數學公式證明——數列與級數

# 數列與級數 :::info 會想打這種東西一方面是趁自主學習課弄完可以放進學習歷程(結果晚自習還在打XD)，另一方面則是期許自己可以在別人問出「為什麼公式長這樣啊？」的時候能自信的說「哼哼，簡單，啊就這樣這樣就好了」。但是說來說去其實還是希望能精進自己的實力，btw這也是我第一次用HackMD，有一堆數學語法要學，加油！ ::: ## (1)求證$$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ ### 方法一: 首先令$$S_n = 1+2+3+...+n$$ 倒著寫則變成$$S_n = n+(n-1)+(n-2)+...+1$$ 兩式相加得$$2S_n = \underbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)}_{n}$$ 故$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 可以發現這個證明方式和以下圖證非常相似 ![IMG_0967](https://hackmd.io/_uploads/ryKtG6T6T.jpg) ### 方法二: 兩個$1+2+3+...+n$的階梯形狀可以湊成一個$n\times(n+1)$的長方形，故可得 $$2S_n = 2(1+2+3+...+n) = n(n+1)$$ $$\Rightarrow S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ :::info 可以發現這個證明的關鍵在於能觀察到第n項與倒數第n項的和相同。聽說高斯在10歲的時候就用這個概念算1加到100：1+100=101, 2+99=101, ...50+51=101共有50組101，因此答案即為5050。哀，想想我10歲的時候大概只會堆積木和打電動而已，悲哀啊。 ::: ## (2)求證$$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 利用立方差公式$$(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1$$ $$\Rightarrow (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1$$ \begin{cases} (n+1)^3 &- n^3 &= 3n^2 &+ 3n &+ 1\\ n^3 &- (n-1)^3 &= 3(n-1)^2 &+ 3(n-1) &+ 1\\ (n-1)^3 &- (n-2)^3 &= 3(n-2)^2 &+ 3(n-2) &+ 1\\ &&\cdot\\ &&\cdot\\ &&\cdot\\ 2^3 &- 1^3 &= 3\cdot1^2 &+ 3\cdot1 &+1 \end{cases} 相加後得$$(n+1)^3-1^3 = 3\sum_{i=1}^n i^2 + 3\sum_{i=1}^n i + n$$ $$\Rightarrow(n+1)^3 - 3\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n - 1 = 3\sum_{i=1}^n i^2$$ $$\Rightarrow\frac{2(n+1)^3-3n(n+1)-2(n+1)}{6} = \sum_{i=1}^n i^2$$ $$\Rightarrow\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{(n+1)[2(n+1)^2-3n-2]}{6}$$ $$\Rightarrow\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}$$ $$\Rightarrow\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ :::info 可以發現此證明的關鍵是要用立方差公式，同樣地$\sum_{i=1}^n i^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$也可用類似的方式證明。另外在網路上也有圖證，三個梯子組合成一個長方體的，這裡就不贅述。事實上呢，要用大家熟知的數學歸納法證明也完全沒問題，但若不是早已知道結果，不然是沒辦法用數學歸納法的。因此我才認為會推導公式也是相當重要的。 ::: ## (3)等差級數和 令一等差級數和為$S_n$，首項為$a_1$，公差為$d$ 其和為$$S_n = \sum_{k=1}^n [a_1+(k-1)d] = na_1+\sum_{k=1}^{n-1} kd$$ 由(1)可知$$S_n = na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$$ $$ = \frac{2na_1+n(n-1)d}{2}$$ $$ = \frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$$ ## (4)等比級數和 令一等比級數和為$S_n$，首項為$a_1$，公比為$r$ 其和為$$S_n = a_1+a_1r+a_1r^2+...+a_1r^{n-1}$$ 等號左右相乘得$$rS_n = a_1r+a_1r^2+...+a_1r^{n-1}+a_1r^n$$ 兩式相減得$$(1-r)S_n = a_1-a_1r^n$$ $$\Rightarrow S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$ :::info 這兩個公式的推導過程較為簡單，奇怪，我的電腦選字怎麼總愛選「推倒」啊？不管如何，我認為會推導公式多少是有好處的，我曾就在高三學測前總複習時忘了等比級數和公式，但是卻記得推導方式，所以馬上就推出來了。事實上，我認為許多公式比起死記硬背，知道怎麼推出來反而更重要。希望在看完這篇之後大家能在高中數列與級數的單元有更多認識：） 2024/3/11 :::