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# System prepended metadata

title: 數學公式證明——三角函數

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# 三角函數

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相信許多學生在學到三角函數之前就已經多少有耳聞了，有時候三角函數學久了，就會漸漸忘記它終究是一個函數，你丟一個數值它就吐出一個數值。我還記得當初決定不去上數學家教的時候就是在學三角函數的時候，我覺得上家教上久了或是補習補久了，萬一要停止都會很怕成績會不會從此一落千丈，但幸好後來成績都算有維持住，而且還可以省下一筆開銷，太棒了!
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## (1)平方關係

![IMG_0968](https://hackmd.io/_uploads/r1FGrAR6T.jpg)
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    在單位圓上任取一點，經過該點作兩線段，一線段至原點，令此線段和$x$軸正向夾$\theta$角，另一線段垂直$x$軸，如圖所示。則這兩個線段和$x$軸會圍成一個直角三角形，兩股分別為$\sin\theta及\cos\theta$，斜邊為$1$，此時平方關係就顯而易見。
    由畢氏定理可知：$$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$$

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平方關係大概是學了三角函數後很快就會學到了，證明也不難，是到了後來也會不斷用到的恆等式。其他平方關係如$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta和1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$也都是用畢氏定理可以輕鬆證明的，這裡就不多贅述。絕不是我懶: )
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## (2)正弦定理

![IMG_0969](https://hackmd.io/_uploads/HkzkeuzA6.jpg)
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    如圖所示，作一$\Delta ABC$的外接圓，令圓心為$O$點，$\angle A = \theta$，則可發現$\angle BOC = 2\theta$，並且$\angle BOC$的角平分線和$\overline{BC}$垂直。
    故$$\sin\angle A = \sin\theta = \frac{\frac{\overline{BC}}{2}}{R} = \frac{\overline{BC}}{2R}$$
    $$\Rightarrow\frac{\overline{BC}}{\sin\angle A} = \frac{\overline{BC}}{\frac{\overline{BC}}{2R}} = 2R$$
    同理可知：$$\frac{\overline{BC}}{\sin\angle A}= \frac{\overline{AC}}{\sin\angle B} = \frac{\overline{AB}}{\sin\angle C} = 2R$$
    至此即為正弦定理
    這時候你可能會想說，啊勒勒？萬一是鈍角三角形呢？
    ![IMG_0970](https://hackmd.io/_uploads/Hkja9dG0p.jpg)
    如圖所示，我們一樣令$\angle A = \theta$，則令$\phi = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}\overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2}(2\pi-\overset{\frown}{BDC}) = \pi-\frac{1}{2}\overset{\frown}{BDC} = \pi-\theta$
    $\Rightarrow\sin\phi = \sin(\pi-\theta) = \sin\theta = \frac{\overline{BC}}{2R}$
    故$$\frac{\overline{BC}}{\sin\angle A} = \frac{\overline{BC}}{\frac{\overline{BC}}{2R}} = 2R$$
    可以得出一樣的結果
    
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證明正弦定理還不算難，只要圖畫出來就可以順順的證出來了。順帶一提，不覺得$\overset{\frown}{BDC}$上面的弧線很短嗎?我查了很久但都找不到要怎麼打比例比較對的弧。我問了同學結果同學告訴我這個:$\widehat{BDC}$，這到底是什麼XDD
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## (3)餘弦定理

![IMG_0972](https://hackmd.io/_uploads/Syb8zFG0p.jpg)
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    如圖所示，在$\Delta ABC$中，令$A, B, C$三點的對邊長分別為$a, b, c$，過$B$點作$\overline{AC}$的垂線，交$\overline{AC}於D點$，令$\overline{AD} = x$
    則由畢氏定理可以明顯看出$$c^2-x^2 = a^2-(b-x)^2$$
    $$\Rightarrow c^2-x^2 = a^2-b^2+2bx-x^2$$
    太棒了！$等號左右兩邊的-x^2$可以消掉
    $$\Rightarrow b^2+c^2-a^2 = 2bx$$
    $$\Rightarrow x = \frac{b^2+c^2-a^2}{2b}$$
    $$\cos\theta = \frac{x}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
    得出餘弦定理啦！
    這時候，沒錯，你猜到了，鈍角怎麼辦呢？
    ![IMG_0973](https://hackmd.io/_uploads/BJipDFz06.jpg)
    同樣由畢氏定理可知：$$a^2-(c+x)^2 = b^2-x^2$$
    $$\Rightarrow a^2-c^2-2cx-x^2 = b^2-x^2$$
    過程和先前所差無幾，化簡後得
    $$\Rightarrow x = \frac{b^2+c^2-a^2}{-2c}$$
    這時候要注意，因為$\theta$是鈍角，故$$\cos\theta = -\frac{x}{b} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
    依然可以得出相同的結果！
    
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只要能想到要畫輔助線，要證明餘弦定理也不難。我還記得剛學到的時候因為公式稍長一點，$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$分母的2倍一直忘記，現在想起來真是覺得當時一直沉迷打遊戲，真是太不用功了。希望大學能用功一點啊，萬一學壞了就慘了，哈哈
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## (4)sin和角公式

![IMG_0978](https://hackmd.io/_uploads/BykKDsM0a.jpg)

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    如圖所示，單位圓上畫出兩個廣義角：$\theta和\phi$相加的圖形，其中直得注意的是，因$\Delta GEO和\Delta GFA$相似，故$\angle GAF = \theta$
    在直角三角形$OAE$中可以明顯看出$\sin(\theta+\phi) = \overline{AE}$，而$\overline{AE}又可拆成\overline{AH}+\overline{HE}$。其中:$$\overline{AH} = \overline{AF}\cdot\frac{\overline{AH}}{\overline{AF}} = \sin\phi\cos\theta$$
    $\overline{HE}$的長度比較難一點，首先可以看到$\overline{HE} = \overline{FD}$，再來，因為$\Delta OFD相似於\Delta OBC$，所以$\overline{OF}:\overline{OB} = \overline{FD}:\overline{BC} \Rightarrow \overline{FD} = \overline{BC}\cdot\frac{\overline{OF}}{\overline{OB}}$
    注意到在$\Delta OAF中，\overline{OF}$即為$\cos\phi$，因此$\overline{FD} = \sin\theta\cos\phi$
    故$$\sin(\theta+\phi) = \sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi$$
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## (5)cos和角公式

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    我們可以運用同一張圖片
    ![IMG_0978](https://hackmd.io/_uploads/BJe5PjfA6.jpg)
    在$\Delta OAE中，\cos(\theta+\phi) = \overline{OE} = \overline{OD}-\overline{ED}$
    其中，$\overline{OD} = \overline{OF}\cdot\frac{\overline{OD}}{\overline{OF}} = \cos\phi\cos\theta$
    而$\overline{ED} = \overline{HF} = \overline{AF}\cdot\frac{\overline{HF}}{\overline{AF}} = \sin\phi\sin\theta$
    故$$\overline{OD}-\overline{ED} = \cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$$
    $$\Rightarrow\cos(\theta+\phi) = \cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$$
    
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和角公式的證明花了我好久，主要是畫不出輔助線，大概是因為我缺乏經驗吧，哀。不過輔助線畫出來，剩下的證明也不難了。和角公式是推導後面公式的重要基礎，差角、倍角、半角都是從這個推導出來的。
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## (6)tan和角公式

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    由三角比的關係我們可知$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
    因此$\tan$的和角公式可以由(5)和(6)推出
    $$\tan(\theta+\phi) = \frac{\sin(\theta+\phi)}{\cos(\theta+\phi)}$$
    $$ = \frac{\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi}{\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi}$$
    此時分子分母同除以$\cos\theta\cos\phi$
    $$ = \frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\sin\phi}{\cos\phi}}{1-\frac{\sin\theta\sin\phi}{\cos\theta\cos\phi}}$$
    $$ = \frac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}$$
    
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這證明看起來很簡單對吧?但是卻花了我不少時間，原因就是因為$\sin和\cos$的和角公式不太好證，以至於我也認為$\tan$的和角公式會需要畫很多輔助線才能證出來，但其實用簡單的三角比關係就可以求得。
    有時候算題目也是這樣，方法找對了就可以很快算出，方法找錯就得繞很久的圈子
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## (7)差角、二倍角、半角公式

### 1.差角公式

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    可以理解成「加上負的角」，像是$\sin(\theta-\phi) = \sin(\theta+(-\phi)) = \sin\theta\cos(-\phi)+cos\theta\sin(-\phi)= \sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi$
    故$$\sin(\theta-\phi) = \sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi$$
    同理$$\cos(\theta-\phi) = \cos\theta\cos(-\phi)-\sin\theta\sin(-\phi) = \cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$$
    $$\tan(\theta-\phi) = \frac{\tan\theta+\tan(-\phi)}{1-\tan\theta\tan(-\phi)} = \frac{\tan\theta-\tan\phi}{1+\tan\theta\tan\phi}$$
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### 2.二倍角公式

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    用「相同角相加」的方法非常容易就可以推導出來
    $$\sin2\theta = \sin(\theta+\theta) = \sin\theta\cos\theta+\sin\theta\cos\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
    $$\cos2\theta = \cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta = \cos^2\theta-\sin^2\theta$$
    $$\tan2\theta = \frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$
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### 3.半角公式

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    若把$\cos$的差角公式結合(1)平方公式可以得出$$\cos2\theta = 1-2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1$$
    這時候就可以移項推導半角公式啦
    $$\cos2\theta = 1-2\sin^2\theta$$
    $$\Rightarrow \sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$$
    如果你覺得$\frac{\theta}{2}$看比較習慣的話當然也可以寫成$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$$
    同理，$\cos$的半角公式也是由移項而得的
    $$\cos2\theta = 2\cos^2\theta-1$$
    $$\Rightarrow \cos^2\theta = \frac{\cos2\theta+1}{2}$$
    $$\Rightarrow \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{\cos\theta+1}{2}$$
    
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想當初學到這些公式的時候，很多同學都從補習班學到了一堆奇奇怪怪的口訣，但其實只要懂得如何推導(或者是翻題本的最後一頁)就可以了。尤其是半角，我到現在都還背不起來，每次都要從$\cos2\theta$開始推XD
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## (8)中線定理

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    ![IMG_0996](https://hackmd.io/_uploads/BJgarpmkA.jpg)
    在$\Delta OAB中，M$為$\overline{AB}$上的中點。則可發現$\angle OMA$和$\angle OMB$互為補角，也就是說：
    $$\cos\angle OMA = -\cos\angle OMB$$
    則由餘弦定理可知：
    $$\frac{p^2+q^2-a^2}{2pq} = -\frac{p^2+q^2-b^2}{2pq}$$
    $$\Rightarrow 2(p^2+q^2) = a^2+b^2$$
    於是可以得到中線定理：
    $$\Rightarrow \overline{OA}^2+\overline{OB}^2 = 2(\overline{OM}^2+\overline{MA}^2)$$
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## (9)海龍公式

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    在推導海龍公式之前，我們得先知道一個三角形面積的計算方法
    ![IMG_0979](https://hackmd.io/_uploads/rJm1MTG06.jpg)
    在一$\Delta ABC中，令\angle C = \theta$則此三角形面積可以簡單的表示成$\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\sin\theta$
    接著就可以開始推導啦
    $$\frac{1}{2}ab\sin\theta = \frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2\theta} = \frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}$$
    由餘弦定理可知：
    $$ = \frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})}$$
    $$ = \frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab}\cdot\frac{-a^2+2ab-b^2+c^2}{2ab}}$$
    此時根號外的$ab$和根號內的$ab$就可以消掉了！耶！
    同時，根號內也有乘法公式可以合併
    $$ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2}\cdot\frac{-(a-b)^2+c^2}{2}}$$
    $$ = \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}$$
    $$ = \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot(\frac{a+b+c}{2}-c)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-a)}$$
    令$\frac{a+b+c}{2} = s$，則三角形面積即為$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
    
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這公式雖然在新課綱比較沒有被強調，畢竟如果邊長沒有都是整數的話就會很不好算。課綱似乎都比較偏愛$\frac{1}{2}ab\sin\theta$，但是如果學起來海龍公式，在遇到邊長都是整數的三角形就會很方便。
在打這篇的時候是週末在咖啡廳打的，這裡好多學生在讀書啊，而且都是三五成群約來讀書的，只有我自己一個人坐在角落的高腳椅(悲)，但是看著大家都在用功就會莫名的有動力，希望上了大學也能有動力讀書，但是我真的好怕太難讀不下去啊~
真令人煩惱
    2024/3/16
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