# 0.1 基礎集合論

集合論是現代數學的根基，本節簡單介紹一些微積分中常用的集合術語及運算。
這份筆記假設讀者對於數理邏輯（諸如真值表、量詞等概念）有一定的認識。

## 基本術語

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**定義0.1.1（集合 & 元素）**
將一群數學物件視為整體，稱為<font color=red>集合（set）</font>，常以大寫英文字母$A,B,C\dots$表示；
構成集合的數學物件稱為集合中的<font color=red>元素（element）</font>，常以小寫英文字母$a,b,c\dots$表示。

考慮集合$S$與數學物件$x$：
若$x$是$S$中的元素，則稱「$x$屬於$S$」、「$x$落在$S$中」或「$S$包含$x$」，記作$x\in S$；
若$x$不是$S$中的元素，則記$x\notin S$。
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集合有列舉法（roster notation）和描述法（set-builder notation）兩種表示方式：列舉法乃直接列出所有元素；描述法則將集合中的元素用性質描述，並以某個代表性的符號呈現。

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**範例0.1.2**
正整數集合$\mathbb{N}$與整數集合$\mathbb{Z}$皆能用列舉法表示：
$$\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\},\quad \mathbb{Z} = \{\dots,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots\}$$ 相對地，有理數集合$\mathbb{Q}$可以用描述法表示：
$$\mathbb{Q} = \left\lbrace \frac{m}{n}:m\in \mathbb{Z}\ 且\ n\in \mathbb{N}\right\rbrace$$
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冒號左側的$m/n$是$\mathbb{Q}$中元素的樣貌，右側的「$m\in \mathbb{Z}$ 且 $n\in \mathbb{N}$」則刻畫了該集合中的元素性質。

同一個集合可能有多種表示方法。

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**範例0.1.3**
若集合$S$中的元素為所有小於$10$的正整數，則$S$能用下列兩種方法表示：
1. （列舉法） $S = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
2. （描述法） $S = \{x:x\in \mathbb{N}\ 且\ x<10\}$
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在此$x$只是啞變數（dummy variable），也能換成其他符號。
為了方便，亦將$\{x:x\in \mathbb{N}\ 且\ x<10\}$簡寫成$\{x\in \mathbb{N}: x<10\}$。

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**定義0.1.4（子集合）**
令$A,B$為集合。

若所有$A$中的元素都是$B$中的元素，則稱$A$為$B$的<font color=red>子集合（subset）</font>；
用$A\subseteq B$表示$A$為$B$的子集合，讀作「$A$包含於$B$」或「$B$包含$A$」。

若$A\subseteq B$和$B\subseteq A$同時成立，則稱$A$與$B$是相等的集合，記作$A=B$；
若$A$與$B$不相等，則記$A\neq B$。

若$A\subseteq B$且$A\neq B$，則稱$A$為$B$的真子集（proper subset），記作$A\subset B$。
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**範例0.1.5**
1. $\{4,8\}$為$\{2,4,6,8\}$的真子集。
2. $\{2,4,6,8\}$、$\{2,8,6,4\}$及$\{2,2,4,4,6,8\}$彼此相等。
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範例0.1.5顯示集合中元素的順序不計，也允許出現重複的元素。

在許多情況下，我們會事先指定某個集合$S$，然後只討論其子集合；這個作為框架的集合$S$稱為宇集（universal set）。用描述法表示集合的時候，只要前後文清楚，宇集通常會被省略。

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**範例0.1.6**
在實數集合為宇集的情況下，正實數集合可記為$\{x:x>0\}$。
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雖然集合是一群數學物件的總稱，但我們也允許集合不含任何物件。

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**定義0.1.7（空集合）**
不包含任何元素的集合稱為<font color=red>空集合（empty set）</font>，記作$\emptyset$；
若集合$S$包含至少一個元素，則稱$S$非空。
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特別留意$\emptyset$和$\{\emptyset\}$是不同的集合，前者不含任何元素，後者則含有「$\emptyset$」一個元素。可以把$\emptyset$想成一個空袋子，那麼$\{\emptyset\}$就是一個裝著空袋子的袋子。

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**命題0.1.8**
空集合$\emptyset$是每個集合的子集合。
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**證明**
假設命題錯誤，$\emptyset$並非某個集合$S$的子集合。
根據定義，不是每個$\emptyset$中的元素都落在$S$中；換言之，$\emptyset$中存在不屬於$S$的元素。
但$\emptyset$是空集合，當中不存在任何元素。
因此矛盾產生，命題應當成立。
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以上證明是透過假設命題錯誤而得到矛盾。
這種證明方式稱為反證法（proof by contradiction），在數學中很常使用。

## 集合的運算

常見的集合運算包括聯集、交集和差集。

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**定義0.1.9（聯集 & 交集）**
令$A,B$為集合。

$A$與$B$的<font color=red>聯集（union）</font>由所有$A$中的元素和$B$中的元素構成，即$\{x:x\in A\ 或\ x\in B\}$；
$A$與$B$的<font color=red>交集（intersection）</font>由所有$A,B$中的共同元素構成，即$\{x:x\in A\ 且\ x\in B\}$。

將$A$與$B$的聯集記作$A\cup B$，$A$與$B$的交集則記作$A\cap B$。
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若兩個集合的交集是空集合，則稱它們互斥（disjoint）或沒有交集。
根據定義，$A,B$皆包含於$A\cup B$，而且兩者皆包含$A\cap B$。

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**定義0.1.10（差集）**
集合$A$在集合$B$中的<font color=red>差集（difference）</font>由所有$B$中不屬於$A$的元素構成，即
$$\{x:x\in B\ 且\ x\notin A\}$$ 用$B\setminus A$表示$A$在$B$中的差集。
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當$B$為宇集時，$B\setminus A$又常記成$A^c$，稱作$A$的補集（complement）。

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**範例0.1.11**
若集合$A$中的元素為$1,2,3$，集合$B$中的元素為$2,3,4$，則
$$A\cup B = \{1,2,3,4\},\quad A\cap B=\{2,3\},\quad A\setminus B = \{1\}$$
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跟數字運算類似，聯集和交集都遵守交換律（commutative law）及結合律（associative law）。

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**命題0.1.12**
下列等式對任意的集合$A,B,C$均成立：
1. （交換律） $A\cup B=B\cup A,\quad A\cap B=B\cap A$
2. （結合律） $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
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以下僅證明聯集的交換律與結合律，交集的部分留給讀者練習。

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**證明**
任意給定集合$A,B,C$。

首先證明交換律：對任意$A\cup B$中的元素$x$而言，$x\in A$或$x\in B$。
因為$A$和$B$皆是$B\cup A$的子集合，所以$x$屬於$B\cup A$。因此，$A\cup B\subseteq B\cup A$。
相同的論證亦可推得$B\cup A\subseteq A\cup B$。那麼根據集合相等的定義，$A\cup B=B\cup A$。

接著證明結合律：對任意$(A\cup B)\cup C$中的元素$x$而言，$x\in A\cup B$或$x\in C$。
* 若$x\in C$，則$x\in B\cup C$，於是$x\in A\cup (B\cup C)$。
* 若$x\in A\cup B$，則$x\in A$或$x\in B$；故$x\in A$或$x\in B\cup C$，即$x\in A\cup (B\cup C)$。

發現無論何種情況，$x$都屬於$A\cup (B\cup C)$。因此，$(A\cup B)\cup C\subseteq A\cup (B\cup C)$。
仿照前述的論證，亦可得知$A\cup (B\cup C)\subseteq (A\cup B)\cup C$。
那麼根據集合相等的定義，$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$。
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集合的運算也遵守分配律（distributive law）。

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**命題0.1.13**
下列等式對任意的集合$A,B,C$均成立：
1. $(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)$
2. $(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C)$
3. $(A\setminus B)\cap C = (A\cap C)\setminus (B\cap C)$
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以下僅證明第一個等式，剩下兩個等式留給讀者練習。

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**證明**
任意給定集合$A,B,C$。

對任意$(A\cap B)\cup C$中的元素$x$而言，$x\in A\cap B$或$x\in C$。
* 若$x\in C$，則$x\in A\cup C$且$x\in B\cup C$。
* 若$x\in A\cap B$，則$x\in A$且$x\in B$；故$x\in A\cup C$且$x\in B\cup C$。

因此無論何種情況，$x$都屬於$(A\cup C)\cap (B\cup C)$。

反之，對任意$(A\cup C)\cap (B\cup C)$中的元素$x$而言，$x\in A\cup C$且$x\in B\cup C$。
這意味著「$x\in A$或$x\in C$」和「$x\in B$或$x\in C$」同時成立，由此可分成四種情況：
$$x\in A\ 且\ x\in B,\quad x\in A\ 且\ x\in C,\quad x\in C\ 且\ x\in B,\quad x\in C\ 且\ x\in C$$ 除了第一種情況為$x\in A\cap B$外，其餘情況皆有$x\in C$；無論如何，$x$均屬於$(A\cap B)\cup C$。

綜上所述，$(A\cap B)\cup C$與$(A\cup C)\cap (B\cup C)$互相包含。那麼根據定義兩者相等。
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此外，集合運算還跟邏輯運算類似，同樣滿足De Morgan定律。

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**命題0.1.14（De Morgan定律）**
下列等式對任意的集合$A,B,C$均成立：
1. $C\setminus (A\cup B) = (C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
2. $C\setminus (A\cap B) = (C\setminus A)\cup (C\setminus B)$

特別地，$(A\cup B)^c = A^c\cap B^c$ 且 $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$。
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以下僅證明第一個等式，第二個等式留給讀者練習。最下面的等式就是$C$視為宇集的結果。

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**證明**
任意給定集合$A,B,C$。

對任意$C\setminus (A\cup B)$中的元素$x$而言，$x\in C$且$x\notin A\cup B$。
由於$x\notin A\cup B$意味著「$x\notin A$且$x\notin B$」，$x\in C$、$x\notin A$及$x\notin B$同時成立。
因此$x\in C\setminus A$且$x\in C\setminus B$，即$x$屬於$(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$。

以上論證反過來亦成立，所以每個$(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$中的元素也均屬於$C\setminus (A\cup B)$。
因此，$C\setminus (A\cup B) = (C\setminus A)\cap (C\setminus B)$。
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集合經常以文氏圖（Venn diagram）表示；此舉不僅能幫助釐清集合命題的真偽，還能為證明提供思路。舉例來說，下圖呈現了$(A\cup B)^c = A^c\cap B^c$的幾何意涵：


不過在現代數學的證明中，每一步推論都必須回溯至定義或公理，而非訴諸幾何直覺。