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title: 數學公式證明——數與式

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# 數與式

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數與式是高一數學的第一個單元，同時也是很基本的一個單元，雖然公式不難，卻會很頻繁地用到，並且到了以後還有許多延伸。
想當初在學這單元的時候覺得真夠簡單，講義題目隨便寫寫都對，沒想到某次段考唯一錯的就是錯在算幾，哀，學習真的要謙卑...但我還是不否認這單元挺簡單的，嘿嘿。
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## (1)分點公式

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    假設數線上兩點$A(a), B(b)$，其中$b>a$，則$A, B$之間有一點$P$使得$\overline{AP}:\overline{PB} = m:n$
    ![IMG_0962](https://hackmd.io/_uploads/SytaRtapp.jpg)
    觀察可知$P$點座標就是「$A$點座標」加上「$\frac{m}{m+n}倍的\overline{AB}$」
    即$$ a+\frac{m}{m+n}\cdot(b-a)$$
    $$ = \frac{a(m+n)+m(b-a)}{m+n}$$
    $$ = \frac{mb+an}{m+n}$$
    
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聰明的你一定馬上就聯想到加權平均的概念。譬如說在化學課我們都有學過$^{35}$Cl和$^{37}$Cl在自然界中的佔比大約分別為75%和25%，比例為$3:1$，因此Cl的原子量大約就是$\frac{3\times35+1\times37}{3+1} = 35.5$，如何？是不是很實用呀？
順帶一提，這裡證明的是內分點，雖然曾看過有講義介紹外分點的，但是只要假設未知數，一樣可以用內分點求出座標，因此外分點的證明就略過。
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## (2)算幾不等式

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    令$a, b$為兩正實數，求證$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$
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### 方法一:

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    我們用以下圖證
    ![IMG_0965](https://hackmd.io/_uploads/HklWYs6pT.jpg)
    若將一半圓的直徑$\overline{AB}$上取一點$D$，使得直徑分成長度為$a$和$b$的兩段，過$D$點作$\overline{AB}$的垂線，交圓弧於$C$點。觀察$\Delta ABC$，由子母相似性質可知：
    $$\overline{CD}^2 = \overline{AD}\cdot\overline{DB} = ab$$
    $$\Rightarrow\overline{CD} = \sqrt{ab}$$
    顯而易見，$\overline{CD}$的最大直即為半徑，也就是$\frac{a+b}{2}$因此我們可以得知：
    $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$
    特別地，當$a=b$時，$\overline{CD}$會有最大值，也就是說，算幾不等式等號成立的條件就是$a=b$
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### 方法二:
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    依然是圖證
    ![IMG_0966](https://hackmd.io/_uploads/HyISDha6a.jpg)
    在指數函數$y=2^x$的圖形上取不同兩點$A(a, 2^a), B(b, 2^b)$，而$\overline{AB}$中點$M的座標為(\frac{a+b}{2}, \frac{2^a+2^b}{2})$，過點$M$作一條垂直$x$軸的線，交函數於$P$點，則$P$點座標為$(\frac{a+b}{2}, 2^{\frac{a+b}{2}})$
    由指數函數圖形凹口向上的特性可知：$M$點的$y$座標恆大於$P$點的$y$座標，即：$$\frac{2^a+2^b}{2}>2^{\frac{a+b}{2}} = \sqrt{2^{a+b}} = \sqrt{2^a\cdot2^b}$$
    可以發現這就是算幾不等式的型態，將$2^a替換成p$，$2^b替換成q$，就可寫成$$\frac{p+q}{2}>\sqrt{pq}$$
    等等，怎麼只剩大於了呢？不是應該是大於等於嗎？
    那是因為，當初$A, B$兩點本來就是取不同的點，如果$A, B$兩點在同一位置的話，$M, P$兩點也理所當然地會在和$A, B$一樣的位置，四個點通通擠在一起。也就是說，等號成立於$a=b\Rightarrow 2^a=2^b\Rightarrow p=q$的時候
    $$\Rightarrow \frac{p+q}{2}\ge\sqrt{pq}$$
    推導成功！！！
    
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算幾不等式是高中三年期間會不斷用到的不等式，在使用的時候一定要注意條件是兩數皆為正數。第一個圖證相信許多老師都會提到，簡單明瞭。第二個圖證則是曾經在寫模考題的時候，出現由指數函數凹性延伸到算幾的選項，自己畫了一遍果真可以如此推導。
其實要證明還可以透過移項$\Rightarrow\frac{p+q}{2}-\sqrt{pq}\ge0$，然後再通分就可以證明。不過因為較簡單這裡就不多述。
話說我們的數學老師曾很盡責地幫我們印了一份算幾不等式的補充講義，內容就是算幾的延伸，只是要證明的話似乎會用到較為複雜的代數技巧，期望自己以後有朝一日能學會！
    2024/3/13
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