# 1.1 實數的本質

實數系統是微積分的基石，所以在進入微積分之前，應先花一些力氣研究實數。

什麼是實數呢？在中學期間，實數經常視作「數線上的點」：選定直線上相異兩點$0,1$，假設$1$在$0$的右側；稱$0$為原點（origin），並將單位長（unit length）定成$1$和$0$的距離。正實數$x$對應到位於原點右側、與之相距$x$單位長的點；負實數$y$的對應點則落在原點左側$-y$單位處。

不過，並非所有實數都能透過尺規作圖得到相對應的點；舉例來說，我們無法用尺規作圖在數線上標記$\sqrt[3]{2}$。假使純粹從幾何觀點理解實數，要如何確認$\sqrt[3]{2}$的存在呢？自19世紀末期以來，數學概念逐漸形式化；為了穩固微積分的基石，必須更嚴格地看待實數。

理論上，精確定義實數得先從自然數的構造出發，再逐步推展至整數、有理數，乃至於實數。然而這種途徑十分耗費心神；況且在學習微積分時，我們真正感興趣的往往是實數系統所衍生的性質。有鑑於此，這份筆記假設讀者已經對整數及有理數十分熟悉，直接採取公理化的策略定義實數。

:::warning
**定義1.1.1（實數系統）**
<font color=red>實數系統（Real number system）</font>$\mathbb{R}$是滿足下列三組公理的集合：
* 體公理（field axiom）
* 序公理（order axiom）
* 完備性公理（completeness axiom）

實數系統中的元素稱為實數（real number）。
:::

簡單來說，體公理賦予實數四則運算，序公理讓實數可以比大小，完備性公理則填補了有理數之間的「空隙」，使實數系統得以視為連續不間斷的線；所有實數性質皆可溯源至這些公理。

接下來，1.2小節將會介紹體公理與序公理，完備性公理則在1.4小節介紹。