數學公式證明——向量

# 向量 :::info \ 學校在教向量的時候，通常都會說向量就是結合了方向和長度，並且將這個概念帶到二維或三維的座標上。然而之前在學寫程式的時候，就會發現只要把兩筆以上的數據結合在一起就算是一種向量了。比方說百貨公司裡的商品Ａ：重量$800g$, 體積$250cm^2$, 賣$300$元 ; 商品Ｂ：重量$150g$, 體積$10cm^2$, 賣$2000$元。這時就可以設$\vec{a} = (800, 250, 300),\;\vec{b} = (150, 10, 2000)$雖然這跟方向和長度沒什麼太大關係，但卻是處理數據很好的方法。偶爾會有這種感覺，學習課外知識時就會發現有些事情比想像中的還要更靈活多變。期許自己未來學習也能不被制式的書本所限制。 ::: ## (1)共線定理 令平面上有相異四點$O, A, B, C$，則$$\overrightarrow{OA} = p\overrightarrow{OB}+(1-p)\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow A, B, C三點共線 $$ 證明： $\Longrightarrow$ $$\overrightarrow{OA} = p\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-p\overrightarrow{OC}\Rightarrow \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = p(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$$ $$\Rightarrow\overrightarrow{CA} = p\overrightarrow{CB}\;可以得知A, B, C三點共線$$ $\Longleftarrow$ $$因A, B, C三點共線，故可令\overrightarrow{CA} = p\overrightarrow{CB}$$ $$\Rightarrow\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = p(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = p\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-p\overrightarrow{OC} $$ $$\overrightarrow{OA} = p\overrightarrow{OB}+(1-p)\overrightarrow{OC}$$ 故原命題成立 :::info 其實共線定理我更習慣的寫法是$\overrightarrow{OA} = x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC},\;x+y = 1$，但這邊為了證明方便就直接寫成$p和1-p$了。我個人認為在共線定理最常用在$x, y$都知道的情況下，預測$A$點的位置，事實上許多考題也都是這樣考的。 ::: ## (2)點到直線的距離 令平面上一點$A(x_1, y_1)，一直線L:ax+by+c=0$，則$\vec{p} = (a, b)$為此直線的法向量。假設從$A$點經過$t\cdot\vec{p}$後會落在直線$L$上，則$$a(x_1+ta )+b(y_1+tb)+c = 0$$ $$\Rightarrow ax_1+by_1+c+t(a^2+b^2) = 0$$ $$\Rightarrow t = \frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$$ 又$d(A, L) = |t\cdot\vec{p}|$，故$$d(A, L) = \vert\frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}\;\vert$$ $$ = \vert\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\vert$$ ## (3)點到平面的距離 令空間中一點$A(x_1, y_1, z_1)$，一平面$\Gamma:ax+by+cz+d = 0$，則$\vec{p} = (a, b, c)$為此平面的法向量。假設從$A$點經過$t\cdot\vec{p}$後會落在平面$\Gamma$上，則$$a(x_1+ta)+b(y_1+tb)+c(z_1+tc)+d = 0$$ $$\Rightarrow ax_1+by_1+cz_1+d+t(a^2+b^2+c^2) = 0$$ $$\Rightarrow t = \frac{-(ax_1+by_1+cz_1+d)}{a^2+b^2+c^2}$$ 又$d(A, \Gamma) = \vert t\cdot\vec{p}\vert$，故 $$d(A, \Gamma) = \vert\frac{-(ax_1+by_1+cz_1)}{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2}\vert$$ $$ = \vert\frac{ax_1+by_1+cz_1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\vert$$ :::info 這兩個距離公式的證明都是從兩點間距衍伸而來的，而在推導兩直線距離、兩平面距離等等，也通通都是由兩點間距衍伸而得的。我認為這些距離公式最至關重要的一步就是要得到法向量$\vec{p}$，並且假設距離為$|t\vec{p}|$，答案通常都可以由這套流程得到。 ::: ## (4)向量內積 ### 1.二維向量內積 令兩向量$\vec{p} = (a, b),\;\vec{q} = (c, d)$，則定義$\vec{p}\cdot\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$，其中$\theta$為兩向量的夾角。 ![IMG_0992](https://hackmd.io/_uploads/rkMdZucR6.jpg) 令$\vec{p}和\vec{q}$和$x$軸正向的夾角分別為$\theta_1,\,\theta_2$，我們可知： $$\cos\theta_1 = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\theta_1 = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\cos\theta_2 = \frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}},\;\sin\theta_2 = \frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}$$ 又因$\theta = \theta_1-\theta_2$，故$$\cos\theta = \cos(\theta_1-\theta_2) = \cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2$$ $$ = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}}+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}$$ $$ = \frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}}$$ 故可得知： $$\vec{p}\cdot\vec{q} = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\cdot\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+c^2}} = ac+bd$$ ### 2.三維向量內積 令兩向量$\vec{p} = (x_1, y_1, z_1),\;\vec{q} = (x_2, y_2, z_2)$，則定義$\vec{p}\cdot\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$，其中$\theta$為此二向量的夾角。而$\cos\theta$可以用餘弦定理得到$$\cos\theta = \frac{|\vec{p}|^2+|\vec{q}|^2-|\vec{p}-\vec{q}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$$ $$ = \frac{(x_1^2+y_1^2+z_1^2)+(x_2^2+y_2^2+z_2^2)-[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2])}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$$ 這時候可以發現平方項會通通消掉 $$ = \frac{2(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$$ 於是我們得到$$\vec{p}\cdot\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cdot\frac{2(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$$ $$\Rightarrow \vec{p}\cdot\vec{q} = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$$ 可以發現和二維的向量內積算法相似 :::info 在推導向量內積時最麻煩的就是$cos\theta$了，二維的可以用差角公式，但三維的就很難用角度相減的方法了，必須要想到餘弦定理才行。雖然內積公式很簡單好看，但是還是不能忘記$|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$的圖形意義，有時候圖畫一畫答案馬上就浮現出來了。 ::: ## (5)向量外積 令兩向量$\vec{p} = (a_1, b_1, c_1),\;\vec{q} = (a_2, b_2, c_2)$，則定義$\vec{p}\times\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\sin\theta\hat{n}$，其中$\hat{n}$為一單位向量，其方向由右手定則決定。令$\hat{n} = (x, y, z)$，因$\hat{n}和\vec{p}, \vec{q}$皆垂直，故可得知 \begin{cases} x^2+y^2+z^2 = 1\\ a_1x+b_1y+c_1z = 0\\ a_2x+b_2y+c_2z = 0 \end{cases} 先看下面兩式 \begin{cases} a_1x+b_1y = -c_1z\\ a_2x+b_2y = -c_2z \end{cases} 由克拉瑪公式可知$$x = \frac{-z\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}},\;y = \frac{-z\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$$ 故$$x:y:z = z\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}:z\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}:z\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$ 此時令$x, y, z$分別為$r\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix},\;r\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix},\;r\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$，其中$r>0$ 因$x^2+y^2+z^2 = 1$ 故$$r^2[(b_1c_2-b_2c_1)^2+(a_2c_1-a_1c_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2] = 1$$ $$\Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2+(a_2c_1-a_1c_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}}$$ $$\vec{p}\times\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\sin\theta\hat{n} = \sqrt{|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2-(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}\cdot\hat{n}$$ $$ = \sqrt{(a_1^2+b_1^2+c_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2)-(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2)^2}\cdot\hat{n}$$ $$ = \sqrt{(a_1b_2)^2+(a_1c_2)^2+(a_2b_1)^2+(b_1c_2)^2+(a_2c_1)^2+(b_2c_1)^2-2(a_1a_2b_1b_2+a_1a_2c_1c_2+b_1b_2c_1c_2)}\cdot\hat{n}$$ $$\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1c_2-a_2c_1)^2+(b_1c_2-b_2c_1)^2}\cdot\hat{n} = \frac{1}{r}\cdot\hat{n}$$ 此時$\hat{n}$以$(r\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix},\;r\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix},\;r\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix})$代入，得 $$\vec{p}\times\vec{q} = (\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix},\;\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix},\;\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix})$$ :::info 這公式推導我打到快吐了，我很確定當初在學外積的時候沒有一本教材有寫推導過程，直到現在自己推導一遍才有一種踏實感。過程中比較麻煩的是$\sin\theta$的部分，後來是用$\sqrt{1-\cos^2\theta}$再用內積公式代入。雖然推導過程比較長，而且運算比較多，但其實並不難理解，只要把$\hat{n}$假設出來就OK了。 ::: ## (6)柯西不等式 這時候再回頭看內積的定義：$\vec{p}\cdot\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$，我們可以注意到因為$-1\le\cos\theta\le1$，故$$(\vec{p}\cdot\vec{q})^2\le|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2$$ $$\Rightarrow (ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$ 特別地，當$\cos\theta = 1$，也就是兩向量平行的時候，就是柯西不等式等號成立的時候。 :::info 相較算幾不等式$a, b\ge0$的限制，柯西不等式的$a, b, c, d$就沒有限制，只要是實數就行了。雖然一開始在學柯西不等式看到$(ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)$的時候，會覺得好多英文代號好恐怖，但其實只要知道內積的定義和$\cos\theta$介於正負1之間，就不難理解柯西不等式。最近這幾週都在打公式證明，因此就花比較少時間在準備段考和備審、二階等等，真奇怪，明明學測考完了卻感覺有更多事要忙了，壓力一點都沒有變少，好希望一天有40個小時啊。 2024/3/22 :::