# 1.3 區間與絕對值

本節介紹區間與絕對值；它們皆為體公理及序公理的衍生概念，在微積分中扮演不可或缺的角色。

## 區間

實數的大小關係有明確的幾何意涵：$a<b$表示$a$位於$b$的左側，而$b$在$a$的右側；當$a<x<b$時，稱$x$介於$a$與$b$之間。如此一來，我們便能利用不等式刻畫數線的範圍，並以區間表示。

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**定義1.3.1（有限區間）**
令$a,b$為實數，假設$a\leq b$。

以$a,b$為端點的<font color=red>有限區間（finite interval）</font>有四種類型，定義如下：
\begin{alignat}{2}
(a,b) &= \{x\in \mathbb{R}: a<x<b\}\qquad [a,b] &&= \{x\in \mathbb{R}: a\leq x\leq b\}\\
[a,b) &= \{x\in \mathbb{R}: a\leq x<b\}\qquad (a,b] &&= \{x\in \mathbb{R}: a<x\leq b\}
\end{alignat} 其中，$(a,b)$稱作開區間（open interval），不含端點；
$[a,b]$稱作閉區間（closed interval），包含$a,b$兩個端點；
至於$[a,b)$和$(a,b]$則是半開區間（half-open interval），分別涵蓋了$a$端點及$b$端點。
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有限區間描述了兩個端點之間（可能包含端點）的範圍。下圖呈現它們在數線上的畫法：


有時我們也會考慮往某一側無限延伸的範圍；這種範圍不具有兩個端點，須以無限區間表示。

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**定義1.3.2（無限區間）**
以實數$a$為端點的<font color=red>無限區間（infinite interval）</font>也有四種類型，定義如下：
\begin{align}
(a,+\infty) &= \{x\in \mathbb{R}: x>a\}\qquad [a,+\infty) = \{x\in \mathbb{R}: x\geq a\}\\
(-\infty,a) &= \{x\in \mathbb{R}: x<a\}\qquad (-\infty,a] = \{x\in \mathbb{R}: x\leq a\}
\end{align} 又將實數系統$\mathbb{R}$記作$(-\infty,+\infty)$。
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在此$+\infty$和$-\infty$只是單純的符號，並不被視為實數。

## 絕對值

我們也可以從幾何的角度檢視加法。
給定一個正實數$x$，$+x$表示向右移動$x$單位，而$+(-x)$則表示向左移動$x$單位；由此可知：
* 當$y>0$時，基於$y=0+y$，$y$在數線上所對應的點位於原點的右側，與其距離$y$單位。
* 當$y<0$時，因為$y=0-(-y)$且$-y>0$，所以$y$會對應到位於原點左側$-y$單位處的點。

為了以一個統合的符號描述數線上的點到原點的距離，我們引入絕對值的概念。

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**定義1.3.3（絕對值）**
實數$x$的<font color=red>絕對值（absolute value）</font>記作$\lvert x\rvert$，定義為
$$\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, &x\geq 0\\
-x, &x<0
\end{cases}$$
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根據定義與命題1.2.8，$\lvert x\rvert\geq 0$，而且等號只在$x=0$時成立；此外，亦能驗證$\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert$。

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**命題1.3.4**
令$x,a$為實數。若$\lvert x\rvert\leq a$，則$-a\leq x\leq a$；反之亦然。
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:::success
**證明**
假設$\lvert x\rvert\leq a$。注意到因為$\lvert x\rvert\geq 0$，所以$a\geq 0$，亦即$-a\leq 0$。
* 當$x\geq 0$時$x\geq -a$，而且$\lvert x\rvert\leq a$表示$x\leq a$；故$-a\leq x\leq a$。
* 當$x<0$時$x\leq a$，而且$\lvert x\rvert\leq a$表示$-x\leq a$；故$-a\leq x\leq a$。

發現無論何種情況，皆有$-a\leq x\leq a$。

反之，假設$-a\leq x\leq a$。同樣分成$x\geq 0$和$x<0$兩種情況討論：
* 若$x\geq 0$，則由$x\leq a$得知$\lvert x\rvert\leq a$。
* 若$x<0$，則由$-a\leq x$得知$-x\leq a$，即$\lvert x\rvert\leq a$。

因此無論如何都有$\lvert x\rvert\leq a$。命題至此證畢。
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命題1.3.4顯示不等式$\lvert x\rvert\leq a$所描述的區間為$[-a,a]$，此觀點在未來研究極限時相當實用。另外，這個命題還可以推得一組非常重要的絕對值不等式，稱為三角不等式（triangle inequality）。

:::danger
**命題1.3.5（三角不等式）**
對任意的實數$x,y$而言，$\lvert x\rvert-\lvert y\rvert \leq \lvert x+y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$。
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:::success
**證明**
任意給定實數$x,y$。
將命題1.3.4中的$a$取為$\lvert x\rvert$，可發現$-\lvert x\rvert\leq x\leq \lvert x\rvert$；同理，$-\lvert y\rvert\leq y\leq \lvert y\rvert$。
將這兩個不等式相加，得$-\left(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\right) \leq x+y \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$。
因此再根據命題1.3.4的反向推論，$\lvert x+y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$。

以上證得$\lvert x+y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$對任意的實數$x,y$均成立。
那麼對任意的實數$x,y$而言，$\lvert (x+y)+(-y)\rvert \leq \lvert x+y\rvert + \lvert -y\rvert$。
故$\lvert x\rvert \leq \lvert x+y\rvert+\lvert y\rvert$，即$\lvert x\rvert-\lvert y\rvert \leq \lvert x+y\rvert$。命題至此證畢。
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令$x=a-c$、$y=c-b$，那麼三角不等式$\lvert x+y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$會變成
$$\lvert a-b\rvert \leq \lvert a-c\rvert + \lvert c-b\rvert \tag{$\star$}$$ 從幾何觀點切入，$\lvert x-y\rvert$代表$x$到$y$的距離。因此，將$a,b,c$視為三角形的頂點，不等式$(\star)$意味著「三角形其中一邊的長度不超過另外兩邊的長度和」；這正是三角不等式的命名緣由。

數學歸納法可將三角不等式推廣至多個實數的版本。

:::danger
**命題1.3.6**
下列不等式對任意不小於$2$的整數$n$均成立（$x_1,x_2,\dots,x_n$為實數）：
$$\lvert x_1\rvert-\sum_{i=2}^{n}\, \lvert x_i\rvert \leq \left\lvert x_1+\sum_{i=2}^{n} x_i\right\rvert \leq \lvert x_1\rvert+\sum_{i=2}^{n}\, \lvert x_i\rvert$$
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以下僅證明右側的不等式，左側的不等式留給讀者練習。

:::success
**證明**
當$n=2$時，右側不等式即為命題1.3.5中的不等式$\lvert x+y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$。
任意給定不小於$2$的整數$k$，假設右側不等式於$n=k$時成立。
由命題1.3.5，可知對任意的實數$x_1,x_2,\dots,x_{k+1}$而言
\begin{align}
\left\lvert x_1+\sum_{i=2}^{k+1} x_i\right\rvert &= \left\lvert \left(x_1+\sum_{i=2}^{k} x_i\right)+x_{k+1}\right\rvert\\[6pt]
&\leq \left\lvert x_1+\sum_{i=2}^{k} x_i\right\rvert + \lvert x_{k+1}\rvert\\[6pt]
&\leq \left(\lvert x_1\rvert+\sum_{i=2}^{k}\, \lvert x_i\rvert\right) + \lvert x_{k+1}\rvert = \lvert x_1\rvert+\sum_{i=2}^{k+1}\, \lvert x_i\rvert
\end{align} 因此該不等式於$n=k+1$時仍然成立。
根據數學歸納法，右側不等式對任意不小於$2$的整數$n$均成立。
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命題1.3.6能導出更多形如$(\star)$的三角不等式，例如：
$$\lvert a-b\rvert \leq \lvert a-d\rvert+\lvert d-c\rvert+\lvert c-b\rvert$$ 這類不等式特別適合用來估計$a$到$b$的距離。

## 習題

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**習題1.3.1**
令$x,y$為實數，證明下列絕對值的性質：
1. $\lvert x-y\rvert = \lvert y-x\rvert$
2. $\lvert xy\rvert = \lvert x\rvert \lvert y\rvert$，$\lvert x^2\rvert = \lvert x\rvert^2 = x^2$
3. 當$y\neq 0$時，$\lvert x/y\rvert = \lvert x\rvert/\lvert y\rvert$
4. $\lvert x\rvert-\lvert y\rvert \leq \lvert x-y\rvert \leq \lvert x\rvert+\lvert y\rvert$
5. $\lvert\lvert x\rvert-\lvert y\rvert\rvert \leq \lvert x-y\rvert \leq \lvert\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\rvert$
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:::info
**習題1.3.2**
令$a,\varepsilon$為實數，且$\varepsilon>0$。
證明：若實數$x$滿足$\lvert x-a\rvert < \varepsilon$，則$x\in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)$；反之亦然。
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:::info
**習題1.3.3**
求解下列的絕對值方程式及不等式：
1. $\lvert 2x+1\rvert\leq 2$
2. $\lvert 5-1/x\rvert < 1$
3. $\lvert x^2-5/2\rvert \leq 3/2$
4. $\lvert x-5\rvert < \lvert x+1\rvert$
5. $\lvert x-1\rvert = \lvert x-2\rvert$
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**習題1.3.4**
本習題證明Cauchy-Schwarz不等式：
任意給定正整數$n$，令$a_1,\dots,a_n$與$b_1,\dots,b_n$為實數；則
$$\left(\sum_{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^2\right)$$

1. 確認$\sum_{i=1}^{n} (a_{i}x+b_i)^2 \geq 0$對任意的實數$x$均成立。
2. 將$\sum_{i=1}^{n} (a_{i}x+b_i)^2$展開寫成$Ax^2+2Bx+C$的形式，驗證
$$A = \sum_{i=1}^{n} a_{i}^2,\quad B = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i,\quad C = \sum_{i=1}^{n} b_{i}^2$$
4. 當$A=0$時，證明$B=0$；故$B^2\leq AC$。
5. 當$A\neq 0$時，先將$Ax^2+2Bx+C$配方成$A(x+D)^2+E$的形式，再證$B^2\leq AC$。
6. 總結：$B^2\leq AC$，此即Cauchy-Schwarz不等式。試求等號成立的時機。
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Cauchy-Schwarz不等式可以用來證明多維空間中的三角不等式。