# 1.4 完備性公理

我們在1.2小節發現有理數系統和實數系統都是有序體，兩者共享相同的運算規則。
那麼，這兩個數系究竟有什麼根本上的差異呢？答案正是完備性。

## 最小上界與最大下界

完備性公理又稱為最小上界性；顧名思義，介紹這個公理之前需先引入最小上界的概念。
在接下來的討論中，令$S,T$為$\mathbb{R}$的子集合。

:::warning
**定義1.4.1（上界 & 下界）**
令$u,l$為實數。

若$u$大於或等於所有$S$中的實數，則稱$u$為$S$的<font color=red>上界（upper bound）</font>；
若$l$小於或等於所有$S$中的實數，則稱$l$為$S$的<font color=red>下界（lower bound）</font>。

若$u$為$S$的上界且$u\in S$，則稱$u$為$S$的最大值（maximum），記作$\max S$；
若$l$為$S$的下界且$l\in S$，則稱$l$為$S$的最小值（minimum），記作$\min S$。
:::

當$u$為$S$的上界時，所有大於$u$的實數也都是$S$的上界；同樣地，若$l$為$S$的下界，則所有小於$l$的實數亦為$S$的下界。特別留意「$S$有上界（bounded above）」僅表示存在作為$S$上界的實數，並不要求$S$包含該實數；「$S$有下界（bounded below）」亦是如此。

相對地，$S$的最大值或最小值只要存在就必定唯一，且為$S$中的元素。

:::info
**範例1.4.2**
1. 每個實數都是空集合的上界；因為空集合中沒有元素，所以最大值不存在。
2. 實數集合無上界，因此沒有最大值。
3. 區間$[0,1]$有上界$1$，且$1$為此區間的最大值。
4. 區間$(0,1)$有上界$1$，但沒有最大值。
:::

讀者應嘗試判斷範例1.4.2中的集合有無下界，以及是否具有最小值。

:::warning
**定義1.4.3（最小上界 & 最大下界）**
滿足下列兩個條件的實數$u$稱為$S$的<font color=red>最小上界（least upper bound）</font>，記作$\sup S$：
1. $u$為$S$的上界。
2. 所有小於$u$的實數均非$S$的上界。

類似地，$S$的<font color=red>最大下界（greatest lower bound）</font>是滿足下列條件的實數$l$，以$\inf S$表示：
1. $l$為$S$的下界。
2. 所有大於$l$的實數均非$S$的下界。
:::

最小上界又稱為上確界（supremum），最大下界則稱作下確界（infimum）。

下列三個命題是定義1.4.3的直接推論。

:::danger
**命題1.4.4**
假設$S$有最小上界和最大下界。
1. 對任意的正實數$\varepsilon$而言，$S$中存在大於$\sup S-\varepsilon$的實數。
2. 對任意的正實數$\varepsilon$而言，$S$中存在小於$\inf S+\varepsilon$的實數。
:::

以下僅證明最小上界的敘述，最大下界的敘述留給讀者練習。

:::success
**證明**
任意給定正實數$\varepsilon$，此時$\sup S-\varepsilon$為小於$\sup S$的實數。
因為$\sup S$是$S$的最小上界，所以根據定義，$\sup S-\varepsilon$不是$S$的上界。
既然$\sup S-\varepsilon$並非$S$的上界，那麼$\sup S-\varepsilon$並未大於或等於所有$S$中的實數。
這就表示$S$中存在大於$\sup S-\varepsilon$的實數。
:::

:::danger
**命題1.4.5**
令集合$U$收集所有$S$的上界。
1. 所有$S$中的實數都是$U$的下界。
2. 若$S$有最小上界，則$\sup S$為$U$的最小值。
3. 若$U$有最小值，則$\min U$為$S$的最小上界。
:::

:::success
**證明**
1. 任意給定$S$中的實數$x$。
因為每個$U$中的實數皆為$S$的上界，所以每個$U$中的實數均大於或等於$x$。
換言之，$x$小於或等於所有$U$中的實數；因此$x$為$U$的下界。

2. 假設$S$有最小上界；根據最小上界的定義，$\sup S$為$S$的上界，於是$\sup S\in U$。
又定義指出所有小於$\sup S$的實數均非$S$的上界，亦即$S$的上界都不小於$\sup S$。
這意味著$\sup S$小於或等於所有$U$中的實數，故$\sup S$為$U$的下界。
既然$\sup S$為$U$的下界且$\sup S\in U$，$\sup S$便是$U$的最小值。

3. 假設$U$有最小值；基於$\min U\in U$，$\min U$為$S$的上界。
此外，$\min U$為$U$的下界，小於或等於所有$U$中的實數；故$S$的上界都不小於$\min U$。
這表示所有小於$\min U$的實數均非$S$的上界；如此便得知$\min U$為$S$的最小上界。
:::

:::danger
**命題1.4.6**
令集合$L$收集所有$S$的下界。
1. 所有$S$中的實數都是$L$的上界。
2. 若$S$有最大下界，則$\inf S$為$L$的最大值。
3. 若$L$有最大值，則$\max L$為$S$的最大下界。
:::

命題1.4.6就是命題1.4.5的下界版本，證明留給讀者練習。
這兩個命題不僅說明了最小上界和最大下界的命名緣由，也顯示兩者只要存在就會唯一。

:::info
**範例1.4.7**
1. 實數集合與空集合均沒有最小上界。
2. 區間$[0,1]$的最小上界為$1$，且$1\in [0,1]$。
3. 區間$(0,1)$的最小上界為$1$，但$1\notin (0,1)$。
:::

由範例1.4.7，發現集合$S$未必包含其最小上界；不過，若$\sup S\in S$，則$\sup S$同時是$S$的最大值。同理，一旦$\inf S\in S$，那麼$\inf S$便為$S$的最小值。

下一個命題顯示最小上界和最大下界都尊重集合之間的整體大小關係。

:::danger
**命題1.4.8**
假設對任意$S$中的實數$x$以及$T$中的實數$y$而言，都有$x\leq y$。
1. 若$S,T$皆有最小上界，則$\sup S \leq \sup T$。
2. 若$S,T$皆有最大下界，則$\inf S\leq \inf T$。
3. 若$S$有最小上界且$T$有最大下界，則$\sup S\leq \inf T$。
:::

以下僅證明第三個敘述，前兩個敘述留給讀者練習。證明採用反證法的策略。

:::success
**證明**
假設$S$有最小上界、$T$有最大下界，但$\sup S>\inf T$。

因為$\sup S$大於$T$的最大下界，所以$\sup S$不是$T$的下界。
這意味著$T$中存在小於$\sup S$的實數$y^{*}$。
由於$y^{*}$小於$S$的最小上界，$y^{*}$並非$S$的上界；故$S$中存在大於$y^{*}$的實數$x^{*}$。

然而根據命題中的假設，$x^{*}\in S$且$y^{*}\in T$會導致$x^{*}\leq y^{*}$，矛盾產生。
因此若$S$有最小上界且$T$有最大下界，則$\sup S\leq \inf T$。
:::

值得提醒的是，即使將命題1.4.8中的「$x\leq y$」改成「$x<y$」，仍然無法保證$\sup S<\sup T$。
舉例來說，所有$(0,1)$中的實數都小於$1$，但$\sup (0,1)=\sup \{1\}=1$。其餘結果亦然。

## 完備性公理

現在正式介紹完備性公理。

:::warning
**定義1.4.9（完備性公理）**
下列敘述稱為<font color=red>完備性公理</font>或最小上界性（least-upper-bound property）：
對任意$\mathbb{R}$的非空子集合$S$而言，只要$S$有上界，便能保證$S$的最小上界存在於$\mathbb{R}$中。
:::

完備性公理也可以利用最大下界描述。

:::danger
**命題1.4.10（最大下界性）**
對任意$\mathbb{R}$的非空子集合$S$而言，只要$S$有下界，便能保證$S$的最大下界存在於$\mathbb{R}$中。
:::

:::success
**證明**
任意給定$\mathbb{R}$的非空子集合$S$，假設$S$有下界。
令所有$S$的下界構成集合$L$，此亦為$\mathbb{R}$的子集合。

因為$S$有下界，所以$L$非空。
又由命題1.4.6，所有$S$中的實數都是$L$的上界；那麼$S\neq \emptyset$使得$L$有上界。
因此根據完備性公理，$L$有最小上界$\sup L\in \mathbb{R}$。

作為最小上界，$\sup L$小於或等於所有$L$的上界。
由於$S$中的實數均為$L$的上界，$\sup L$小於或等於所有$S$中的實數；這表示$\sup L$為$S$的下界。
既然$L$收集了所有$S$的下界，$\sup L\in L$；那麼$\sup L$同時為$L$的最大值。
再次運用命題1.4.6，發現$\sup L$正是$S$的最大下界；命題至此證畢。
:::

事實上，最大下界性也能反過來推得最小上界性。
完備性賦予了實數系統深刻的分析結構，它的威力很快就會顯現。

## 習題

:::info
**習題1.4.1**
令$u$為實數，$S$為$\mathbb{R}$的子集合。

討論下列三個敘述的蘊涵關係（例如敘述1是否能推得敘述2，敘述3是否能推得敘述1）：
1. $u$為$S$的上界。
2. $u$為$S$的最大值。
3. $u$為$S$的最小上界。

分別將上界、最大值、最小上界替換成下界、最小值、最大下界，再討論一次蘊涵關係。
:::

:::info
**習題1.4.2**
試求下列集合的最小上界及最大下界：
1. $\{x\in \mathbb{R}:3x^2-10x+3 < 0\}$
2. $\{x\in \mathbb{R}:(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) < 0\}$
:::

:::info
**習題1.4.3**
令$S$為$\mathbb{R}$的子集合。
證明：若$S$有最小上界和最大下界，則$\sup S \geq \inf S$。
:::

:::info
**習題1.4.4**
給定$\mathbb{R}$的非空子集合$S$，令$-S = \{-x: x\in S\}$。
證明：若$S$有上界，則$-S$有最大下界，且$\sup S = -\inf(-S)$。
:::

:::info
**習題1.4.5**
給定$\mathbb{R}$的非空子集合$S,T$，令$S+T = \{x+y:x\in S\ 且\ y\in T\}$。證明下列性質：
1. 若$S,T$皆有上界，則$S+T$有最小上界，且$\sup(S+T) = \sup S+\sup T$。
2. 若$S,T$皆有下界，則$S+T$有最大下界，且$\inf(S+T) = \inf S+\inf T$。
:::

:::info
**習題1.4.6**
給定正實數集合的非空子集合$S,T$，令$ST = \{xy:x\in S\ 且\ y\in T\}$。證明下列性質：
1. 若$S,T$皆有上界，則$ST$有最小上界，且$\sup(ST) = \sup S\sup T$。
2. 若$S,T$皆有下界，則$ST$有最大下界，且$\inf(ST) = \inf S\inf T$。
:::