函數的存在前提是必要的。

## 反函數

在範例0.2.5中，原像$f^{-1}(0)$含有多個元素，這是因為函數定義只排除「一對多」的對應關係，而未排除「多對一」的對應關係。一對一函數進一步否決了多對一關係。

:::warning
**定義0.2.10（一對一函數）**
令$f$為定義於集合$D$上的函數。若$f$滿足下列條件，則稱$f$為<font color=red>一對一（one-to-one）函數</font>：
對任意$D$中的元素$x_1,x_2$而言，只要$f(x_1)=f(x_2)$，便保證$x_1=x_2$。
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先前提過當$y$是$f$值域中的元素時，$f^{-1}(y)$非空；若$f$又是一對一函數，$f^{-1}(y)$會由單一元素構成。如此一來，我們便能在一對一函數的值域上定義新函數。

:::warning
**定義0.2.11（反函數）**
令$f$為定義於集合$D$上的一對一函數。

$f$的<font color=red>反函數（inverse function）</font>定義於$f(D)$上，將$f(D)$中的元素$y$對應到$f^{-1}(y)$中的元素；
用$f^{-1}$表示$f$的反函數。
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在前後文清楚的情況下，$f^{-1}$在$y$的函數值也記成$f^{-1}(y)$。

:::info
**範例0.2.12**
令$f(x)=2x+1$為定義於$\mathbb{R}$上的函數。

不難驗證$f$是值域為$\mathbb{R}$的一對一函數；故$f$的反函數$f^{-1}$存在，定義域也是$\mathbb{R}$。
因為實數$y$在$f$之下的原像為
$$\left\lbrace x:2x+1=y\right\rbrace = \left\lbrace \frac{y-1}{2}\right\rbrace$$ 所以$f^{-1}(y)=(y-1)/2$。
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:::info
**範例0.2.13**
令$f(x)=x^2$為定義於$\mathbb{R}$上的函數。

由於$f(1)$和$f(-1)$都等於$1$，$f$不是一對一函數，無法定義$f$的反函數。
不過，若將$f$的定義域限縮至非負實數集合，則可定義$f^{-1}(y) = \sqrt{y}$，$y$為非負實數。
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給定一對一函數$f$，令$x,y$分別為$f,f^{-1}$定義域中的元素。
* 因為$f(x)$在$f$之下的原像就是$\{x\}$，所以$f^{-1}(f(x))=x$。
* 反之，因為$f^{-1}(y)$屬於$y$在$f$之下的原像，所以$f(f^{-1}(y))=y$。

由此可推得以下性質：

:::danger
**命題0.2.14**
對任意的一對一函數$f$而言，$f^{-1}\circ f$與$f\circ f^{-1}$皆為恆等函數。
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:::success
**證明**
任意給定一對一函數$f$，設其定義域為$D$。

由於$f^{-1}$的定義域為$f(D)$，$f^{-1}$的值域為
$$f^{-1}(f(D)) = \{f^{-1}(y): y\in f(D)\} = \{f^{-1}(f(x)): x\in D\} = \{x:x\in D\} = D$$ 既然$f$的值域就是$f^{-1}$的定義域，$f^{-1}$的值域就是$f$的定義域，$f^{-1}\circ f$和$f\circ f^{-1}$皆有意義。

此外，從前述觀察得知
\begin{alignat}{2}
(f^{-1}\circ f)(x) &= f^{-1}(f(x)) = x,\quad &&x\in D\\
(f\circ f^{-1})(y) &= f(f^{-1}(y)) = y,\quad &&y\in f(D)
\end{alignat} 因此，$f^{-1}\circ f$與$f\circ f^{-1}$皆為恆等函數。
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