數學公式證明——三角函數微分

# 三角函數微分 :::info 這是我在學測前學校上到微分的時候找時間證明的。高中數學雖然對三角函數微分避而不談，但我還是想證證看，剛好當時時間比較多。現在學測考完一陣了，幸好當初證明的過程都還留著，我就趁自主學習時段打成HackMD了。 ::: ## (1)$\sin$微分 $$\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$$ $$ = \sin x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$$ 其中，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$可用下圖證明 ![IMG_1005](https://hackmd.io/_uploads/BJGFwuYkC.jpg) 如圖所示，在單位圓中，令$\angle DOC = x$，則$\overline{AB} = \sin x,\;\overline{DC} = \tan x$。觀察後可得到不等式： $\Delta DOC面積\ge扇形AOC面積\ge\Delta AOB面積$ $$\Rightarrow\frac{1\cdot\tan x}{2}\ge\frac{1^2\cdot x}{2}\ge\frac{1\cdot\sin x}{2}\Rightarrow\frac{\sin x}{\cos x}\ge x\ge\sin x$$ $$\frac{\cos x}{\sin x}\le\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sin x}\Rightarrow\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1$$ $$\Rightarrow\lim_{x\to 0}\cos x\le\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\le1\Rightarrow1\le\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\le1$$ 由夾擠定理可知$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ 而$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} = \lim_{h\to 0}\frac{\cos^2h-1}{h(\cos h+1)}$$ $$ = \lim_{h\to 0}\frac{-\sin^2h}{h(1+\cos h)} = \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{-\sin h}{\cos h+1} = 1\cdot\frac{0}{2} = 0$$ 故$$\frac{d}{dx}\sin x = \sin x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$$ $$ = \sin x\cdot0+\cos x\cdot1 = \cos x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$ :::info 整個證明過程最麻煩的就是$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$了。一開始我把它放到GeoGebra裡面，看到這個函數在$x$接近0附近的時候長得很像$\cos$ 函數，代表在$x$越接近0，函數值就越接近1。如果把這個式子輸入到計算機裡面，然後$x$取一個很小的數字，也會發現$\frac{\sin x}{x}$會越來越接近1。但要怎麼證明我卻一直想不出來，後來是同學教我要用圖證，以及夾擠定理來證明，同學真是太聰明了!!! ::: ## (2)$\cos$微分 $$\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$$ $$ = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}$$ $$ = \cos x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$$ $$ = \cos x\cdot0-\sin x\cdot1\quad(由(1)可知)\quad = -\sin x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$ ## (3)$\tan$微分 $$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{d}{dx}(\frac{\sin x}{\cos x})$$ $$ = \frac{\frac{d}{dx}(\sin x)\cos x-\frac{d}{dx}(\cos x)\sin x}{\cos^2x}$$ $$ = \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2x$$ ## (4)$\cot$微分 $$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{d}{dx}(\frac{\cos x}{\sin x})$$ $$ = \frac{\frac{d}{dx}(\cos x)\sin x-\frac{d}{dx}(\sin x)\cos x}{\sin^2x}$$ $$ = \frac{-(\sin^2x+\cos^2x)}{\sin^2x} = \frac{-1}{\sin^2x} = -\csc^2x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2x$$ ## (5)$\sec$微分 $$\frac{d}{dx}\sec x = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\cos x}) = \frac{0\cdot\cos x-\frac{d}{dx}(\cos x)\cdot1}{\cos^2x}$$ $$ = \frac{\sin x}{\cos^2x} = \sec x\tan x$$ 亦可從合成函數的角度出發: $$\frac{d}{dx}\sec x = \frac{d}{dx}((\cos x)^{-1}) = -(\cos x)^{-2}(-\sin x)$$ $$ = \frac{\sin x}{\cos^2x} = \sec x\tan x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$$ ## (6)$\csc$微分 $$\frac{d}{dx}\csc x = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\sin x}) = \frac{0\cdot\sin x-1\cdot\frac{d}{dx}\sin x}{\sin^2x}$$ $$ = \frac{-\cos x}{\sin^2x} = -\csc x\cot x$$ 同樣地，可以從合成函數的角度出發 $$\frac{d}{dx}\csc x = \frac{d}{dx}((\sin x)^{-1}) = -(\sin^2x)\cos x = \frac{-\cos x}{\sin^2x} = -\csc x \cot x$$ $$\Rightarrow\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$$ :::info 可以發現$\sin$微分一旦求出來，$\cos, \tan$微分也都可以很容易就求出來了。事實上，其他五個三角函數也都可以很快地求出來了!這裡就可以看到這六個三角函數的關係匪淺。這一單元大概就是這次自主學習的最後一單元，忙完這就要開始趕備審資料了，希望備審和二階都可以順利啊。 2024/4/4 :::